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2.6 零点定理（精练题组版）
题组一 求零点
1.（24-25 安徽）设
是函数
的零点，则
的值为 .
【答案】
/-0.75
【解析】因为
，
令
，则
，所以
，即
，
又因为
所以
，所以
，
所以
.故答案为：
2（24-25 四川资阳）函数
在
内的零点为
【答案】
【解析】令
，即
，即
，解得
，
因为
，所以当
时，
符合题意.故答案为：
3.（24-25 山东淄博）函数
在
的零点为 ．
【答案】
或
【解析】
，
令
，即
，解得
或
，
∵
，∴
，又
，∴
或
.
故答案为：
或
.
4．（24-25 上海嘉定）函数
的零点是 .
【答案】6
【解析】令
，即
，
则
，
，
解得
或
（舍去），
所以函数
的零点为6.
故答案为：6.
5.（24-25 云南昭通·期末）已知函数
，则函数
的零点是 ．
【答案】1 和
【解析】令
，则
，或
，解得
，或
，
则函数
的零点是
和
．
故答案为：1 和
6．（24-25 云南昭通·期末）已知函数
，则函数
的零点是 .
【答案】1 和4
【解析】令
，则
，或
，解得
，或
，
则函数
的零点是
和
.
故答案为：1 和4
题组二 零点区间
1．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于
，
，且
中
，
故
，
在
单调递增，因此
至多一个零点，
,
,
，
因此
的零点所在的区间是
，故选：C
2．（24-25 高三上·甘肃武威·期末）函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
定义域为
，
因为
在区间
上单调递减，
在区间
上单调递增，
所以
在
上单调递减，
因为
，
，
所以
的零点所在区间为
．
故选：A
3．（2025·河北沧州·二模）函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
与
均在定义域上单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，
，
，
，
又
，
函数
的零点所在区间是
．
故选：B．
4．（24-25 广东深圳·期末）已知函数
，则在下列区间中，函数
一定有零点的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在同一坐标系内，作
，
图象，如图，
由图象可排除AB 选项，
又
,
，
，
所以由零点存在定理及图象可知，函数
在
上无零点，在
上有零点，
所以C 错误，D 正确.
故选：D
5．（24-25 高三上·贵州黔东南·期末）函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得，函数
定义域为
.
函数
∵
，
在
均为减函数，
∴
在
为减函数，
∵
，
，
函数
∴
的零点所在区间为
.
故选：A.
题组三 根据零点区间求参数
1．（2025 湖南）若函数
在区间
上有零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数f(x)定义域是
，
因函数
，
在
上都是单调递增的，而
，
当
时，
在
上单调递增，当
时，
在
上单调递减，当
时，
无零点，
于是得当
时，函数
在
上连续且单调，
因函数
在区间
上有零点，则由零点存在定理有：
，即
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.故选：C
2．（2025·宁夏银川·三模）函数
在区间
上存在零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若函数
在区间
上存在零点，
由函数
在
的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足
，
即
，
解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D.
3．（23-24 湖南株洲）若方程
的实根在区间
上，则
（ ）
A．
B．2
C．
或2
D．1
【答案】C
【解析】方程化为
，
分别做出方程左右两边的图象，
从图象可知，方程
，
方程有两个分别在
和
之间的根，
下面证明：方程
在
和
之间各有一个实根，
设
，
根据函数性质得在区间
上是增函数，
又
，
，
则
，
由零点存在性定理知，
在区间
上仅有一个零点，
即方程
区间
上仅有一个实根，
同理可得方程
区间
上仅有一个实根，
结合题意可知，
或
，
故选：C.
4．（2024·四川巴中·一模）若函数
在区间
内恰有一个零点，则实数a 的取值集合为
（ ）
A．
B．
或
.
C．
D．
或
.
【答案】D
【解析】由函数
，
若
，可得
，令
，即
，解得
，符合题意；
若
，令
，即
，可得
，
当
时，即
，解得
，此时
，解得
，符合题意；
当
时，即
且
，则满足
，
解得
且
，
若
，可得
，令
，即
，
解得
或
，其中
，符合题意；
若
，可得
，令
，即
，
解得
或
，其中
，符合题意；
综上可得，实数
的取值范围为
或
.
故选：D.
5．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数
在区间
内有零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，由
可得
，
令
，
因为函数
、
在
上均为增函数，
故函数
在
上为增函数，
因为函数
在区间
内有零点，则函数
在区间
内有零点，
所以，
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：D.
题组四 零点个数
1．（2025·云南红河·三模）函数
的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】
，
，
令
，得
或
；令
，得
，
所以函数
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
，
所以函数
的极大值为
，极小值为
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
的零点个数为2．
故选：C．
2．（24-25 高三下·河北·阶段练习）函数
与
的图象在
上的交点个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】由题意作出
与
的图象：
结合图象可以得到在
上两图象有5 个交点，
故选：D.
3．（2025·河北·一模）函数
在
上的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】令函数
，根据
勾函数
的性质可知：函数
“
”
在
上单调递减，在
上单调
递增，
且
，
.
所以当
时，
，
由
，
.
只有当
时，的值分别对应
.
又因为
在
上各有2 个解，
所以
在
上有6 个零点.
故选：C
4．（2025·河南·模拟预测）函数
在
上的零点和极值点的个数分别为（ ）
A．5，3
B．5，4
C．3，4
D．3，2
【答案】B
【解析】令
，所以
或
，
又
，所以
，即
在
上有5 个零点；
，
令
，解得
或
，
又
，所以
在区间
上有2 个解，
在区间
上有
2 个解，故
在
上有4 个变号零点，即
在
上有4 个极值点.
故选：B.
5．（2025·江西上饶·二模）下列选项中，曲线
与
在
上的交点个数不一样
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
，
，曲线
与
的交点个数，即方程
解的个数，
对于A，
，由
，得
或
，
当
时，由
，得
，方程
有4 个解，共7 个；
对于B，
，由
，得
或
，
当
时，
，共5 个；
对于C，
，由
，得
或
，
当
时，方程
有3 个解，方程
有4 个解，共7 个；
对于D，
，由
，得
或
，
当
时，方程
有3 个解，方程
有4 个解，共7 个，
所以交点个数不一样的是
.
故选：B
6．（24-25 高三下·河北秦皇岛·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
的零点均为
的零点
B．
的零点均为
的零点
C．
的极值点均为
的零点
D．
的零点均为
的极值点
【答案】B
【解析】依题意，
，
由
，得
，
解得
，即
或
，
由
，得
，解得
，
因此
的零点均为
的零点，B 正确，A 错误；
由
，得函数
的极值点
，
无论
，
取何整数，
与
均无相同的数，故C，D 错误.
故选：B
7．（2025·山东枣庄·二模）函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】函数
，由
，得
或
，
当
时，
，因此函数
在
上的零点个数为4.
故选：B
8．（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【解析】
，
，
令
，则
或
，
当
，有
或
或
，
当
，有
或
或
或
.
故选：D
9．（24-25 福建龙岩·期末）若函数
，则函数
的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．无数个
【答案】B
【解析】由
得，
在区间
上的函数值都是区间
上相应函数值的一半，
，
又
时，
是增函数，即
，
记
，因此
时，
，
函数
的零点个数，即
的正解的个数，即
的正解的个数，
即函数
与函数
的交点个数，
令
，它在
上是减函数，
，
，
，
，当
时，
，
作出
和
在
上图象，如图，由图可知：
在
时，
的图象与
的图象没有交点，所以在
上，它们只有三个交点，
所以
的零点个数为3.
故选：B．
10．（2025·河北张家口·一模）函数
的零点个数可以为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】ACD
【解析】
由题函数
，
所以函数
定义域为
关原点对称于，且
，
所以函数
是偶函数，当
时，函数
，
设直线
与
相切于点
，直线
与
相切于点
，
对
求导得
，对
求导得
，
所以由导数几何意义有
，且
，
，
所以
，此时
，
，此时
，
综上，如图，由指数函数和对数函数图象性质可知：
当
时，函数
与
图象关于直线
对称，且均与该直线相交于公共两点，
此时函数
有两个零点；
当
时，函数
与
图象关于直线
对称，且均与直线
相切于一点
，
此时函数
有1 个零点；
当
时，函数
与
图象关于直线
对称，且两图象分布在该直线两侧，
无交点，此时函数
无零点；
所以，综上可知，函数
的零点个数可以为0 个或2 个或4 个.
故选：ACD
题组五 已知零点个数求参数
1．（2025·陕西西安·二模）已知函数
，若
在
上有2 个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
当
时，
有1 个零点
，
则当
时，
只有一个零点，
即方程
在
时有一个解，
即方程
在
时有一个解，
因为函数
为增函数，
且当
时，
，
则
，即
.
故选：B.
2．（2025·陕西西安·一模）已知函数
，
，若
有一个零点，则m 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由
，得
，因此
有一个零点，
当且仅当函数
的图象与直线
有且仅有一个公共点，
函数
在
上单调递增，函数值集合为
，在
上单调递增，函数值集合为R，
在同一坐标系内作出函数
的图象与直线
的图象，
观察图象知，当
时，函数
的图象与直线
有两个交点，
当
时，函数
的图象与直线
有1 个交点，
所以m 的取值范围是
.
故选：C
3．（2024·广东珠海·一模）已知函数
在R 上没有零点，则实数a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
设
，
的图象如图所示，
问题转化为
与函数
的图象没有交点，
所以
或
,
解得
或
,
故选：A.
4．（2025·山西临汾·二模）已知
，函数
，若函数
有
三个零点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】
因为函数
有三个零点，即方程
有三个解，
当
时，方程为
，即
，即
，
因为
，所以
，所以方程有两个根，又
，
所以
有一个正根与一个负根，
又
，所以
有一正的零点，
当
时，方程为
，即
因为函数
有三个零点，所以方程
有两个非正根，
所以
，解得
，又
，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
5．（2025·天津）已知函数
，若函数
在
上恰有三个不同的零点，
则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意，
，
当
时，由
，得
，即
，
当
时，由
，得
，
而两个方程分别至多有
个解，又函数
有个零点，则两个方程共有个解，
当
①
时，方程
有两个解
，
则
，
，解得
；
此时当
时，方程
有且只能有一个解，
则方程在
上只有一解，即
，解得
，
或方程
有两解
，并满足
，
则
，解得
，因此
；
当
②
时，方程
方程有一个解，显然
，
则方程在
上只有一解，即
，解得
，
或方程
有两解，则
，解得
；
此时当
时，方程
有两个解
，并满足
，
即
，解得
，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
6．（2024·广东·二模）若函数
的图象与直线
有两个交点，则
的最小值为 .
【答案】3
【解析】
函数
是偶函数，且
，
当且仅当
时等号成立，此时
，
因为
的图象与直线
有两个交点，所以
的最小值为.
故答案为：.
7．（2024·北京西城·模拟预测）若关于
的方程
恰有三个不同实数解，则实数
的值为 ．
【答案】
【解析】
问题等价于函数
的图象和
恰有三个不同公共点，
的图象可由
的图象
轴上方的不动，
轴下方的对称上去，
如图数形结合可得
故答案为：
8．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数
在
上只有两个零点，则实数
的取值范围为
．
【答案】
【解析】
令
，则有
，
因为
，所以
，
令
，则直线
与
的图象有两个交点，
因为
，
所以当
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
所以
．
又当
时，
，当
时，
，
故
的图象如图所示：
所以
．
所以实数
的取值范围为：
．
故答案为：
．
9．（24-25 高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数
.若
在区间
上有两个
不相等的实数解，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】
因为方程
在区间
上有两个不相等的实数解，
所以二次函数
的图像与
轴有两个交点，
因为
的对称轴为
，
所以：
，解得
，
的取值范围为
.
故答案为:
10．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数
在
上只有一个零点，则实数k 的值为 .
【答案】
/
【解析】令
，则有
，令
，
则直线
与
的图象有1 个公共点，
因为
，
所以当
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减，所以
.
又当
时，
，当
时，
，
故
的图象大致如图所示，
所以
，即实数k 的值为
，
故答案为：
.
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
在
上有且仅有一个零点，
则
的取值范围是： ．
【答案】
【解析】由条件：①
时，令：
（这是单调递增的），
故
时，
，而
，
有且仅有一个零点
，
令：
，
，当
时，
，
单调递减，
而
，
，所以：
．
②
，同
，令：
①
（这是单调递减的），故：
，
所以：
，由
得：
①
，
，
所以：
，综上：
．
故答案为：
题组六 比较零点大小
1．（24-25 江西）已知函数
的零点分别是
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，
得
，
则
为函数
与
交点的横坐标，
为函数
与
交点的横坐标，
为函数
与
交点的横坐标，
在同一直角坐标系中，分别作出
和
的图象，
如图所示，由图可知，
.
故选：C.
2．（2024·海南·模拟预测）已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，即
，
由题意可知：
为
与
的交点横坐标；
为
与
的交点横坐标；
为
与
的交点横坐标；
在同一平面直角坐标系中作出
的图象，
由图可得：
.
故选：D.
3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设
，函数
的零点分别为
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】分别令
，
则
，
则
分别为函数
与函数
图象交点的横坐标，
分别作出函数
的图象，如图所示，
由图可知，
.
故选：A.
4．（2025·内蒙古）设函数
的零点分别为a,b,c, 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
可得
，
可知
与
的交点横坐标分别为a,b,c,
在同一坐标系内作出
，
的图象，
根据图象可知：
与
有2 个交点，但均有
，
所以
.
故选：A.
5．（2025·湖北）已知
，则正数
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，由此
，
分别为方程
的解，在同一坐标系作函数
的图像，
分别与函数
的图像分别交于
，其横坐标分别为
，
由图可知
.
故选：A.
6．（24-25 河南）设
，
，
均为实数，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
，分别是函数
与
，
，
图象的交点横坐标．
在同一坐标系内作出函数
，
，
，
的图象，
如图所示，由图可得
．
故选：A.
7．（2024·广东·二模）设
，
，分别为函数
，
，
的零点，则
，
，的大小关系为( ).
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
时，
，又因为
单调递增，所以
；
若
，则
，所以
时，
，即
；
若
，则
，所以
时，
，即
.
综上所述，
，故选：D.
8．（2025·四川达州·模拟预测）（多选）若实数
都是一次函数
的零点，则下列不等关
系中可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意可得，
，即
，在同一坐标系下作出
的图象如图.
根据图象可知，
时，
，
时，
，有
或
，故B 错误；
若
，则
，所以
，故A 正确；
若
，则
，所以
，故D 正确；
当
时，
单调递增，因为
，所以
，使得
，所以
，即
，故C 正确.
故选：ACD
题组七 零点之和
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
满足
，若函数
有6 个零点，
则6 个零点的和为 ．
【答案】6
【解析】由
，可得
，即
的图象关于点
对称，
又由函数
的图象也关于点
对称，
所以函数
的图象关于点
对称，
因为函数
有6 个零点，可得该函数的零点之和为
．
故答案为：6.
2．（2025·四川成都·三模）已知
，则函数
在区间
上的所有零点之和为
.
【答案】5
【解析】依题意，
的定义域为
令
,则
，
所以
在
上的有零点之和即为
和
在
上的有零点之和，
在
上单调递增，且
在
上的零点为
，
所以
当
分别等于
，即x 分别等于
时
在
上的零点为
在
上的所有零点之和为
，
故答案为：5．
3．（24-25 高三上·云南德宏·阶段练习）已知函数
满足
，若函数
在
上的零点为
，
，
，
…
，则
【答案】
【解析】由
，可得
，
解得
，易知
为奇函数，故
的图象关于原点对称，
则函数
在
上的图象关于原点对称，
故函数
在
上的零点也关于原点对称，和为0，
在
上的零点和即为
上的零点和，
令
，得
，
，
，作出
和
在同一坐标系中的图象，
可知
在
内的零点有
和
两个，
故
.
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
的所有零点之和为
．
【答案】
【解析】当
时，
，令
，解得
，
，
则当
时，
有两个零点
，且
；
当
时，
，
令
，得
或
，由
，得
.
设
，则
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
故
，则
，
故
，
在
上单调递增，又
，所以
存在唯一的零点1.
故当
时，
有且仅有一个零点1.
故
所有零点之和为
．
故答案为：
5．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知偶函数
定义域为
，且
，当
时，
，则函数
在区间
上所有零点的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
，
的零点的集合与方程
在区间
上的解集相等，
又方程
可化为
，
所以函数
，
的零点的集合与函数
和函数
在区间
内的交点横坐标的集合相等，
因为函数
为定义域为
的偶函数，
所以
，函数
的图象关于
轴对称，
因为
，
取
可得，
，
所以函数
为偶函数，
所以函数
的图象关于
对称，
又当
时，
，
作出函数
，
的区间
上的图象如下：
观察图象可得函数
，
的图象在区间
上有
个交点，
将这
个交点的横坐标按从小到大依次记为
，
则
，
，
，
，
所以函数
在区间
上所有零点的和为
.
故选：A.
6．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数
的所有零点之和为
【答案】0
【解析】由零点定义可知，函数的零点，就是方程
的实数根，令
，
则
，显然
，所以
，
构造函数
与函数
，则方程
的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数
有两个零点，
设为
，所以
，
，
即
，
另外发现，将
代入，可得
，
所以
也是函数
的零点，说明
，即
.
7．（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）已知定义域为
的函数
满足
，且曲线
与曲线
有且只有两个交点，则函数
的零点之和是
【答案】2
【解析】由题意定义域为
的函数
满足
，
则
的图象关于点
成中心对称，
函数
的图象是由
的图象向右平移一个单位得到，
故
的图象关于点
成中心对称，
又曲线
与曲线
有且只有两个交点，
则这两个交点关于
对称，故这两个交点的横坐标之和为2，
而函数
的零点即为曲线
与曲线
交点的横坐标，
故函数
的零点之和是2，
8．（23-24 高三上·辽宁沈阳·开学考试）函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则函数
在
上的所有零点之和为
【答案】8
【解析】函数
∵
是定义在
上的奇函数，∴
.
又函数
∵
，
∴
函数
∴
是偶函数，函数
∴
的零点都是以相反数的形式成对出现的.
函数
∴
在
上所有的零点的和为0，
函数
∴
在
上所有的零点的和，即函数
在
上所有的零点之和.
即方程
在
上的所有实数解之和.
由
时，
，故有
，
函数
∴
在
上的值域为
，当且仅当
时，
.
又当
∵
时，
，如图：
函数
∴
在
上的值域为
；函数
在
上的值域为
；
函数
在
上的值域为
，当且仅当
时，
，
即方程
在
上的有一个实数解
，即
有一个零点
；
综上，函数
在
上的所有零点之和为8.
题组八 零点的取值范围
1．（2025·陕西西安·二模）已知函数
，若函数
的四个零点从小到大排列
依次为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
有四个零点，所以方程
有四个根，
所以方程
有四个根，
所以函数
的图象与函数
的图象有四个交点，
作函数
的图象可得
观察图象可得
，
，且
，
所以
，所以
，
所以
，故
，
令
可得，
，故
，
所以
，
所以
，
因为函数
在
上单调递减，
所以
，即
，
又
，
所以
，
所以
的取值范围为
，
故选：D.
2．（24-25 甘肃兰州·期末）已知函数
，若
，
，
，
是方程
的四个互不
相等的解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
当
时，令
，即
，解得
或
，
方程
的解的个数即为
的图象与
的图象的交点个数，
在同一平面直角坐标系中作出函数
的图象与
的图象，
结合两函数图象可知，方程
的四个互不相等的解时，的取值范围是
.
不妨设
，
结合图象知：
且
，
，
由
，即
，所以
，又
，
，
故
的取值范围是
.
故选：C
3．（23-24 陕西）（多选）已知函数
，若存在实数
（
）
满足
，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】作出函数
的图象，如图：
令
，得
或
或
，
由存在实数
满足
，
得直线
与函数
的图象有4 个不同交点，由图象知
，D 正确；
由
与
关于
对称，得
，B 正确；
由
，得
，
即
，则
，
整理得
，C 正确；
，由图象得
，于是
，
即
，因此
，A 错误.
故选：BCD
4．（2024·四川成都·二模）已知函数
，若方程
有四个不同的解
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
，
，
，
又函数
对称轴为
，
在同一平面直角坐标系中画出
与
的图象，
因为方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，
即
与
有四个交点，所以
，
由图可知
，
又
，
关于
对称，即
，
又
，且
，
即
，则
，
所以
，则
；
所以
，
令
，
，
由对勾函数的性质可知
在
上单调递增，
又
，
，
所以
，
即
．
故选：D．
5．（2024·福建漳州）已知函数
，若函数
恰有5 个零
点
，且
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，此时，
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
可得
在
上单调递减且恒负，在
上单调递增且恒负，且
，
当
时，
，作出
的大致图象如图所示，
函数
恰有5 个零点
，
等价于方程
有5 个不同的实数根，
解得：
或
，
，该方程有5 个根，
且
，则
，
，
当
时，
，
，故
，
所以
；
当
时，
，
，故
，
所以
，
综上：
的取值范围是：
.
故选：B.
6.（23-24 山东）已知
，若
，
，则
的最大
值为 ．
【答案】
【解析】设
，则
，
的图象如图所示，
即
的图象与
的图象有3 个交点，横坐标依次为
，且
，
由余弦函数图象的性质可知，
，
所以
，
又因为
，所以
，
令
，
则
，令
，解得
或
，
当
时，
在
单调递增，
当
时，
在
单调递减，
当
时，
在
单调递增，
又因为
，
，
所以
，
所以
，
故答案为：
．
题组九 二分法
1．（2025 高三下·全国·专题练习）下列函数图象与
轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点，
观察选项A 中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD 中的函数图象可知对应的函数都存在变号零
点，所以选项A 中函数不能用二分法求零点．故选：A.
2．（24-25 辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，函数
在
上单调递增，有唯一零点
，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，函数
，
故函数有唯一零点
，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；
对于C，当
时，
，
当且仅当
时，等号成立，无零点；
当
时
，当且仅当
时，等号成立，
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时有两个零点
，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于D，函数
在
上单调递增，有唯一零点
，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B
3．（23-24 浙江）（多选）某同学利用二分法求函数
的零点时，用计算器算得部分函数值
如表所示：
则函数
的零点的近似值（精确度0.1）可取为（ ）
A．2.49
B．2.52
C．2.55
D．2.58
【答案】BC
【解析】因为函数
在其定义域上单调递增，结合表格可知，
方程
的唯一近似解在
，
，
，
内，
又精确度0.1，
所以方程
的近似解（精确度0.1）可取为
，
.
故选：BC
4（24-25 河南南阳）（多选）下列方程中，可以用二分法求近似解的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，
在
上单调递增，且在
上连续，
且
，
，可以使用二分法求原方程的近似解；
对于B，
在R 上连续且单调递增，
又
，
，可以使用二分法求原方程的近似解；
对于C，
，故不可以使用二分法求原方程的近似解；
对于D，
在
上单调递增，且在
上连续，
且
，
，可以使用二分法求原方程的近似解.
故选：ABD.
5．（24-25 河南濮阳·期末）（多选）下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为
和
在
上连续且单调递增，所以
在
上连续且单调递增，
所以
，无零点，不能使用二分法，故A 正确；
对于B，
，当且仅当
时取等号，
又零点左右函数值同号，不能使用二分法，故B 正确；
对于C，因为
和
在
上连续且单调递增，所以
在
上连续且单调递增，
因为
，所以可以使用二分法，故C 错误；
对于D，
，无零点，不能使用二分法，故D 正确．
故选：ABD．
