微拓展 统计与概率中的递推关系
[考情分析] 统计与概率内容是数学知识的综合应用，也是中学数学一个重要的交汇点，已经成为联系多
项知识内容的媒介； 数列是高中数学的重点内容，易与其他内容交汇融合. 由于此类考题条件多，背景新
颖，成为近年各种考试的一个热点问题，其所考查的数学知识和思想方法相当深刻，难度也较大.
考点一 递推数列在计数原理中的应用
例1 (1)有A ，A ，…，A 共六个人，他们的座位分别为B ，B ，…，B ，现要求每一个人坐一个座位，
1 2 6 1 2 6
且都不坐自己座位，则不同的方法种数为( )
A.9 B.16
C.44 D.265
(2)如图，一个环形的大会场被分成了n个区域，现有k种不同颜色的服装提供给n个区域的观众，要求
同一区域的观众着装颜色相同，且相邻区域的观众着装颜色不同.当k=5，n=6时，共有 种不
同的着装方法.
[规律方法] 在计数原理中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特
征，把此类计数问题的基数从有限个且数目很少推广到n个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可
以解决这类计数问题.
跟踪演练1 有9级台阶，每次只能向上走1级、2级或3级台阶(不能往回走)，则走完9级台阶的方法
种数为( )
A.24 B.44
C.81 D.149
考点二 递推数列在概率、统计中的应用
考向1 a =p·a +q型
n n-1
例2 (多选)[马尔科夫链]某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在
这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择
了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n
天选择米饭套餐的概率为P ，下列选项中正确的是( )
n
A.P =0.52
3
B.P =0.4P +0.6(1-P )(n≥2，n∈N)
n n-1 n-1
C.P =0.4+0.5×(-0.2)n-1
n
5 5( 1) k
D.前k天甲午餐总费用的数学期望为15k+ - -
2 2 5考向2 a =a ·f(n)型
n+1 n
例3 一个书包中有标号为“1，1，2，2，3，3，…，n，n”的2n张卡片.一个人每次从中拿出一张卡
片，并且不放回，如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如
果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为
P ，则P = ，P = .
n 3 7
考向3 a =p·a +q·a 型
n+1 n n-1
例4 (多选)[对称随机游走]棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀
硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99
站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n站的概率为P ，设P =1，则下列结论正确的有( )
n 0
1 3 5
A.P = ，P = ，P =
1 2 2 4 3 8
1
B.数列{P -P }(1≤n≤99)是公比为- 的等比数列
n n-1 2
C.2P
100 3
[规律方法] 概率之间的关系如果是数列的前后项之间的关系，即递推关系，就可以从概率问题自然地过
渡到数列问题，再用数列的方法解决.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
(1)当出现a =a +m时，构造等差数列；
n n-1
(2)当出现a =xa +y时，构造等比数列；
n n-1
(3)当出现a =a +f(n)时，用累加法求解；
n n-1
a
n
(4)当出现 =f(n)时，用累乘法求解.
a
n-1
跟踪演练2 (1)(多选)随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活.为了测试某品牌扫地机器
人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在△ABC表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从
三角形的一个顶点等可能地移动到另外两个顶点之一，机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一
次程序.若开始时，机器人从A点出发，记机器人执行n次程序后，仍回到A点的概率为P(n)，则下列
结论正确的是( )
1
A.P(2)=
3
B.当n≥2时，有2P(n)=1-P(n-1)
21
C.P(7)=
641[ ( 1) n-1]
D.P(n)= 1- -
3 2
(2)[非对称随机游走]如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若
抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4，5，6，飞机向前移两格.直到飞机移到第
(n-1)(n≥5且n∈N*)格(失败集中营)或第n格(胜利大本营)时，游戏结束.则飞机移到第3格的概率为
，游戏胜利的概率为 .
0 1 2 3 4 … n-1 n
1.A，B，C，D四人传球，每人每次可以把球传给其他任何一个人，从A开始，5次传球后球回到A手中，
则不同的传球方法种数为( )
A.24 B.60
C.92 D.144
2.一个饼，用刀切5次，最多能将其切成( )
A.10块 B.11块
C.15块 D.16块
3.(2024·成都模拟)随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打
开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果.假设电商平台第一次
2
给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为 ，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购
11
1 1
买的概率为 ；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为 .记第n次推送时不购买此商品的概率为
4 3
P ，当n≥2时，P ≤M恒成立，则M的最小值为( )
n n
97 31
A. B.
132 44
97 73
C. D.
120 120
4.甲、乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分.一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的
一方得-1分；若平局，则双方各得0分.若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜.令
P表示在甲的累计得分为i时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为
i
0.3，则P 等于( )
1
55-35 56-36
A. B.
55 56
2×55 56
C. D.
56-36 57-375.(多选)投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投.《醉翁亭记》中的
“射”指的就是“投壶”这个游戏.现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，
2
则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶.无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为 ，乙
3
1 1
每次投壶的命中率均为 ，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为 ，则(
2 2
)
43
A.第3次投壶的人是甲的概率为
72
21
B.在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为
43
1
C.前4次投壶中甲只投1次的概率为
12
3 1 (1) 9
D.第10次投壶的人是甲的概率为 - ×
5 10 6
6.(多选)(2024·湖州模拟)有n(n∈N*，n≥10)个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有1个白球
和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子中任取一球放入2号盒子；再从2号盒子
中任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子中取出的球是白球”为事件A(i=1，2，3，…，
i
n)，则( )
3 3
A.P(A A )= B.P(A |A )=
1 2 5 1 2 7
13
C.P(A +A )= D.P(A ) ，故D正确.]
100 2 98 3 299 3
跟踪演练2 (1)BCD
13 2 4 ( 2) n-2
(2) + - ，n≥5且n∈N*
27 5 15 3
解析 记飞机移动到第i格的概率为P(1≤i≤n-1，i∈N*)，
i
1 2 1 7
则P = ，P = + P = ，
1 3 2 3 3 1 9
2 1 13
P = P + P = ，
3 3 1 3 2 27
1 2
P = P+ P ，
i+1 3 i 3 i-1
2 2
即P + P=P+ P ，
i+1 3 i i 3 i-1{ 2 }
所以数列 P + P 是常数列，
i 3 i-1
2 2
所以P+ P =P + P =1，
i 3 i-1 2 3 1
3 2( 3)
即P- =- P - ，
i 5 3 i-1 5
3 4
又P - =- ，
1 5 15
{ 3} 4 2
所以数列 P - 是以- 为首项，- 为公比的等比数列，
i 5 15 3
3 4 ( 2) i-1
所以P- =- -
i 5 15 3
2( 2) i
= - ，
5 3
3 2( 2) i
所以P= + - ，
i 5 5 3
因为第n格只能由第(n-2)格跳到，
3 2( 2) n-2
P = + - ，
n-2 5 5 3
2 2 4 ( 2) n-2
所以游戏胜利的概率P= P = + - ，n≥5且n∈N*.
3 n-2 5 15 3
思维提升 拓展练习
1.B 2.C 3.A
4.C [由题意可知，i的取值集合为{0，1，2，3，4，5，6}，且P =0，P =1，
0 6
在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.5P ，
2
在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.2P ，
1
在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为0.3P ，
0
根据全概率公式可得P =0.5P +0.2P +0.3P ，
1 2 1 0
8 3
整理得P = P - P ，
2 5 1 5 0
3
变形得P -P = (P -P )，
2 1 5 1 0
P -P 3
2 1
因为P -P >0，则 = ，
1 0 P -P 5
1 0
P -P P -P P -P P -P 3
3 2 4 3 5 4 6 5
同理可得 = = = = ，
P -P P -P P -P P -P 5
2 1 3 2 4 3 5 43
所以{P -P}(i=0，1，2，…，5)是公比为 的等比数列，
i+1 i 5
(3) i
所以P -P= (P -P )(i=0，1，2，…，5)，
i+1 i 5 1 0
5 5
[ (3) i ]
各项求和得 Σ (P -P)= Σ (P -P ) ，
i+1 i 5 1 0
i=1 i=1
3 (3) 6
-
5 5
则P -P =(P -P )· ，
6 1 1 0
3
1-
5
3 (3) 6
-
5 5
即1-P =P · ，
1 1
3
1-
5
2×55
解得P = .]
1 56-36
5.ABD [设第i次投壶的人是甲为事件A，第i次投壶的人是乙为事件B(i≥2且i∈N*).
i i
2 1
因为P(A)= P(A )+ [1-P(A )]，
i 3 i-1 2 i-1
1 1
所以P(A)= P(A )+ ，
i 6 i-1 2
3 1[ 3]
所以P(A)- = P(A )- ，
i 5 6 i-1 5
1
而P(A )= ，
1 2
3 1
故P(A )- =- ≠0，
1 5 10
{ 3} 1 1
所以 P(A )- 是首项为- ，公比为 的等比数列，
i 5 10 6
3 1 (1) i-1
所以P(A)- =- × ，
i 5 10 6
3 1 (1) i-1
所以P(A)= - × ，
i 5 10 6
3 1 (1) 2 3 1 215 43
对于A，P(A )= - × = - = = ，故A正确；
3 5 10 6 5 360 360 72
3 1 (1) 9
对于D，P(A )= - × ，故D正确；
10 5 10 61 1 1 1 1 2 7
对于B，P(A B )= × × + × × = ，
3 1 2 2 2 2 2 3 24
7
P(A B ) 24 21
3 1
故P(B |A )= = = ，故B正确；
1 3 P(A ) 43 43
3
72
对于C，前4次投壶中甲只投1次的概率
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
P= × × × + × × × + × × × + × × × = ，故C错误.]
2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 16
1 3 1
6.BCD [对于A，P(A A )= × = ，所以A错误；
1 2 3 5 5
对于B，
1 3 2 2 7
P(A )= × + × = ，
2 3 5 3 5 15
1
P(A A ) 5 3
1 2
所以P(A |A )= = = ，所以B正确；
1 2 P(A ) 7 7
2
15
2
对于C，因为P(A )= ，
1 3
2 2 4
P(A A )= × = ，
1 2 3 5 15
2 7 4 13
所以P(A +A )=P(A )+P(A )-P(A A )= + - = ，
1 2 1 2 1 2 3 15 15 15
所以C正确；
1
对于D，由题意可得P(A )= ，
1 3
2
P(A )= ，
1 3
3 2
P(A )= P(A )+ [1-P(A )]
n 5 n-1 5 n-1
1 2
= P(A )+ ，
5 n-1 5
1 1[ 1]
所以P(A )- = P(A )- ，
n 2 5 n-1 2
{ 1} 1 1 1
所以数列 P(A )- 是以 为公比，P(A )- =- 为首项的等比数列，
n 2 5 1 2 6
1 1 (1) n-1
所以P(A )- =- × ，
n 2 6 51 1 (1) n-1 1
所以P(A )= - × < ，
n 2 6 5 2
1
所以P(A )=1-P(A )> ，
n n 2
则P(A )
