文档文本内容
概率与统计单元检测卷
考试时间120 分钟，满分150 分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5 毫米的
黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码
区”．
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡
皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的
对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无
效．
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求．
1.
某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对
名学生进行抽样，先将
名学生进
行编号，
，
，……，
，
.从中抽取
个样本，如图提供随机数表的第5 行
到第6 行，若从表中第5 行第6 列开始向右依次选取三个数字读取数据，则得到的第3 个
样本编号是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】随机数表法
【分析】直接根据随机数表取样本编号，对超出样本编号范围、重复则剔除，进而可得所
求样本编号.
【详解】因为从表中第5 行第6 列开始向右依次选取三个数字读取数据，
所以依次得样本编号为
，
，
（舍去，不在样本编号范围内），
（舍去，不在样本编号范围内），
（舍去，不在样本编号范围内），
（重复，
舍去），
，
，
所以得到的第3 个样本编号为
.
故选：C.
2.
在
的二项展开式中，二项式系数最大的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求指定项的二项式系数、二项式系数的增减性和最值
【分析】利用二项式系数的性质和展开式通项公式即可求解.
【详解】在
的二项展开式中，根据二项式系数的性质可知最大的二项式系数是
，
则二项式系数最大的项是
，
故选：A.
3.
某学校拟派5 名教师去甲、乙、丙这3 所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，
每个学校至少要派遣1 名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（
）
A．110 种
B．100 种
C．90 种
D．80 种
【答案】B
【知识点】实际问题中的组合计数问题
【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解．
【详解】若丙校派遣1 人，则甲校可以派遣1 或2 或3 人，派遣方案有
种；
若丙校派遣2 人，则甲校必须派遣2 人，派遣方案有
种；
所以满足条件的不同的派遣方案有
种．
故选：B．
4.
如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木
块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块
碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向
右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、建立二项分布模型解决实际
问题
【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号
球槽的情况，分析求解，即可得答案.
【详解】下落过程中，需要经过6 次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为
，
落入③号球槽需向左4 次，向右2 次，则
,
落入⑥号球槽需向左1 次，向右5 次，则
，
则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为
.
故选：B
5.
某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量
，则
．记一天中旅客人数不
少于
万人的概率为
，则
的值约为（ ）
（参考数据：若
，则
，
，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】指定区间的概率、3δ 原则
【分析】根据正态分布曲线的对称性及
原则直接求解即可.
【详解】
，
，
，
，
，
.
故选：A.
6.
一玩具制造厂的某一配件由A、B、C 三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制
造记录分析得到数据：制造厂A、B、C 的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份
额分别为15%，80%，5%，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，
从中随机抽取一件配件，则抽到的是次品的概率为（ ）
A．0.0125
B．0.0115
C．0.0135
D．0.01458
【答案】
【知识点】利用全概率公式求概率
【解析】略
7.
已知
为满足
能被9 整除的正整数
的最小值，则
的展开式中，系数最小的项为（ ）
A．第6 项
B．第7 项
C．第11 项
D．第6 项和第7 项
【答案】A
【知识点】整除和余数问题、求系数最大（小）的项、组合数的性质及应用
【分析】根据二项式系数和的特征得到
，写出
的展开
式，即可得到
能被整除，从而求出
的取值，即可确定
的值，再根据二项式系数
的特征及展开式的通项分析可得.
【详解】
，
，
，
则
，
显然
为正整数，
能被9 整除，
又
且能被9 整除，
能被9 整除，
，则
，
因为
是满足条件的正整数
的最小值，而满足条件的
，
故取
时，
有最小值
，所以
，
所以
，
的展开式中，二项式系数最大的项为第6 项和第7 项，
又
的展开式的通项公式为
，
展开式系数为
，要使系数最小，
则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值
最大.
当为奇数时，
在
时取得最大值，
故系数最小的项为第
项.
故选：A.
8.
进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1 信号数码进行发送与接收的.在信道
内传输0，1 信号，信号的传输相互独立.发送0 时，接收方收到0（正确）的概率为
，收
到1（错误）的概率为
；发送1 时，接收方收到1（正确）的概率为
，收到0（错
误）的概率为
.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发
送1 次，三重传输是指每个信号重复发送3 次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译
码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次
数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ）
A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1 的概率为
B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0 的概率为
C．发送0，若
，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率
D．当
时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关
【答案】C
【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率
【分析】利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式依次求出各项中对应事件的概率，
即可得.
【详解】A：由题意，发送0 时，收到0 的概率为
，发送1 时，收到1 的概率为
，
所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1 的概率为
，错；
B：发送0 时，接收方收到0（正确）的概率为
，收到1（错误）的概率为
，
采用三次传输方案，发送数码0，译码为0 的情况有
、
、
、
，
对应概率依次为
、
、
、
，故所求概率为
，错；
C：由B 分析，三重传输时，发送数码0，译码为0 的概率为
，
单次传输时，发送数码0，译码为0 的概率为
，
所以
，
又
，则
，即三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确
的概率，对；
D：单次传输时，发送0，收到0 的概率为
，发送1 时，收到1 的概率为
，
三重传输时，发送0，收到0 的概率为
，发送1，收到1 的概率为
，
所以
时，译码正确的概率与传输数码内容无关，结合C 分析，显然
或1
时，译码正确的概率才与传输方案无关，错.
故选：C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6 分，选对但不全的得部分分，有选错的
得0 分．
9.
下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50 个个体的总体中抽取一个容量为5 的样本，则总
体中个体
被抽到的概率为0.03
B．已知一组数据1，2，
，6，7 的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23 的第70 百分位数是23
D．若样本数据
的标准差为8，则数据
的标准差为
16
【答案】CD
【知识点】总体百分位数的估计、各数据同时乘除同一数对方差的影响、根据平均数求参
数、简单随机抽样的概率
【分析】利用简单随机抽样的意义判断A，利用平均数和方差的计算公式判断B，利用百
分位数的定义判断C，利用方差的性质判断D.
【详解】对于A，一个总体含有50 个个体，从该总体中抽取一个容量为5 的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为
，故A 错误；
对于B，因为数据1，2，
，6，7 的平均数是
，所以
，解得
，
这组数据的方差是
，故B 错误；
对于C，该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30，又
，
故这组数据的第70 百分位数为第6 个数，即23，故C 正确；
对于D，依题意，
，则数据
的方差为
，
故数据
的标准差为
，故D 正确.
故选：CD
10. 下列关于随机事件的概率说法正确的是（ ）
A．若
，则事件
发生，事件
一定发生
B．若事件
与
互斥，则
C．若
，则事件
与
独立
D．若
，
，
，则事件
与
独立
【答案】BCD
【知识点】确定所给事件的包含关系、互斥事件的概率加法公式、条件概率性质的应用、
独立事件的判断
【分析】利用事件的包含关系可判断A 选项；利用互斥事件的概率加法公式可判断B 选项；
利用条件概率公式和事件独立性的定义可判断C 选项；利用事件独立性的定义可判断D 选
项.
【详解】对于A 选项，若
，则事件
发生，事件
不一定发生，A 错；
对于B 选项，若事件
与
互斥，则
，B 对；
对于C 选项，若
且由条件概率公式可得
，
所以
，所以
，则事件
与
独立，C 对；
对于D 选项，若
，
，则
，
，
所以
，故
与
独立，即事件
与
独立，D 对.
故选：BCD.
11.
某大学有A，B 两个餐厅，学生只能选择其中一个就餐，经过统计分析发现：学生第一天
选择两个餐厅的概率均为
，而前一天选择了A 餐厅的学生第二天选择A 餐厅的概率为
，
选择B 餐厅的概率为
；前一天选择B 餐厅的学生第二天选择A 餐厅的概率为
，选择B
餐厅的概率为
，如此反复．记某同学第n 天选择A 餐厅的概率为
，选择B 餐厅的概率
为
.一个月（30 天）后，记甲、乙，丙三位同学选择B 餐厅的人数为X，则下列说法中正
确的是（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．
D．
【答案】ABC
【知识点】二项分布的均值、利用对立事件的概率公式求概率、由递推关系证明等比数列、
写出等比数列的通项公式
【分析】对于A，由于每人每次只能选择有A，B 两个餐厅，因此可判断A 正确，由递推
公式并结合等比数列定义判断可得B 正确，利用等比数列通项公式计算出
后可知当
时，
，所以
，再由二项分布公式计算可得C 正确，D 错误.
【详解】对于A，由于每人每次只能选择有A，B 两个餐厅中的其中一个，所以
，
即A 正确；
对于B，依题意可知
，可得
，
又
时，可得
，所以
，
因此数列
是以
为首相，
为公比的等比数列，即B 正确；
对于C，由选项B 分析可知
，所以
；
当
时，
，所以
，可得
，即C 正
确；
对于D，结合C 选项分析可得
，因此D 错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意得出递推公式，再由递推公式利用数列构造
可证明
是等比数列，再由等比数列定义计算可得通项公式，进而判断出结论.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 在
的展开式中，含
的项的系数为 .（用数字作答）
【答案】
【知识点】求指定项的系数
【分析】写出
的展开式的通项，根据通项可得含
的项的系数.
【详解】
的展开式的通项为
，
令
，解得
，
所以含
的项的系数为
.
故答案为：
.
13. 已知随机变量
满足
，
，
，正实数
、
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由正态分布的对称性可得出
，则
，将代数式
与
相乘，
展开后利用基本不等式可求得
的最小值.
【详解】因为随机变量
满足
，
，
，
由正态分布的对称性可得
，
所以正实数
、
满足
，
故
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最小值为
.
故答案为：
.
14. 桌面游戏简称“桌游”，是一种面对面的游戏，非常注重交流，因此是家庭休闲、朋友聚
会、商务闲暇等多种场合的一种较好的沟通方式.已知甲、乙、丙、丁四人相约玩“桌面足
球”游戏，并约定第一轮甲、乙对打，丙、丁对打，两名优胜者组成胜者组在下一轮游戏
中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打.若每轮比赛无平局，且各人
之间比赛胜利的概率均为
，则第7 轮甲、丁对打的概率为 .
【答案】
【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率、由递推关系证明等比数列、
写出等比数列的通项公式
【分析】根据独立事件、互斥事件的概率分析得到递推数列公式，进而求出数列的通项公
式，即可求出第7 轮甲、丁对打的概率.
【详解】设在第
轮甲、乙对打的概率为
，甲、丙对打的概率为
，甲、丁对打的概率
为
，
由题意知
，
，
甲与乙对打：甲、乙比赛后，胜者进入胜者组，败者进入败者组；同时丁的对手为丙，丙、
丁比赛后也分出胜负.
要让下一轮甲、丁对打，需甲、丁同属胜者组或同属败者组，概率为
.
甲与丙对打：同理，下一轮甲、丁对打的概率为
.
甲与丁对打：此轮比赛后，甲、丁分别进入胜者组/败者组，下一轮不可能对打.
由于每轮对战的对手组合只有三种（甲乙、甲丙、甲丁），故
.
因此第
轮甲、丁对打的概率：
，即
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，即
.
因此
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15. 某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200 名
学生的数学成绩.将成绩分为
，
，
，
，
，
，
共6 组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在
内的学生中抽取15 名，则成绩
在
的同学有几个?
(2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试
的平均分和众数；
(3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，
试估计获得表彰的同学的最低分数.
【答案】(1)4 个
(2)平均数为98，众数为100
(3)估计获得表彰的同学的最低分数为138
【知识点】根据频率分布直方图计算众数、总体百分位数的估计、由频率分布直方图估计
平均数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，可求得a 值，根据分层抽样的性质，计算即可
得答案.
（2）根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得平均数，由图象可得众数，
即可得答案.
（3）分析可得获得表彰的同学的最低分数位于
内，且设为x，则
，即可得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图性质得
，
解得
，
所以
的人数有
个.
（2）本次考试的平均分
，
由频率分布直方图得：众数为100.
（3）
的频率为
，
所以获得表彰的同学的最低分数位于
内，且设为x，
则
，解得
，即最低分数为138.
16. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店
进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占
，外地会员占
．现对该店会员开展
商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为
，外地会员对该店商
品质量满意的概率为
．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立．
(1)从该店所有会员中随机抽取1 名会员，求其对该店商品质量满意的概率；
(2)从该店所有会员中随机抽取2 名会员，记这2 名会员中对该店商品质量满意的人数为
，
求
的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、利用二项分布求分布列、
写出简单离散型随机变量分布列
【分析】（1）利用全概率公式计算即可；
（2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.
【详解】（1）设事件
：抽取的是本地会员，事件
：抽取的是外地会员，事件B：对该
店质量满意，
则由题意可知：
，
所以
；
（2）易知
可能取值
，则
，
，
，
即
的分布列如下：
0
1
2
P
期望为
.
17. 2025 年7 月15 日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国
航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从
该校学生中抽取一个容量为200 的样本进行调查，调查结果如下表：
性别
关注情况
高度关注
非高度关注
女学生
30
男学生
90
以频率估计概率，若在这200 名学生中随机抽取1 人，该学生高度关注我国航天事业发展
的概率为
．
(1)求
的值；
(2)根据小概率值
的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与
学生性别有关．
参考公式：
，其中
．
临界值表：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)
(2)该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关，
【知识点】独立性检验解决实际问题、根据古典概型的概率求参数
【分析】（1）利用古典概型列方程，解方程可得答案；
（2）利用独立性检验可得答案.
【详解】（1）因为在这200 名学生中随机抽取1 人，该学生高度关注我国航天事业发展的
概率为
，
所以
，解得
．
又
，解得
，所以
（2）由（1）得，
列联表如下：
性别
关注情况
合计
高度关注
非高度关注
女学生
70
30
100
男学生
90
10
100
合计
160
40
200
零假设为
；该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别无关．
，
因为依据小概率值
的独立性检验，判断
不成立，
即认为该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于
．
18. 甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n 道不同的题目供参
赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响．
(1)如果参赛者须回答5 道问题，当连续答对4 道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给
出的各道题目，均有
的概率答对，求甲赢得挑战的概率；
(2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有
的概率答对．记
为乙同学回答
道题目后，没有出现连续答对至少4 道题目这一情形的概率．
（i）求
；
（ii）证明：
．
【答案】(1)
(2)（i）
，
（ii）证明见解析
【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率
【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可；
（2）（i）利用正难则反思想计算
，利用分类讨论结合正难则反思想计算
；（ii）分类
讨论结合全概率公式得
，利用递推关系
作差即可证明.
【详解】（1）甲赢得挑战有两种情况，连续答对前四题或第一题答错后四题都答对，
其概率为：
；
（2）（i）
；
当乙同学回答完6 道题目后，出现连续答对至少4 道题这一情形，
可能的情况为：6 道都答对、连续答对5 道（第1 道或者第6 道答错）、
连续答对4 道（1~4 道答对，第5 道答错，第六道答对或者答错；
第1 道答错，2~5 道答对，第6 道答错；第1 道答对或答错，第2 道答错，3~6 道答对），
故
；
（ii）乙同学答完n 道题后，如果没有出现连续答对至少4 道题的情形，
则由题意可如下分类：
①第n 题答错，且前
题未出现连续答对至少4 道题的情形，此时概率为
；
②第n 题答对，第
题答错，且前
题未出现连续答对至少4 道题的情形，
此时概率为
；
③第n 题答对，第
题答对，第
题答错，
且前
题未出现连续答对至少4 道题的情形，此时概率为
；
④第n 题答对，第
题答对，第
题答对，第
题答错，
且前
题未出现连续答对至少4 道题的情形，此时概率为
，
由全概率公式：
①，
因此
②，
，
所以当
时，
，故
．
19. 现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品的不合格率均为
．
(1)在抽取的100 件产品中，恰有2 件不合格品，以频率估计概率，若从该批产品中共抽取
件，记不合格品的数量为
．
（i）求
的期望
；
（ii）当概率
（其中
）取得最大值时，求的值．
(2)极大似然估计是用给定观察数据来估计模型参数的一种统计方法，其基本思想是概率最
大化原则：一个随机试验有若干个可能的结果
，
，
，…，若在一次试验中，结果
出现，则一般认为试验条件对
出现有利，即
出现的概率很大，也就是找到参数
的最
优值
，使得在该参数
下观测数据出现的概率最大（即似然函数
最大）．现对该批
产品估计其不合格品率
，对其进行
次独立观测，每次从中抽取
个产品，记录不合格
品数分别对应为
，
，…，
，求
的极大似然估计值．
【答案】(1)（i）
；（ii）
；
(2)
【分析】
【详解】（1）（i）估计不合格率
，则
，
；
(ii)令
，
，
，
当
时，
，
此时
记
表示不超过
的最大整数．
①当
时，
，
取最大值时，
或
，
②当
时
取最大值时，
，
（2）
，则
，
似然函数
，
两边同时取自然对数并整理得：
令
，
，
时，
此时单调递增，
时，
，
此时单调递减，
所以
时，
最大，此时似然函数
取得最大值．
因此，
的极大似然估计量为
．
