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8.8 对数运算及对数函数（精练）（基础版）
题组一 对数的运算
1．（2022镇江月考）计算：
（1） .
（2）已知 ， ，求实数 的值.
【答案】（1） （2）1
【解析】（1）原式 ，
.
（2）因为 ， ，
所以 ，
解得 或-2(舍)，
所以 .
2．（2022上海月考）已知 ，求 的值.
【答案】9
【解析】因为 ，
所以 ，
化简得 ，即 ，解得
3（2022莲湖期中）
（1）计算 ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意， ；
（2）因为 ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以 .
4．（2021海安月考）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）2（2）22
【解析】（1）解：原式
．
（2）解：原式．
5．（2022高一上·中山月考）求值或化简：
（1） ；
（2） .
（3） .
（4）
（5） .
（6） .
【答案】见解析
【解析】（1）
（2）
＝
＝ ＝ ＝（3）
=2
（4）
（5）原式
.
（6）(方法一)原式
.
(方法二)原式=13
题组二 对数函数的三要素
1．（2022·重庆模拟）函数 定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以函数的定义域为 故答案为：C
2．（2022·东莞月考）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意， ， 所以 的定义域为 .故答案为：D
3．（2022河南）函数f(x)＝ 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】函数 中， 令 ，得 ，
解得 ，所以函数 的定义域为 .故答案为：A.
4．（2022开封期中）已知函数 且 在区间 上的最大值与最小值
的差为1，则实数 的值为（ ）
A．2 B．4 C． 或4 D． 或2
【答案】C
【解析】令 ，由 ，得 ， 函数可化为 ， ，
①当 时，函数 在 上单调递增，
其最大值与最小值的差为 ，解得 ；
②当 时，函数 在 上单调递减，
其最大值与最小值的差为 ，解得 ，
所以实数 的值为4或 ，故答案为：C.
5．（2022浦城）已知函数y＝log (x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是( )
2
A．0＜k＜1 B．0≤k＜1 C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1
【答案】C
【解析】因为函数y＝log (x2－2kx＋k)的值域为R， 所以 ，
2
解不等式得k≤0或k≥1。故答案为：C
题组三 对数函数的性质1．（2022高三上·西宁期末）已知 （ 且 ）恒过定点 ，且点 在直
线 （ ， ）上，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】C
【解析】当x=2时，loga(x−1)+1=1恒成立，
故f(x)=loga(x−1)+1(a>0且a≠1)恒过定点M(2，1)，
∵点M在直线 (m>0，n>0)上，故 ，则：
，
当且仅当 时等号成立.即m+n的最小值为 .故答案为：C.
2．（2020·新课标Ⅱ·理）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增
D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D符合题意.
故答案为：D.
3（2022集宁月考）函数y=log （5+4x-x2）的单调递增区间为( )
A．(2, 5) B．(-1, 2) C．(-∞, 2) D．(2,+∞)
【答案】A
【解析】 ，解得
内层函数 在 上单调递增，在 上单调递减。
外层函数 单调递减
所以 的单调递增区间
故答案为：A4．（2022长治期中）函数 的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，可知 为定义域上的单调递增函数，
又由函数 在 单调递减，在 上单调递增，
根据复合函数的单调性判定“同增异减”，
可得函数 的单调递增区间为 ，
故答案为：B.
5（2022广东）．已知 是(−∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是
（ ）
A．(0,1) B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，∴ .故答案为:C.
6．（2022九江开学考）函数y= sin（ ﹣2x）的一个单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵y=log t为减函数，
0.5y=log sin（ ﹣2x）单调减区间即为t=sin（ ﹣2x）=﹣sin（2x﹣ ）的单调增区间
0.5
由于真数必须为正，故令 k∈Z解得
当k=﹣1时，有 故选A．
7．（2022绍兴）若函数f（x）=log（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间（0， ）内恒有f（x）＞0，
a
则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣ ） B．
C． D．（0，+∞）
【答案】C
【解析】当x∈（0， ）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，
∵函数f（x）=log（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logt和t=2x2+x复合而成，
a a
0＜a＜1时，f（x）=logt在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．
a
t=2x2+x＞0的单调递减区间为 ，∴f（x）的单调增区间为 ，
故选C．
8．（2022连城期中）函数f（x）=x3+bx2+cx+d图象如图，则函数 的单调递
减区间为（ ）A．（﹣∞，﹣2） B．[3，+∞）
C．[﹣2，3] D．[ ）
【答案】A
【解析】∵f（x）=x3+bx2+cx+d∴f'（x）=3x2+2bx+c
由函数f（x）的图象知，f'（﹣2）=0，f'（3）=0
∴b=﹣ ，c=﹣18
∴ =log （x2﹣x﹣6）的定义域为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）
2
令z=x2﹣5x﹣6，在（﹣∞，﹣2）上递减，在（3，+∞）上递增，且y=log z
2
根据复合函数的单调性知，
函数 的单调递减区间是（﹣∞，﹣2）
故选A．
9．（2022重庆）已知y=log（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（ ）
a
A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）
【答案】B
【解析】∵f（x）=log（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数， ∴f（0）＞f（1），即log2＞log（2﹣
a a a
a）．
∴ ，∴1＜a＜2．故答案为：B．
10（2022保定期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以函数 单调递减，所以 ， 即 ；因为 ，所以函数 单调递增，所以 ，即 ；
因为 ，所以函数 单调递减，所以 ，
即 .所以 ，A，B，D不符合题意.故答案为：C.
11．（2022咸宁期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 在 上单调递增， ， 所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ．故答案为：C
12．（2022湖北期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ，
所以 .故答案为：D.
13．（2022南充期末）函数 的图象恒过一定点是 ．
【答案】（2，2）
【解析】对数函数过定点 ，令 ，此时 ，所以过定点（2，2）
14．（2022河南月考）已知函数 ，则关于x的不等式
的解集为 .【答案】
【解析】由题意可知，定义域为R，设 ，
，
由函数 在R上的增函数，
在 为增函数，
且 ，
所以 关于 对称，故 在 为增函数，
且 在 处连续， 在 上的增函数，
故函数 在R上递增，
，
且 在R上递增，
原不等式等价于
则 ，解得 .
故答案为： .
题组四 反函数及其应用1．（2022昭阳期末）若函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则
（ ）
A．10 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【解析】 与 关于 对称 为 的反函数
∴ 有 故答案为：C
2．（2022虹口期末）若函数 的反函数为 ，则关于x的不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】观察可得 在 上单调递增，值域为R，
则其反函数在R上也为单调递增函数，
又 ，则 ，
，即 ， ，
即关于x的不等式 的解集为 。
故答案为： 。
3．（2022湖南）设 为定义在 上的奇函数， 与 关于直线 对称，若当 时， ，则 .
【答案】-1
【解析】 的图象与 的图象关于直线 对称，则 与 互为反函
数，得 ，又 为定义在 上的奇函数，且当 时，
，则 ，得 ， ，则
，
故答案为：-1。
4．（2022河北）若函数 （ 且 ）的反函数的图象都过点P，则点P的
坐标是 .
【答案】(0，-2)
【解析】令 得 ，此时 ，所以函数 过定点
，
所以函数 （ 且 ）的反函数的图象都过点(0，-2).
故答案为：(0，-2)
5（2020·上海模拟）已知函数 ，其反函数为 ，则
【答案】1
【解析】 ，取 ，解得 ，故 .
故答案为： .
