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2.1 函数及其表示（精讲）
考向一 具体函数的定义域
【例1】（1）（2024·河北·模拟预测）函数
的定义域为
（2）（2025·陕西）函数
的定义域为
【答案】（1）
（2）
且
【解析】（1）由
，即
，即
，解
.所以函数的定义域为
.
（2）由题意得
，则函数定义域为
且
.故答案为
且
.
【一隅三反】
1.（2025·北京朝阳·一模）函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】对于函数
，有
，解得
，故函数
的定义域为
.故答案为：
.
2.（2025 四川乐山·期中）函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】
的定义域满足
，解得
，故定义域为
，故答案为：
3.（2025 北京）函数
的定义域是 .
【答案】
【解析】要使函数有意义，则满足：
，解得：
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
4.（2025·上海）函数
的定义域为 .
【答案】
【解析】由
，得
，解得
.所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
考向二 抽象函数定义域
【例2】（1）（2025 广东）设函数
，则函数
的定义域为
（2）（24-25 四川）已知函数
的定义域是
，则
的定义域是
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由题意得，
，解得
函数
满足
，解得
，即函数
的定义域为
.
（2）因为函数
的定义域是
，所以
，
所以
的定义域为
，又因为
，即
，所以
，所以函数
的定义域
为
.
【一隅三反】
1．（23-24 辽宁·期中）已知函数
的定义域是
，则
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
的定义域为
，所以
满足
，即
，
又
，即
，所以
，解得
.所以函数
的定义域为
.故选：D.
2.（2025·江苏）若函数
的定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
的定义域为
，则
，可得
，所以，函数
的定义
域为
，对于函数
，则有
，解得
，因此，函数
的
定义域为
.故选：C.
3（23-24 湖北）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
的定义域是
，所以
，所以
，所以函数
的定义
域为
，所以要使函数
有意义，则有
，解得
，所以函数
的定义域为
.故选：A.
考向三 已知定义域求参数
【例3-1】（24-25 福建）若
的定义域为
，则实数
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】由题得
，解得
，函数的定义域为
，故
，
.故选：B
【例3-2】（24-25 贵州）已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意
对于
恒成立；
当
时，
显然成立，可得
符合题意；
当
时，若满足题意可得
，解得
；
当
时，若满足题意可得
，此时无解；
综上可得，
的取值范围是
.故选：C
【一隅三反】
1.（24-25 山东济宁）“
”是“函数
的定义域为R”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意得
在R 上恒成立，
若
，则
，满足要求，
若
，则只需
，解得
，综上，
，
由于
为
的真子集，故“
”是“函数
的定义域为R”的充分不必要条件.故选：
A
2.（24-25 上海）函数
定义域为
的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
的定义域为
，
所以
对任意的
恒成立，
当
时，不等式变形为
，解得
，不符合题意，
当
时，不等式
的解集为
，
所以
，解得
，
综上所述：函数
的定义域为
，则
的取值范围
；
所以
是函数
的定义域为
的一个必要不充分条件，故A 错误；
所以
是函数
的定义域为
的一个必要不充分条件，故B 错误；
所以
是函数
的定义域为
的一个充分不必要条件，故C 正确；
所以
是函数
的定义域为
的一个充要条件，故D 错误.
故选：C.
3．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数
定义域为
，则实数
实数b 的取值范围
．
【答案】 2
【解析】函数
，故
，即
函数
的定义域为
，故
.
故答案为：2；
4．（2025·上海）已知函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数f（x）＝lg（
ax）的定义域为R，∴
ax＞0 恒成立，∴
ax 恒成立，
设y
，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；
令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；
由题意知，直线y＝﹣ax 的图象应在y
的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1 或﹣1≤﹣a<0，
解得﹣1≤a≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．
考向四 函数的解析式
【例4】（2025 高三下·全国·专题练习）求下列函数的解析式：
(1)已知
，求
的解析式；
(2)已知
，求
的解析式；
(3)
是一次函数，且满足
，求
的解析式；
(4)已知
满足
，求
的函数解析式.
（5）设函数
对任意
都满足
，试求出
．
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
或
(4)
（5）
【解析】（1）设
，
，则
，
，
，
.即
，
.
（2）
，
，
.
（3）因为
是一次函数，所以设
，所以
，
又因为
，所以
，故
解得
或
所以
或
.
（4）将
代入
，得
，因此
解得
.
（5）令
代入条件得出
，∴
．
令
代入条件得出
，∴
．
再令
，则有
，而用
代入条件中得
， ①
①中与条件相加得
．
∵
，
．
∴
，于是
．
令
，有
，∴
，∴
或
．
当
时，
，∴
．
∵
，∴
，∴
，即
为所求．
【一隅三反】
1.（2026 高三·全国·专题练习）若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，且
，所以
．故选：D.
2.（24-25 云南昭通·期中）已知
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，且
，代入原式得
，
故
的解析式为
.故选：C.
3.（2024 安徽蚌埠）求下列函数的解析式：
（1）已知函数
，求函数
的解析式．
(2)已知
是一次函数，且
，求
；
(3)定义在区间
上的函数
满足
，求
的解析式．
（4）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，则f(x)的解析式
（5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)的解析式
（6）已知f(x＋
)＝x2＋
，则函数f(x)的解析式
【答案】(1)
(2)
或
(3)
（4）f（x）=
（5）f(x)＝ln x＋1（6）x2－2(|x|≥2)
【解析】（1）由
，则
；
（2）设
，则
，
所以
，解得
或
，所以
或
．
（3）对任意的
有
，由
，①得
，②
联立①②解得，
．
(4 因为函数
的定义域为
，
为偶函数，
所以
，即
，
又
为奇函数，所以
，即
，
所以
，解得
.故答案为：
(5)根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)－ln x 为定值．
设f(x)－ln x＝t，t 为常数，则f(x)＝ln x＋t 且f(t)＝1，即有ln t＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝ln x＋
1，
（6）f(x＋
)＝x2＋
＝(x2＋2＋
)－2＝(x＋
)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).
考向五 相等函数的判断
【例5】（24-25 天津）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出
的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列
选项中是同一个函数的是（）
A．
B．
C．
D．
和
【答案】B
【解析】对于A，
和
定义域均为R，
，
故
和
定义域相同，对应关系不同，
和
不是同一个函数，故A 错误；
对于B，
和
定义域均为R，
，
故
和
定义域相同，对应关系相同，
和
是同一个函数，故B 正确；
对于C，
定义域为
定义域为
，
故
和
定义域不相同，
和
不是同一个函数，故C 错误；
对于D，
定义域为
定义域为
,
故
和
定义域不相同，
和
不是同一个函数，故D 错误；
故选：B.
【一隅三反】
1.（24-25 高三上·山东临沂·阶段练习）下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）.
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【解析】对于A，易知
的定义域为
，而
的定义域为
，
两函数定义域不同，可知A 错误；
对于B，显然
的定义域为
，
而函数
的定义域为
，两函数定义域不同，可知B 错误；
对于C，两函数定义域均为
，但
的值域为
，
而
的值域为
，两函数值域不同，即C 错误；
对于D，易知
与
的定义域、值域、对应关系均相同，即D 正确.
故选：D
2（2024 高三·全国·专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】B
【解析】A 中，
的定义域为
，
的定义域为
，故A 错误；
B 中，
，B 正确；
C 中，
的定义域为
，
的定义域为
，故C 错误；
D 中，
的定义域为
，由
可得
的定义域为
，D 错误．
故选：B.
3．（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）下列函数属于同一函数的是：（ ）.
A．
B．
C．
D．以上均不正确
【答案】C
【解析】A 选项，
无意义，
，故两函数定义域不同，错误；
B 选项，
的定义域为
，
的定义域为
，错误；
C 选项，由解析式可知两函数定义域都是
相同，
约分后与
相同，C 正确.
故选：C
考向六 分段函数
【例6-1】（2025·上海宝山·二模）已知函数
则
= .
【答案】
【解析】由题意可得
.故答案为：
.
【例6-2】（2025·广西柳州·三模）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则
，则
.故选：C.
【例6-3】（2025·江西·二模）已知函数
，若
，则
的值为（ ）
A．0 或
B．0 或
C．
D．
【答案】A
【解析】若
，即
，可得
，解得：
，符合；
若
，即
，可得
，解得：
，符合；综上可知：
的值为0 或
，
故选：A
【一隅三反】
1.（24-25 湖南娄底·阶段练习）已知
，则
等于（ ）
A．
B．4
C．
D．3
【答案】C
【解析】
，故选项C 正确.
故选：C.
2．（广东省冮门市2024-2025 学年高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数
，
则
（ ）
A．128
B．256
C．512
D．1024
【答案】B
【解析】由题意，
.故选：B.
3.（2025·江西南昌·二模）已知函数
，若
，则
.
【答案】2
【解析】由题意知，当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
，与
矛盾，此时
无解.所以
.故答案为：2
考向七 函数的值域
【例7】（2024 高三·全国·专题练习）求下列函数的值域：
(1)
； (2)
； (3)
； (4)
．（5）
(6)
；(7)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
（5）
(6)
；(7)
【解析】（1）由
，即所求函数的值域为
；
（2）由
，∵
，∴
，
即函数的值域为
；
（3）由
，∴函数的定义域为
，
，
即
，∴
，即函数的值域为
；
（4）由
，得
，∴所求函数的值域为
．
（5）设
，则
当
时，
的值域为
（6）因为
，所以
，
令
，根据对勾函数的单调性可知
在
上是严格递增函数，
所以
，所以
，所以
，所以
的值域为
.
（7）函数
，
当
时，
；
当
时，
，
若
时，
，当且仅当
即
取等号，
则
，所以
，
若
时，
，当且仅当
即
取等号，
则
，所以
，
综上所述，函数
在
上的值域是
.
【一隅三反】
1．（2024 河北石家庄）下列各函数中，值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，显然
取尽正实数，因此
的值域是
，A 不是；
对于B，
，则
，即
，函数
的值域为
，B 不是；
对于C，
的值域为R，因此
的值域为
，C 是；
对于D，由于
，则
且
，即函数
的值域为
，D 不是.
故选：C
2.（2025 黑龙江）求下列函数的值域：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
；（6）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
（6）
.
【解析】（1）
，
∴
的值域为
.
（2）设
（
），则原函数可化为
.
又∵
，∴
，故
，
∴
的值域为
.
（3）
，
∵
，∴
，
∴函数
的值域为
.
（4）设
，则
，
∴原函数可化为
，∴
，
∴原函数值域为
.
（5）
，
当
时，
，当
时，
，∴
，∴函数值域为
.
（6）∵
恒成立，∴函数的定义域为
.
由
得：
①
①当
，即
时，①即
，∴
，
②当
，即
时，∵
时，方程
恒有实根，
∴
，∴
且
，
∴原函数的值域为
.
考向八 已知值域求参数
【例8-1】（23-24 广东梅州）已知函数
在
上的值域为
，则
（ ）
A．4
B．5
C．8
D．10
【答案】D
【解析】
的对称轴为
，则
，解得
，
则
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，
为方程
的两个根，
即
为方程
的两个根，所以
.
故选：D.
【例8-2】（23-24 云南曲靖·阶段练习）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】①
时，
，值域为
，满足题意；
②
时，若
的值域为
，
则
，解得
，
综上，
.
故选：C.
【例8-3】（2024 高三·全国·专题练习）已知
且
，函数
的值域为
，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
当
时，
，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，易知当
时，
，
在
上的值域为
．
在
上的值域为
当
时，
的值域必须包含
，
，
.
故选：C．
【一隅三反】
1．（23-24 福建福州·阶段练习）已知函数
的定义域是
，值域为
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】结合题意：函数
所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为
，
所以
，易知：
，
由图可知,要使函数
的定义域是
，值域为
，
则
的取值范围是
，
故选：B.
2．（23-24 高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数
，若
的值域为
，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若函数
的值域为
，则
要取遍所有的正数．
所以
或
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
故选：A．
3．（23-24 四川广安·期中）若函数
的值域为
，则实数m 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
的值域为
，
所以
能取遍所有大于或等于零的实数，
即方程
在实数范围内有解．
所以
，解得
．
故选：B．
4．（23-24 福建龙岩·期末）已知函数
，若
的值域为
，则实数的取值范
围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于函数
，当
时，
，当
时，
，
而
，即有
，依题意，
，又
，解得
，则
；
当
时，函数
在
上的取值集合为
，不符合题意，
当
，函数
在
上单调递增，
则
，所以
，解得
，
所以实数的取值范围是
.
故选：A
