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2.6 零点定理（精讲）
考向一 求零点
【例1】（24-25 高一下·江苏扬州·期中）函数
的零点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，所以函数
的零点是
.故选：C
【一隅三反】
1．（2025·吉林长春·二模）已知
为正项等比数列，若
是函数
的两个零点，
则
（ ）
A．10
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
为方程
的两个解，则
，
解得
，易知
.
故选：B.
2．（24-25 广东）若函数
有一个零点是1，则函数
的零点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
，可得
；
可得
，
令
，因此
，
解得
或
或
；
因此函数
的零点是
.
故选：D
3．（24-25 高三下·福建福州·开学考试）函数
恰有两个零点
，则
.
【答案】
【解析】因为函数
恰有两个零点
，所以
又
在
关于
对称，所以
即
故答案为：
考向二 零点区间
【例2】（24-25 高三上·安徽亳州·阶段练习）函数
的零点所在的大致区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
由
可知，函数在
内单调递增，
根据零点存在定理，函数
的零点所在的大致区是
.
故选：C
【一隅三反】
1．（24-25 河北）函数
的零点所在大致区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
的定义域为
，
又
与
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，
，
所以
，
根据函数零点存在性定理可得函数
的零点所在的大致区间为
，
故选：A.
2．（24-25·云南昭通）设函数
，则函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
和
均为增函数，
函数
在区间
上单调递增.
又
，
，
由零点存在性定理得，函数
存在唯一零点在区间
上.故选：C.
3．（2025 湖南）函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
，所以
，
所以函数
的零点所在的区间为
，故选：C．
考向三 根据零点区间求参数
【例3-1】（24-25 河南）已知函数
的零点在区间
内，且
，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解析】因为函数
定义域为
，
与
均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，又
，即
，
由零点存在性定理可得，
的零点所在区间为
，所以
．
故选：B．
【例3-2】（2025·山西阳泉）函数
在区间
存在零点．则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
在
上单调递增，
在
上单调递增，得函数
在
区间
上单调递增，
因为函数
在区间
存在零点，
所以
，即
，解得
，
所以实数m 的取值范围是
.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2025 湖南长沙·期末）若
的零点所在的区间为
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
的零点所在的区间为
，又函数
在R 上单调递增，则需
，即
，解得
.故选：C.
2．（2025 江苏镇江）函数
在
上存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】B
【解析】令
，
因为
，
所以函数图象与
轴有两个交点，
因为函数
在
上存在零点，且函数图象连续，
所以
，或
，
所以
，或
，
解得
或
故选：B
3．（23-24 高三上·浙江绍兴·期末）已知命题
：函数
在
内有零点，则命题
成立的一
个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
在
上单调递增，由函数
在
内有零点，
得
，解得
，即命题
成立的充要条件是
，
显然
成立，不等式
、
、
都不一定成立，
而
成立，不等式
恒成立，反之，当
时，
不一定成立，
所以命题
成立的一个必要不充分条件是
.故选：D
考向四 零点个数
【例4-1】（2025 河南）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】由
，得
，因此函数
的零点即为函数
与
的图象交点横
坐标，在同一坐标系内作出函数
与
的图象，如图，
观察图象知，函数
与
的图象有唯一公共点，
所以函数
的零点个数为1.故选：B
【例4-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）函数
与函数
的图象交点个数为（ ）
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】函数
定义域为
，最小正周期为
，
，当
时，
，
函数
在定义域
上是增函数，当
时，
，当
时，
，
因此函数
与函数
的图象交点横坐标只能在区间
上，
在同一坐标系内作出函数
的部分图象，如图：
观察图象知，函数
与函数
的图象交点个数为5.
故选：B
【例4-3】（2025·四川巴中·一模）已知函数
，则方程
实数根的个数为
（ ）
A．6
B．7
C．10
D．11
【答案】D
【解析】因为
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
；
当
时
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，又
；
作出函数
的图象，如图所示：
令
，则有
，
易得此时有4 个解，分别为
，
，
，
，
结合图象可得：
当
时，即
，此时有1 个解；
当
，即
时，有4 个解；
当
，即
有3 个解；
当
，即
有3 个解；
所以原方程共有
个解．
故选：D
【一隅三反】
1．（2025 北京）函数
的零点个数为
【答案】3
【解析】由题意可知：要研究函数
的零点个数，只需研究函数
，
的图像交点个数即
可.画出函数
，
的图像，
因为
时，
，
时，
，
时，
，
可知当
和
时，图像各有一个交点，
时，必有一个交点，
且交点为
，
及第二象限的点C.
2．（2024 高三·全国·专题练习）函数
的零点个数为 ．
【答案】4
2
2y
x
1
x
1
2
y
y
3
x
1
2
y
y
5
x
1
2
y
y
1
3
x
3
5
x
0
x
2,4
A
4,16
B
【解析】令
，得
或
．
设
，
，在平面直角坐标系中先画出
的图象，
保留
轴上方的部分图象并把
轴下方的图象向上翻折即得
的图象，
再作出
的图象，如图所示，由图可知两者共有3 个交点.
综上所述，函数
共有4 个零点．
故答案为：4.
3（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数
，则函数
在区间
上的零点个
数为
【答案】5
【解析】令
，即
，亦即
.
当
时，在区间
上，
.
当
，即
时，
在一个周期
内，
有两个解，在区间
上，
也有两个解.
由上述计算可知，
有个解，
有
个解，
所以函数
在区间
上的零点个数为
个.
4．（2024·山东·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，对任意
，都有
，
当
时，
，则
在
上的零点个数为
【答案】21
【解析】因为
，令
，得到
，
所以
，从而有
，又函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，即
，所以函数
的周期为
，
令
，则
，又当
时，
，
所以
，得到
，
故
，又
，所以
在
上的图像如图，
又当
时，由
，得到
，当
，由
，得到
，即
，
又
，所以
，
，
，
又由
，得到
，即
，
所以
，
再结合图像知，
在
上的零点个数为21 个，
考向五 已知零点个数求参数
【例5-1】．（2025·湖南·二模）若函数
与直线
恰有三个交点，则a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】画出
的图象，
由图象可知a 的范围是
.
故选：D
【例5-2】（2025·浙江）设
，函数
若函数
恰有三个零点，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知，
的对称轴为
，
当
即
时，
的图象如图1，此时令
，可得
，
观察图象可解得
或
，即方程有两个根，则此时
只有两个零点，不合题意；
当
即
时，
的图象如图2，此时令
，可得
或
，
因为
和
均为
的根，
所以要使函数
恰有三个零点则需满足
只有一个根，且
,当
时，
．
当
时，
的对称轴为
，
则
，解得
，
故
．
综上，
的取值范围为
．
故选：A.
【一隅三反】
1．（24-25 云南）已知函数
，若函数
有2 个零点，则的取值范围是
【答案】
或
【解析】由函数解析式可画出函数图象如图：
若函数
有2 个零点，可得函数
与函数
有两个交点，可得
或
.
2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
恰有2 个极值点，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为函数
的定义域为
，
由
，可得
，
要使函数
有两个极值点，只需
有两个不同正根
，并且
在的两侧的单调性相反，
由
得，
，所以
，
由题意可知
与
有两个不同的交点，
令
，则
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
所以
，当
时，
，
作出图形如图所示：
由图象可得实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
3．（2025·安徽池州·二模）已知函数
，若
有4 个互不相同的根，
则
的取值范围为
【答案】
【解析】令
，则方程
可转化为
.
对
进行因式分解可得
，则
，
.
所以
或
.
当
时，
，因为指数函数
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
且
.
当
时，
，对其求导，
.
令
，即
，解得
（
）.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
所以
在
处取得极小值，也是最小值，
.
对于
：
当
时，
，即
，
，解得
，有个根.
因为
有
个互不相同的根，
已经有个根，所以
需要有个不同的根.
结合
的图象可知，当
时，
与
有个不同的交点，即
有个不同的根.
的取值范围为
.
考向六 比较零点大小
【例6】（24-25 高三上·天津和平·期末）设
，
，分别为函数
，
，
的零点，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
又由
，得
，即函数
与
的交点横坐标就是
，
根据
递增且过点
，
在
递减，由图可得：
，
又由
，得
，即函数
与
的交点横坐标就是
，
根据
递增且过点
，
在
递减且过点
，由图可得：
，
由于
，根据幂函数
，解得
，即
，（也可以数形结合判断）
综上可知：
，
故选：A.
【一隅三反】
1．（24-25 高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数
的零点分别为a，b，
c，则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题意得
在R 上单调递增，
在
上单调递增，
又
，
，故
，
，
，故
，
，故
，
故
.
故选：B
2．（24-25 高三下·天津河西·阶段练习）已知函数
的零点为
，
，
，则
，
，的
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为
是
的零点，则
为
的解，分别做
与
的图像如下，
如图可知
，所以
，
，
所以
.
故选：
3．（24-25 重庆长寿·期末）已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
的零点
可以看成函数
与
图象交点的横坐标，根据函数
图象可知
，
同理
的零点
可以看成函数
与
图象交点的横坐标，根据函数图象可知
，
的零点
可以看成函数
与
图象交点的横坐标，可得
，
因此
，
故选：D.
考向七 零点之和
【例7-1】（24-25 高三上·广西·阶段练习）偶函数
满足
，当
时，
，则方
程
在
上所有的实数根之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，当
时，
，则
，
又
是偶函数，则
，所以
时，
，
又
，所以
的周期
，其在区间
上的图象如图所示，
不妨设
与
在区间
上的交点分别为
，
由图可知，
，
则方程
在
上所有的实数根之和为
，
故选：C.
【例7-2】（24-25 高三上·河北邢台·期中）函数
的所有零点的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可得
，
则函数
的零点即函数
与函数
在
上的交点的横坐标.
对于函数
，其最小正周期为
，
当
时，函数单调递减，函数值从3 减小到-3,
当
时，函数单调递增，函数值从-3 增大到3.
类似可得函数
在区间
上的图象变化情况.
如图分别作出
和
在
上的图象如下.
由图可知，两函数在
上的图象关于直线
对称，
故两者的交点
与
也关于直线
对称，
故
即函数
的所有零点的和为
故选：C.
【一隅三反】
1．（2025·江西）函数
在区间
上的零点设为
，
…
，则
（ ）
A．6
B．18
C．12
D．16
【答案】B
【解析】由
得
，即
，
∵
与
均关于点
对称，
由图可知，两函数有个交点，不妨设为
，
根据对称性得
，
故函数
在
上所有零点之和为
．
故选B．
2．（24-25 高三上·陕西·期中）已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
在区间
内的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，所以
；
因为
，所以
的周期
且
，
所以
，
因为当
时，
，所以
，所以
，
所以
，
故
在区间
内的零点为
，其零点之和为
，
故选：A.
3．（24-25 福建泉州）函数
在区间
上的所有零点之和等于 ．
【答案】2
【解析】令
，则
，得
，
因为
，所以
，则所有零点之和为
.
故答案为：2
4．（2024·四川绵阳·一模）已知函数
，m 为正的常数，则
的零点之和为 ．
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
由
，得
，令函数
，
，则函数
的图象关于直线
对称，
在同一坐标系内作出直线
与函数
的图象，如图，
直线
与函数
的图象有4 个交点，令其横坐标从左到右依次为
，
观察图象得
，所以
的零点之和为
.
故答案为：
考向八 零点的取值范围
【例8-1】（24-25 安徽 ）已知函数
，若a，b，c，d 互不相等，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
或
，令
，则
或
，
由解析式知：
在
上递减且值域为
，在
上递增且值域为
，在
上递减且值域为
，在
上递增且值域为
．
作出
的草图如下，
令
，不妨设
，则
，
，，
为曲线
与直线
的交点横坐
标，
由图知：
，
且
，
则
，
由对勾函数可知
在
上递减，故
，
故
.
故选：C
【例8-2】（24-25 山东济宁 ）（多选）已知函数
若方程
有4 个不同的
零点
，
，
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的取值范围为
【答案】ABD
【解析】由题得
，所以作出
和
的图象如下：
因为方程
有4 个不同的零点
，
，
，
，且
，
所以
，令
，则由图可知
，
故
，
，故C 错误，AB 正确，
令
，则
或
；
令
，则
或
，所以
所以
，故D 正确.
故选：ABD
【一隅三反】
1．（24-25 浙江绍兴）（）许多设函数
.若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】作出函数
的图象，如图，
由图可知，
，
由
知，
，即
，
即
，得
，故A 错误，B 正确；
由
，得
，所以
故C 正确，
所以
故D 正确，.
故选：BCD.
2．（24-25 湖北）设函数
关于x 的方程
有三个不等实根
，且
，
则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】画出函数
的图象，观察图形知，仅当
时，方程
有三个不等实根，
分别对应直线
与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设
，显然
关于
对称，则
，
另一个交点位于直线
上，在
中，当
时，
，即
，
因此
，所以
.
故答案为：
3．（24-25 高三上·江苏泰州·开学考试）已知
，若
，
则
的最大值为 .
【答案】
【解析】设
，则
的图象如图所示，
即
的图象与
的图象有3 个交点，横坐标依次为
，且
由余弦函数图象的性质可知，
，
又
，所以
，
令
，
则
，令
，解得
或
，
当
时，
在
单调递增，
当
时，
在
单调递减，
当
时，
在
单调递增，
又因为
，
所以
，
所以
，
故答案为：
.
考向九 二分法
【例9-1】（24-25 湖北）借助信息技术，用二分法求函数
零点的近似值得到下表数据：
1.00
1.25
1.50
1.625
0.6931
0.4325
0.0879
-0.1193
则由表中的数据，可得函数
的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（ ）
A．1.5625
B．1.25
C．1.4375
D．1.46875
【答案】A
【解析】因为
，故
的零点在区间
内，
区间长度为
，因此需要取区间
的中点1.5625，
两个区间
和
中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，
此时区间长度
，因此1.5625 是一个近似解．
故选：A
【例9-2】（2025 安徽滁州·期中）设函数
，用二分法求方程
近似解的过程中，
计算得到
，则方程的近似解落在区间（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【分析】根据题意，求得
，得到
，结合零点的存在性定理，即可求解.
【详解】由函数
，且
，可得
，
所以
，根据零点的存在性定理，
可得方程
的近似解落在区间为
.
故选：A.
【一隅三反】
1．（23-24 陕西西安）若函数
的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数
据如表：那么方程
的一个近似根（精确度0.04）为（ ）
A．1.5
B．1.25
C．1.375
D．1.4375
【答案】D
【解析】由表格可知,方程
的近似根在
内,
又因为
,故方程
的一个近似根(精确度 0.04)为1.4375.
故选: D.
2．（23-24 黑龙江）小胡同学用二分法求函数
在
内近似解的过程中，由计算可得
，
，
，则小胡同学在下次应计算的函数值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，则根应该落在区间
内，
根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即
.
故选：D.
3（24-25 湖南永州·期末）（多选）下列函数图象与
轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由二分法的定义知，若函数
在区间
上连续，且满足
，
则可以利用二分法求函数
的零点的近似值，
所以选项B、D 中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点，
选项A、C 中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点.
故选：AC.
