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100 3答案 ABD
1
解析 对于A，根据题意，第0站P =1，硬币掷出正面到达第1站，所以P = ，
0 1 2
从第0站硬币掷出反面，或从第1站硬币掷出正面，到达第2站，
1 1 1 3
所以P = + × = ，
2 2 2 2 4
从第1站硬币掷出反面，或从第2站硬币掷出正面，到达第3站，
1 1 3 1 5
所以P = × + × = ，故A正确；
3 2 2 4 2 8
1
对于B，从第(n-2)站，硬币掷出正面到达第(n-1)站，所以P = P ，
n-1 2 n-2
从第(n-2)站硬币掷出反面，或从第(n-1)站硬币掷出正面，到达第n站，
1 1
所以P = P + P ，
n 2 n-2 2 n-1
1
即P -P =- (P -P )，
n n-1 2 n-1 n-2
1 1
而P -P = -1=- ，
1 0 2 2
1 1
所以数列{P -P }(1≤n≤99)是以- 为首项，- 为公比的等比数列，
n n-1 2 2
( 1)( 1) n-1 ( 1) n
所以P -P = - - = - ，故B正确；
n n-1 2 2 2
对于C，P =(P -P )+(P -P )+…+(P -P )+(P -P )+P
99 99 98 98 97 2 1 1 0 0
( 1) 99 ( 1) 98 ( 1)
= - + - +…+ - +1
2 2 2
2( 1 )
= 1- ，
3 2100
( 1) 99
而P -P = - ，
99 98 2
2( 1 )
所以P = 1+ ，
98 3 299
而当棋子跳到第99站时，游戏停止，
1 1( 1 )
故P = P = 1+ ，
100 2 98 3 299
2( 1 )
从而得到2P = 1+ ，
100 3 299
故P <2P =P ，故C错误；
99 100 981 1( 1 ) 1
对于D，P = P = 1+ > ，故D正确.
100 2 98 3 299 3
[规律方法] 概率之间的关系如果是数列的前后项之间的关系，即递推关系，就可以从概率问题自然地过
渡到数列问题，再用数列的方法解决.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
(1)当出现a =a +m时，构造等差数列；
n n-1
(2)当出现a =xa +y时，构造等比数列；
n n-1
(3)当出现a =a +f(n)时，用累加法求解；
n n-1
a
n
(4)当出现 =f(n)时，用累乘法求解.
a
n-1
跟踪演练2 (1)(多选)随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活.为了测试某品牌扫地机器
人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在△ABC表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从
三角形的一个顶点等可能地移动到另外两个顶点之一，机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一
次程序.若开始时，机器人从A点出发，记机器人执行n次程序后，仍回到A点的概率为P(n)，则下列
结论正确的是( )
1
A.P(2)=
3
B.当n≥2时，有2P(n)=1-P(n-1)
21
C.P(7)=
64
1[ ( 1) n-1]
D.P(n)= 1- -
3 2
答案 BCD
1
解析 对于A选项，机器人第一次执行程序后，来到B或C点，故P(1)=0，第二次执行程序后，有 的概
2
1
率回到A点，故P(2)= ，故A项错误；
2
对于B选项，P(n-1)为执行第(n-1)次程序后仍回到A点的概率，要想执行n次程序后仍回到A点，则执行
1
第(n-1)次程序后应在B点或C点，且下一次有 的概率回到A点，
2
1
故当n≥2时，有P(n)= [1-P(n-1)]，
2
即2P(n)=1-P(n-1)，故B项正确；1
由B选项知P(n)= [1-P(n-1)]，
2
1 1
即P(n)=- P(n-1)+ ，
2 2
1
设P(n)+k=- [P(n-1)+k]，
2
1
可得k=- ，
3
1 1[ 1] 1 1
于是P(n)- =- P(n-1)- ，又P(1)- =- ≠0，
3 2 3 3 3
{ 1} 1 1
所以数列 P(n)- 是首项为- ，公比为- 的等比数列，
3 3 2
1 1( 1) n-1 1[ ( 1) n-1]
故P(n)- =- - ，P(n)= 1- - ，故D项正确；
3 3 2 3 2
1[ ( 1) 6] 21
对于C选项，由D项可得P(7)= 1- - = ，故C项正确.
3 2 64
(2)[非对称随机游走]如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若
抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4，5，6，飞机向前移两格.直到飞机移到第
(n-1)(n≥5且n∈N*)格(失败集中营)或第n格(胜利大本营)时，游戏结束.则飞机移到第3格的概率为
，游戏胜利的概率为 .
0 1 2 3 4 … n-1 n
13 2 4 ( 2) n-2
答案 + - ，n≥5且n∈N*
27 5 15 3
解析 记飞机移动到第i格的概率为P(1≤i≤n-1，i∈N*)，
i
1 2 1 7
则P = ，P = + P = ，
1 3 2 3 3 1 9
2 1 13
P = P + P = ，
3 3 1 3 2 27
1 2
P = P+ P ，
i+1 3 i 3 i-1
2 2
即P + P=P+ P ，
i+1 3 i i 3 i-1
{ 2 }
所以数列 P + P 是常数列，
i 3 i-1
2 2
所以P+ P =P + P =1，
i 3 i-1 2 3 13 2( 3)
即P- =- P - ，
i 5 3 i-1 5
3 4
又P - =- ，
1 5 15
{ 3} 4 2
所以数列 P - 是以- 为首项，- 为公比的等比数列，
i 5 15 3
3 4 ( 2) i-1 2( 2) i
所以P- =- - = - ，
i 5 15 3 5 3
3 2( 2) i
所以P= + - ，
i 5 5 3
因为第n格只能由第(n-2)格跳到，
3 2( 2) n-2
P = + - ，
n-2 5 5 3
2 2 4 ( 2) n-2
所以游戏胜利的概率P= P = + - ，n≥5且n∈N*.
3 n-2 5 15 3
1.A，B，C，D四人传球，每人每次可以把球传给其他任何一个人，从A开始，5次传球后球回到A手中，
则不同的传球方法种数为( )
A.24 B.60
C.92 D.144
答案 B
解析 设有k个人A ，A ，…，A 互相传球，从A 开始，每人每次可以把球传给其他任何一个人，设第
1 2 k 1
n(n≥2)次传球后球回到A 中的方法有a 种，
1 n
则第(n-1)次传球后球回到A 手中的方法有a 种，且易知a =k-1，则第(n-1)次传球后，共有(k-1)n-1种方法，
1 n-1 2
若此时球在A 手中，则第n次传球，球不可能回到A 手中，
1 1
故数列{a }的递推关系式为a =(k-1)n-1-a (n≥3)，a =k-1.
n n n-1 2
所以a =3，a =(4-1)3-1-a =6，a =(4-1)4-1-a =21，a =(4-1)5-1-a =60.
2 3 2 4 3 5 4
2.一个饼，用刀切5次，最多能将其切成( )
A.10块 B.11块
C.15块 D.16块
答案 D
解析 设n刀最多能将饼切成a 块，前 n-1刀我们已经得到a 块，对于第n刀，要使切出的块数最多，
n n-1
则这一刀的刀痕必须与前n-1刀的刀痕都相交，在此刀痕上有 n-1个交点，则最多增加n块，从而得到递
推公式为a =a +n，显然a =2，
n n-1 1n(n+1)
从而累加得到a =n+(n-1)+…+3+2+2=1+ .当n=5时，a =16.
n 2 n
3.(2024·成都模拟)随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打
开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果.假设电商平台第一次
2
给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为 ，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购
11
1 1
买的概率为 ；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为 .记第n次推送时不购买此商品的概率为
4 3
P ，当n≥2时，P ≤M恒成立，则M的最小值为( )
n n
97 31
A. B.
132 44
97 73
C. D.
120 120
答案 A
解析 由题意知，根据第(n-1)次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的概率，
3 2 1 2
第n次(n≥2)推送时不购买此商品的概率P = P + (1-P )= P + ，
n 4 n-1 3 n-1 12 n-1 3
8 1 ( 8 )
所以P - = P - ，
n 11 12 n-1 11
9 8 1
由题意知P = ，则P - = ，
1 11 1 11 11
{ 8 } 1 1
所以 P - 是首项为 ，公比为 的等比数列，
n 11 11 12
8 1 1
所以P - = × ，
n 11 11 12n-1
8 1 1
即P = + × .
n 11 11 12n-1
8 1 1 97
显然数列{P }递减，所以当n≥2时，P ≤P = + × = ，
n n 2 11 11 12 132
97
所以M的最小值为 .
132
4.甲、乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分.一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的
一方得-1分；若平局，则双方各得0分.若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜.令
P表示在甲的累计得分为i时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为
i
0.3，则P 等于( )
1
55-35 56-36
A. B.
55 562×55 56
C. D.
56-36 57-37
答案 C
解析 由题意可知，i的取值集合为{0，1，2，3，4，5，6}，且P =0，P =1，
0 6
在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.5P ，
2
在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.2P ，
1
在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为0.3P ，
0
根据全概率公式可得P =0.5P +0.2P +0.3P ，
1 2 1 0
8 3
整理得P = P - P ，
2 5 1 5 0
3
变形得P -P = (P -P )，
2 1 5 1 0
P -P 3
因为P -P >0，则 2 1 = ，
1 0 P -P 5
1 0
P -P P -P P -P P -P 3
同理可得 3 2 = 4 3 = 5 4 = 6 5 = ，
P -P P -P P -P P -P 5
2 1 3 2 4 3 5 4
3
所以{P -P}(i=0，1，2，…，5)是公比为 的等比数列，
i+1 i 5
(3) i
所以P -P= (P -P )(i=0，1，2，…，5)，
i+1 i 5 1 0
5 5
[ (3) i ]
各项求和得 Σ (P -P)= Σ (P -P ) ，
i+1 i 5 1 0
i=1 i=1
3 (3) 6
-
5 5
则P -P =(P -P )· ，
6 1 1 0
3
1-
5
3 (3) 6
-
5 5 2×55
即1-P =P · ，解得P = .
1 1 3 1 56-36
1-
5
5.(多选)投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投.《醉翁亭记》中的
“射”指的就是“投壶”这个游戏.现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，
2
则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶.无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为 ，乙
3
1 1
每次投壶的命中率均为 ，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为 ，则(
2 2
)43
A.第3次投壶的人是甲的概率为
72
21
B.在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为
43
1
C.前4次投壶中甲只投1次的概率为
12
3 1 (1) 9
D.第10次投壶的人是甲的概率为 - ×
5 10 6
答案 ABD
解析 设第i次投壶的人是甲为事件A，第i次投壶的人是乙为事件B(i≥2且i∈N*).
i i
2 1
因为P(A)= P(A )+ [1-P(A )]，
i 3 i-1 2 i-1
1 1
所以P(A)= P(A )+ ，
i 6 i-1 2
3 1[ 3]
所以P(A)- = P(A )- ，
i 5 6 i-1 5
1
而P(A )= ，
1 2
3 1
故P(A )- =- ≠0，
1 5 10
{ 3} 1 1
所以 P(A )- 是首项为- ，公比为 的等比数列，
i 5 10 6
3 1 (1) i-1
所以P(A)- =- × ，
i 5 10 6
3 1 (1) i-1
所以P(A)= - × ，
i 5 10 6
3 1 (1) 2 3 1 215 43
对于A，P(A )= - × = - = = ，故A正确；
3 5 10 6 5 360 360 72
3 1 (1) 9
对于D，P(A )= - × ，故D正确；
10 5 10 6
1 1 1 1 1 2 7
对于B，P(A B )= × × + × × = ，
3 1 2 2 2 2 2 3 24
7
P(A B ) 24 21
故P(B |A )= 3 1 = = ，故B正确；
1 3 P(A ) 43 43
3
72
对于C，前4次投壶中甲只投1次的概率
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
P= × × × + × × × + × × × + × × × = ，故C错误.
2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 166.(多选)(2024·湖州模拟)有n(n∈N*，n≥10)个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有1个白球
和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子中任取一球放入2号盒子；再从2号盒子
中任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子中取出的球是白球”为事件A(i=1，2，3，…，
i
n)，则( )
3 3
A.P(A A )= B.P(A |A )=
1 2 5 1 2 7
13
C.P(A +A )= D.P(A )
