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2.2 函数的单调性、奇偶性（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024·北京）下列函数中，在
为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A 不正确，
在每一个单调区间上增，在
不是增函数，
时函数不存在；B 是对称轴
为
，在
不是增函数；C 在
为减函数，D 求导得可
，可知D 正确故
选：D．
2．（2025·宁夏）“
”是“函数
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数
为偶函数，且
为奇函数，
可知
为奇函数，则
，
即
，整理得
，
因为
，可得
，
即函数
为偶函数，等价于
，
显然
是
的真子集，
所以“
”是“函数
为偶函数”充分不必要条件.
故选：A.
3（2025 江西抚州）已知函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
在
上是减函数，
当
时，
恒成立，
而函数
在区间
上不单调，因此
，不符合题意，
当
时，函数
在
上单调递增，于是得函数
在区间
上单调递减，
因此
，并且
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D
4．（2024 内蒙古赤峰）已知
，且
，函数
在
上单调，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
在
上单调，由函数解析式可得函数在R 上单调递增不满足题意，
故
在R 上单调递减，所以
，解得：
故选：D.
5．（2025·北京）函数
，记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】注意到
定义域为全体实数，且
，
所以
是
上的偶函数，从而
，
因为
在
上单调递增，所以
关于
在
上单调递减，
而
，所以
.选：B.
6.（2025 江苏）已知函数
，则满足不等式
的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
的定义域为
，
又
，故
为偶函数，
而当
时，易知
单调递增，
而对于
，
在
上恒成立，
所以
在
上也单调递增，
故
在
上单调递增，
则由
，得
，解得
或
.
故选：D.
7.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数
，则使得
成立的
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为R，
，
函数
是奇函数，求导得
，
函数
在R 上单调递增，由
，得
，
即
，则
，因此
，解得
，
所以所求
的取值范围是
.
故选：C
8（24-25 高三下·贵州贵阳·阶段练习）（）多选下列函数中是偶函数且在
上单调递减的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，当
时，函数
可化为
，
函数
在
上单调递增，不满足条件，排除A，
对于B，设
，
函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
又
，所以函数
为奇函数，
即函数
为奇函数，不满足条件，排除B；
对于D，设
，
则当
时，
，当
时，
，
因为
，
，
所以函数
在
上不单调递减，不满足条件，排除D，
对于C，设
，
函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
又
，
所以函数
为偶函数，
因为
，由幂函数性质可得函数
在
上单调递减，
故函数
为偶函数，且在
上单调递减，C 正确；
故选：C.
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2024 安徽滁州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A，函数
的定义域为
，显然该函数在定义域上不单调，A 不是；
对于B，函数
的定义域为R，
都是奇函数，也都是增函数，
因此
在R 是奇函数，又是增函数，B 是；
对于C，函数
的定义域为R，
，即函数
是偶函数，C 不是；
对于D，函数
的定义域为R，
，
即函数
是奇函数，且当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，因此函数
在R 上单调递增，D 是.
故选：BD
10．（24-25 高三下·湖南长沙·开学考试）下列函数在区间
上单调递增且图象关于
轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】
的定义域为
，在区间
上单调递增，但
，
即
不是偶函数，其图象不关于
轴对称，A 错误；
的定义域为
，在区间
上单调递增，
且
，∴
是偶函数，其图象关于
轴对称，即B 正确；
的定义域为
，在区间
上单调递减，C 错误；
的定义域为
，在区间
上单调递增，且
，
∴
是偶函数，其图象关于
轴对称，即D 正确.
故选:BD.
11．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数
的定义域为
，且
，
则（ ）
A．
B．
或
C．
是
上的增函数D．
是
上的增函数
【答案】AC
【解析】在
中，
令
，得
，即
．
因为函数
为非常数函数，所以
，A 正确．
令
，则
．
令
，则
，①
令
，则
，②
由①②，解得
，从而
，B 错误．
令
，则
，即
，
因为
，所以
，所以C 正确，D 错误．
故选：AC
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025 甘肃）已知函数
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】
的定义域为
，
，
为定义在
上的奇函数；
与
均为
上的增函数，
为
上的减函数，
为定义在
上的增函数；
由
得：
，
，解得：
，
的解集为
.
故答案为：
.
13．（2025 湖北）已知函数
的最大值为
，最小值为
，则
【答案】2
【解析】
，
令
，则
，
即
为奇函数，图象关于原点对称，
，
，
，且
，
，则
．
故答案为：2．
14（24-25 高三下·四川雅安·开学考试）函数
的单调递增区间是 ．
【答案】
(或
)
【解析】函数
的定义域为
，
令
在定义域上为增函数，则
在
上单调递增，
由复合函数单调性的同增异减原则可得，当
1，即
时，函数
单调递增，
即函数
单调递增区间为
．
故答案为：
(或
)
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2025 高三下·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【答案】(1)既是奇函数又是偶函数
(2)奇函数
(3)奇函数
(4)奇函数.
【解析】（1）由
得
，解得
，即函数
的定义域为
，从而
.
因此
且
，
函数
既是奇函数又是偶函数.
（2）由
得定义域为
，关于原点对称.
，
，
.
又
，
函数
为奇函数.
（3）显然函数
的定义域为
，关于原点对称.
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
综上可知：对于定义域内的任意
，总有
，
函数
为奇函数.
（4）显然函数
的定义域为
，
，故
为奇函数.
16（24-25 上海·阶段练习）已知函数
；
(1)判断函数
的奇偶性，并按定义证明：
(2)判断函数
，
的单调性，并按定义证明；
【答案】(1)函数
为奇函数，证明见解析
(2)函数
在
为减函数，证明见解析
【解析】（1）函数
为奇函数，
由
，所以函数
的定义域为
，
因为
，
所以函数
为奇函数；
（2）函数
在
为减函数，
对任意的
，且
，
，
因为
，
在
上为增函数，
所以
，
，
所以
，
所以函数
在
为减函数.
17．（23-24 高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数
是定义在R 上的奇函数，且
时，
．
(1)求
时，函数
的解析式；
(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
，则
，
时，
．
，
是定义在R 上的奇函数，
，
故
，
；
（2）
等价于
，
时，
单调递减，
又
为定义在R 上的奇函数，故
在R 上为减函数，
所以
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
只需
，
，
，
，
，即实数
的取值范围是
．
18（2025 山西吕梁·阶段练习）已知
，
都是定义在R 上的函数，对任意实数x，y 恒有
.
(1)判断函数
的奇偶性，并证明；
(2)若
，
，
，且
在
上单调递减，求不等式
的解集.
【答案】(1)偶函数，证明见解析
(2)
【解析】（1）
是偶函数，
证明如下：
因为
的定义域为R，所以对
，都有
.
令
，则
，
所以
.
令
，则
，
所以
，即
，故
是偶函数.
（2）令
，则
，
由不等式
得
，
所以
，
即
，
所以
，
化为
，且
在
上单调递减，
由偶函数的性质与单调性可知，
，
解得
，
故不等式
的解集为
.
19．（23-24 上海）定义：如果存在实常数a 和b，使得函数
总满足
，则称函数
是“
型函数”．
(1)已知奇函数
是“
型函数”，求函数
的解析式；
(2)已知函数
是“
型函数”，求p 和b 的值；
(3)已知函数
是“
型函数”，求一组满足条件的k、a 和b 的值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由题意奇函数
是“
型函数”，所以
，且
，
联立解得函数
的解析式
.
（2）由题意函数
是“
型函数”，
所以
，
而
，
所以
恒成立，当且仅当
，解得
，
即满足题意的p 和b 的值分别为
.
（3）由题意函数
是“
型函数”，
所以
，
而
，
所以
恒成立，
当且仅当
恒成立，
当且仅当
恒成立或
恒成立（舍去），
所以
，解得
，
即满足条件的k、a 和b 的一组值分别为
.
