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2.5 对数运算及对数函数（精练题组版）
题组一 对数运算
1．（24-25·贵州）计算
.
2.（24-25 安徽）计算
= ．
3．（2025·山西晋中·模拟预测）已知
，则
.
4.（2024 山东）计算化简：
(1)
(2)
(3)
； (4)
．
（5）
. （6）
；
（7）
； （8）
；
5. （2025 湖北）已知
，
，试用
，
表示
.
题组二 对数型函数的定义域
1．（24-25 北京·期中）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 ·云南昭通）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 湖南）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 北京）函数
的定义域为 ．
5．（24-25 安徽）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是 .
题组三 对数型函数的单调性
1.．（24-25 云南昆明 ）函数
的单调递减区间为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 辽宁）函数
的增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 湖南 ）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 山东 ）设
，
，q：函数
在
上单调递减，则
成立是
成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025·河南·模拟预测）已知函数
在定义域内单调递增，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 河北）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三下·河南焦作·阶段练习）函数
在
上单调递减，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 高三下·河北·阶段练习）已知函数
在
上单调递增，
在
上单
调递减，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·河南鹤壁·一模）已知
且
，若函数
与
在区间
上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 辽宁 ）函数
的单调递减区间是 .
12．（24-25 高三下·四川雅安·开学考试）函数
的单调递增区间是 ．
13．（24-25 广西崇左·期末）函数
的单调递减区间为 ．
14．（24-25 安徽 ）已知关于
的函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
.
15．（24-25 安徽）已知函数
在
上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．
16．（24-25 高三下·湖南·阶段练习）若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
.
题组四 对数型函数单调性的应用---比较大小
1．（24-25 贵州）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·北京海淀·一模）已知四个数
，
，
，
，其中最小的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 江西）已知
，
，
，
，则（ ）
A．
，且
B．
，且
C．
，且
D．
，且
4．（2025·天津河西·一模）设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·陕西汉中·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·安徽·一模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·辽宁辽阳·一模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·天津滨海新·三模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·广东深圳·二模）若
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·云南·一模）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高三上·安徽黄山·阶段练习）定义在
上的函数
满足
，又
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024·重庆·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题组五 对数型函数单调性的应用---解不等式
1．（24-25 高三下·贵州贵阳·阶段练习）不等式
的解集为 ．
2．（24-25 江西 ）已知函数
，则满足不等式
的
的取值范围为
．
3.（24-25 湖南长沙）已知函数
，则不等式
的解集为 ．
4．（24-25 江西）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是 ．
5．（24-25 辽宁）已知函数
，若不等式
对任意实数
恒
成立，则
的取值范围为 ．
题组六 对数型函数的值域
1．（24-25 重庆·期末）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 重庆）若函数
的值域为R，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·广东·开学考试）已知
的值域为
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 江苏）设函数
，若存在
，满足
，则实数
的最
小值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
5．（24-25 江苏）已知函数
的定义域为
，若存在
，满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025 湖北武汉）函数
的值域为： .
7．（24-25 安徽芜湖）函数
的值域为 ．
8．（24-25 陕西）已知函数
，若
，使得
，则实数
的取值范围是 .
9．（24-25 湖南）已知函数
，
，则函数
的值域为 ．
10．（24-25 上海）已知函数
有最小值，则
的取值范围为 ．
11．（24-25 高三上·浙江杭州·期末）设
，且
，函数
的值域为
，则实
数
的取值范围是 .
12．（24-25 甘肃 ）已知函数
的值域为
，则
的取值范围是 .
13．（2025 浙江）已知函数
，
，则函数
的值域为 ．
14．（24-25 上海·阶段练习）函数
的值域为 ．
题组七 对数型函数过定点
1．（24-25 上海）函数
的图像过定点 .
2．（2025·上海宝山·二模）已知函数
且
)的图像经过定点
，则点
的坐标
为
3．（2025 云南昭通·期末）已知函数
（
，
）的图象恒过定点A，若点A 在一次
函数
的图象上，其中
，
，则
的最小值是 .
4．（2025·安徽滁州·一模）已知函数
恒过定点
，则
.
题组八 对数型函数图像
1．（2025 高三·全国·专题练习）函数
与
在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 江苏）图中曲线是对数函数
的图象，已知a 取
，
，
，
四个值，则相应于
，
，
，
的a 值依次为（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
3．（24-25 湖北）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 山西·期末）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 安徽）函数：①
；②
；③
；④
的图象
（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号是（ ）
A．①④③②
B．①④②③
C．④①②③
D．③④②①
题组九 对数函数的对称性
1.（2023·河南·校联考模拟预测）若函数
为奇函数，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
2.（2025·湖南）“
”是“函数
是奇函数”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.（2025·安徽）若
为奇函数，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
4．（2025·甘肃）已知函数
，则
______．
题组十 反函数
1．（2025·吉林）函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
关于直线
对称的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025·上海）已知
，函数
的反函数为
，且
，则
．
3．（2025·吉林）已知函数
（
且
）的反函数
过点
，设
，则
不等式
的解集是 ．
4．（2025·河南开封·二模）已知直线
与函数
，
的图象分别交于
，
两点，则
取最小值时，
，最小值为 ．
5．（2025·全国·模拟预测）已知
若函数
的图像上存在关于直线
对称的
点，则实数
的取值范围是 ．
题组十一 对数函数的实际应用
1．（2025·广东）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记
为实际声压，通常我们用声压级
（单位：
分贝）来定义声音的强弱，声压级
与声压
存在近似函数关系：
，其中
为常数,且常数
为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压
为穿软底鞋走路的声压
的
倍，且穿硬底鞋走路的声压级为
分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级
的倍.若住宅区夜间声压
级超过
分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（2025 江苏）
年月
日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国
岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士
宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在
年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为
《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也
曾研究过这个何题，并得到小于数字
的素数个数大约可以表示为
的结论.若根据欧拉得出的结论，
估计
以内的素数个数为（ ）（素数即质数，
，计算结果取整数）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·北京石景山·一模）经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数
（a，k 为常数）来描述，
其中S（单位：克）代表t 分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7 克的糖块放入到一定量的水中，在第5
分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5 克，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·福建·模拟预测）在一定条件下，大气压强
（单位：百帕）随海拔高度（单位：米）的变化满足
如下函数关系式：
为正常数）．已知海拔高度0 米处的大气压强为1000 百帕，海拔高度10000
米处的大气压强为250 百帕，那么，若大气压强增加1 倍，则海拔高度降低（ ）
A．100 米
B．2500 米
C．5000 米
D．7500 米
5．（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等
是在地球
上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M 是假设把恒星放在距离地球10 秒差距（10 秒差距
≈32.6 光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等
和绝对星等M 满足
，其
中
是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A 距离地球约32.6 光年，恒星B 距离地球约326 光年，恒星A，B
的视星等满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·陕西·模拟预测）2025 年1 月西藏定日发生6.8 级地震，已知
（里氏震级）的计算公式为
（其中
是被测地震最大振幅，常数
是“标准地震”的振幅），5 级地震给人的震感已比较明
显，则定日这次地震的最大振幅大约是5 级地震最大振幅的（ ）倍．（参考数据：
）
A．1.8
B．18
C．63
D．128
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个
中子组成，并带有放射性，会发生
衰变，其半衰期是12.43 年.样本中氚的质量
随时间(单位:年)的衰变规
律满足
，其中
表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:
)
A．
B．经过
年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过
年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若
年后，样本中氚元素的含量为
，则
题组十二 对数函数的综合应
1．（24-25 四川）已知函数
是奇函数，且
．
(1)求
的值；
(2)判断
的单调性，并证明；
(3)若对任意实数
，不等式
恒成立，求
的取值范围．
2．（24-25 贵州遵义·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
的值域为
，求a 的取值范围；
(3)是否存在实数
使得函数
在区间
上单调递减？若存在，写出一个符合题意的
值；若不存在，说
明理由.
3．（24-25 湖南）设
且
，已知函数
.
(1)判断
的奇偶性，并说明理由；
(2)令函数
，解关于
的不等式
.
4．（24-25 江西宜春·阶段练习）设
，
.
(1)判断
的奇偶性，并证明；
(2)推理并写出
的单调区间；
(3)当
时，函数
的图象恒在函数
的上方，求
的取值范围.
5．（24-25 安徽·阶段练习）已知
为奇函数，
为常数.
(1)求
的值；
(2)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
6．（2025·上海崇明·二模）已知
．
(1)是否存在实数a，使得函数
是偶函数？若存在，求实数a 的值，若不存在，请说明理由；
(2)若
且
，解关于x 的不等式
．
