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2.6 函数的零点（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（24-25 天津·阶段练习）已知函数
的部分函数值如表所示:
那么函数
的一个零点的近似值（精确度为
）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题干所给数据可知，
，
，且函数
在
上为增函数，
由零点存在定理可知，函数
的唯一零点在区间
内，
区间长度为
，结合选项可知，其近似值为
.
故选：B.
2．（24-25 湖南）下列函数中，在区间
上是严格增函数且存在零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A：因为
在区间
上是严格减函数，故A 错误；
对于B：
在区间
上是严格增函数，但
在区间
上不存在零点，故B 错误；
对于C：
，在区间
上是严格增函数，
由
可得
，
在区间
上且存在零点，故C 正确；
对于D：
在
单调递减，在
单调递增，故D 错误.
故选：C.
3．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数
的零点分别为
，
，，
则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】A
【解析】由题设，
，
，
，
所以问题可转化为
与
、
、
的交点问题，函数图象如下：
因为
与
关于
对称，而
与
互相垂直，
所以
，
，则
.
故选：A
4．（24-25 高三下·江苏淮安·开学考试）函数
的图象与直线
的交点个数为
（ ）
A．1
B．
C．5
D．
【答案】C
【解析】求函数
的图象与直线
的交点，
可得
，
，
即得
，
令
,
根据正弦函数的性质得
有1 个解，
有2 个解，
有2 个解，
所以
共有5 个解，
函数
的图象与直线
的交点个数为5.
故选：C.
5．（2025·湖南·二模）已知
，函数
，在
上没有零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，若
无解，则
或
；
当
时，
，若
无解，则
.
综上，实数
的取值范围是
.
故选：B.
6．（2025·宁夏·一模）已知函数
，若函数
与
的图象有三个交点，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
与
的图象有三个交点，所以
，
当
时，方程必然成立，
当
时，分离参数可得
，则
与
有两个交点，
若
，则
，若
，则
，如图所示，
结合图像，
要与
有两个交点，需满足
.
故选：C
7．（23-24 贵州）已知
是函数
的零点，
是函数
的零点，则
的值为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】由题意可得
的零点为函数
与
交点的横坐标，
因为
和
在
上递增，所以
在
上递增，
所以
为
唯一的零点，设函数
与
交点为A，
的零点为函数
与
交点的横坐标，
因为
和
在
上递减，所以
在
上递减，
所以
为
唯一的零点，设函数
与
交点为
，
因为
与
的图象关于直线
对称，
与
的图象关于直线
对称，
所以
关于直线
对称，
所以
.
故选：B.
8．（24-25 高三下·广东广州·阶段练习）已知函数
的零点分
别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
都是增函数，
所以函数
都是连续增函数，
因为
，
，即
，
所以
在
在存在唯一零点，即
，
因为
，
，即
，
所以
在
在存在唯一零点，即
，
令
，即
，即
，解得
，即
，
综上：
.
故选：B.
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的零点个数可能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】BC
【解析】由
，
，得
，
求函数
的零点个数等价于求函数
和
的图像的交点个数.
函数
的导函数
，当
时
；当
时
.
所以函数
在
上单调递增，在
单调递减.
时有最大值
，
时
，
时
，
，
.
过定点
的直线
，与函数
的图像的交点数为1 个或2 个，如图所示.
所以函数
的零点个数为1 个或2 个.
故选：BC.
10（24-25 高三下·云南·阶段练习）定义在
上的函数
，对任意
，都有
.当
时，
.设
，若
在
内恰有个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】BC
【解析】由
，知函数
以2 为周期，
又由函数
在
上恰有3 个不同的零点，
得函数
的图象与
的图象在
上有3 个不同的交点，
直线
恒过定点
，且
，
如图，
如图，当直线
过点
时，得
，解得
；
当直线
过点
时，得
，解得
；
当直线
过点
时，得
，解得
；
当直线
过点
时，得
，解得
；
要使两函数图象在
上有3 个交点，
则
或
或
.
故选：BC.
11．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）已知关于
的方程:
有两个正根
，则下
列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，
，函数
在
上递增，
因此函数
在
上递减，在
上递增，
，
是直线
与函数
的两个交点，则
，A 正确；
对于B，取
，
，则
，而
，
此时
，B 错误；
对于C，
，而
，因此
，C 正确；
对于D，
，则
，于是
，
，令函数
，
，
函数
在
上单调递增，
，因此
，即
，D 正确.
故选：ACD
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（24-25 山东济宁）若函数
在区间
上存在零点，则常数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为函数
、
在
上均为增函数，
所以，函数
在区间
上为增函数，
因为函数
在区间
上存在零点，
则
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
13．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
则函数
的零点个数为
．
【答案】6
【解析】令
，则
，
作出
的图象，如图（a）所示，
有3 个根，且
，
作出
的图象，如图（b）所示，
则
各有2 个根．
综上，函数
的零点个数为
．
故答案为：
.
14．（24-25 四川绵阳）设
是函数
的零点，
是函数
的零点，则
.
【答案】2
【解析】已知
是
的零点，则
，即
.
因为
是
的零点，所以
，移项可得
.
令
，则
，那么
，即
.
对比
与
，发现
，当
和
时函数值相等.
容易知道
在
单调递增，则
也是单调递增函数，所以
，即
.
将
移项可得
.
故答案为：2.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（24-25 天津）已知函数
.
(1)求函数
在
上的最值；
(2)设
在
上有两个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)最大值1，最小值
；
(2)
.
【解析】（1）函数
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，
函数
在
上的单调递增，在
上的单调递减，
则
，而
，
，
所以
.
（2）函数
在
上有两个零点，即方程
在
上有两个不等根，
亦即直线
与函数
在
上的图象有两个交点，由（2）知
，
所以
的取值范围是
.
16（24-25 安徽芜湖·期末）已知函数
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若当
时，关于
的方程
有且仅有一个实数解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以原不等式可化为
，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
．
（2）若当
时，关于
的方程
有且仅有一个实数解，
则方程
有且仅有一个实数解，
所以
有且仅有一个属于
的实数解．
因为函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，且
，
，
当
趋向于0 时，
趋向于
，
所以
或
，解得
或
或
，
所以实数
的取值范围是
．
17．（24-25 河南洛阳）已知函数
在
及
处取得极值．
(1)求a，b 的值；
(2)若关于x 的方程
有三个不同的实根，求c 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得
，
由函数
在
及
处取得极值，得
解得
，此时
，
，
则
得
或
；
得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
则
和
分别为
的极大值点和极小值点.
故
.
（2）由（1）可知，
在
处取得极大值，在
处取得极小值．
又
有三个不同的实根，所以
解得
，所以实数c 的取值范围是
．
18．（2025·新疆·三模）已知函数
，
且
．
(1)当
（为自然对数的底数）时，求函数
在
处的切线方程；
(2)函数
在
上有且仅有两个零点，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
且
．
【解析】（1）因为
，所以
，
，
，
，
所以函数
在
处的切线方程为
．
（2）
因为函数
在
上有且仅有两个零点，
所以方程
有且仅有两个不同的实数根，即方程
有且仅有两个不同的实数根．
令
，则方程
有且仅有两个不同的实数根，
∵
，
所以在区间
上，
，
单调递增，
在区间
上，
，
单调递减且
，
∴
，
∵
与
有两个交点，
∴
，结合图像解得
且
．
19．（24-25 辽宁）设函数
(1)求函数
在R 上的最大值；
(2)若不等式
在
上恒成立，求a 的取值范围；
(3)若方程
在
上有四个不相等的实数根，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）
，
令
，
，
则
变为
，
①当
，即
时，函数
在
上单调递增，
所以
，
②当
，即
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
③当
，即
时，函数
在
上单调递减，
所以
，
故
．
（2）若要
，则需
恒成立，
当
时，
，
函数
变为
，
，
所求问题变为
恒成立，
则只需
，
解得
，
故的取值范围是
；
（3）令
，
，
，
若方程
在
上有四个不相等的实数根，
故需当
时，关于
的方程
在
时有2 个不等实数解，则
，
所以原问题可转化为
在
内有两个不等实数根，
令
，
则有
，
解得
，
即
的取值范围是
．
