文档内容
专题 20 概率与统计常考小题归类
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................5
..............................................................................................................................................8
考点一：抽样方法与随机数表................................................................................................................................8
考点二：统计图表及其数字特征.............................................................................................................................8
考点三：传统线性拟合..........................................................................................................................................10
考点四：非线性拟合处理......................................................................................................................................11
考点五：传统独立性检验......................................................................................................................................12
考点六：创新类定义统计......................................................................................................................................13
考点七：正态分布.................................................................................................................................................15
考点八：超几何分布与二项分布...........................................................................................................................16
考点九：随机变量的分布列、期望、方差............................................................................................................16
考点十：古典概型.................................................................................................................................................16
考点十一：条件概率与全概率..............................................................................................................................17
考点十二：概统结合问题......................................................................................................................................17
考点十三：传统规则的概率问题...........................................................................................................................18
考点十四：新赛制概率问题..................................................................................................................................19
考点十五：递推型概率命题..................................................................................................................................20概率与统计小题是每年高考必考的内容．一是求统计图表、方差、平均数；二是求古典概型；三是相
互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．多以选择、填空题的形式考查，难度容易或中等．
考点要求 考题统计 考情分析
2023年上海卷第14题，4分 【命题预测】
2022年甲卷第2题，5分 预测2024年高考，多以小题
统计图表、方差、平均数、中位数
2021年甲卷第2题，5分 形式出现，也有可能会将其
2021年I卷第9题，5分 渗透在解答题的表达之中，
相对独立．具体估计为：
2023年乙卷第9题，5分
（1）以选择题或填空题形式
2023年甲卷第4题，5分
古典概型 出现，考查逻辑推理与数学
2022年I卷第5题，5分
运算两大核心素养．
2022年甲卷第6题，5分
（2）热点是古典概型.
相互独立事件和相互独立事件的概 2022年乙卷第10题，5分
率乘法公式 2021年天津卷第14题，5分
2023年天津卷第7题，5分
回归方程、正态分布
2021年II卷第5题，5分
1、加强识图能力，理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系；折线图注意上升趋
势以及波动性；扇形图数据可先用表格列出，再计算、判断．
2、在频率分布直方图中，注意小矩形的 ，小矩形的面积 ，所有小矩形
的面积之和为1．
3、求回归方程
（1）根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关．（2）利用公式，求出回归系数 ．
（3）待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数 ．
4、回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当 越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．
5、比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法
（1）通过计算 的大小判断： 越大，两变量有关联的可能性越大．
（2）通过计算 的大小判断： 越大，两变量有关联的可能性越大．
6、独立性检验的一般步骤
（1）根据样本数据制成 列联表．
（2）根据公式 ，计算 的观测值 ．
（3）比较 与临界值的大小关系，进行统计推断．
7、概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力
（1）与数列结合的实际问题
（2）与函数导数结合的实际问题
（3）与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题
（4）与统计结合的实际问题
（5）与其他背景结合的实际问题1．（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 ，下列说
法正确的是
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
2．（2023•乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则
甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为
A． B． C． D．
3．（2023•甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织
校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为
A． B． C． D．
4．（2023•上海）如图为 年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描
述错误的是
A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
5．（2022•新高考Ⅰ）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为
A． B． C． D．
6．（2022•乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、
乙、丙比赛获胜的概率分别为 ， ， ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为 ，则
A． 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛， 最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛， 最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛， 最大
7．（2022•甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上
的数字之积是4的倍数的概率为
A． B． C． D．
8．（2022•甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位
社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问
卷答题的正确率如图：
则
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
9．（2021•甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
10．（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中不正确的是
A． 越小，该物理量在一次测量中落在 内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在 与落在 的概率相等
11．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据 ， ， ， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，
， ，其中 ，2， ， ， 为非零常数，则
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
12．（2021•天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一
方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与
否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ；3次活动中，甲至少获
胜2次的概率为 ．考点一：抽样方法与随机数表
【例1】（2024·青海西宁·高三统考期末）用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选
取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（ ）
A．8人 B．6人 C．4人 D．2人
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面
的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两
个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．02 C．63 D．01
【变式1-2】（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）某饮料厂生产A，B两种型号的饮料，每小
时可生产两种饮料共1000瓶，质检人员采用分层随机抽样的方法从这1000瓶中抽取了60瓶进行质量检测，
其中抽到A型号饮料15瓶，则每小时B型号饮料的产量为（ ）
A．600瓶 B．750瓶 C．800瓶 D．900瓶
考点二：统计图表及其数字特征
【例2】（多选题）（2024·江西·高三玉山一中校联考阶段练习）江西省2017年到2022年常住人口变化图
如图所示，则（ ）
A．江西省2017年到2022年这6年的常住人口在2019年取得最大值
B．江西省2017年到2022年这6年的常住人口的极差为148.70万
C．江西省2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为4527.98万D．江西省2017年到2022年这6年的常住人口的第80百分位数为4647.60万
【变式2-1】（多选题）（2024·广东惠州·高三惠州一中校考阶段练习）某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、
丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为
该地区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断，
环境治理一定达标的地区是（ ）
A．甲地区：平均数为90，方差为10 B．乙地区：平均数为60，众数为50
C．丙地区：中位数为50，极差为70 D．丁地区：极差为20，80%分位数为80
【变式2-2】（多选题）（2024·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）某单位为了解职工健康情况，采
用分层随机抽样的方法从5000名职工中抽取了一个容量为100的样本．其中，男性平均体重为64千克，
方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为 ，下列说法正确的是（ ）
A．样本为该单位的职工 B．每一位职工被抽中的可能性为
C．该单位职工平均体重 D．单位职工的方差
【变式2-3】（多选题）（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）（多选）“搜索指数”是网民通过搜索
引擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民该关键词的搜索次数
越多，对与该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词
的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A．这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值
【变式2-4】（多选题）（2024·河南·模拟预测）某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，
笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和
扇形统计图所示，则（ ）A．90后考生比00后考生多150人 B．笔试成绩的60%分位数为80
C．参加面试的考生的成绩最低为86分 D．笔试成绩的平均分为76分
考点三：传统线性拟合
【例3】某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步
探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量 （个）与温度 的部分数据如下表：
温度 4 8 10 18
微生物数量 2
30 18 14
（个） 2
由表中数据算得回归方程为 ，预测当温度为 时，微生物数量为 个.
【变式3-1】（2024·广东深圳·高三统考期末）某同学收集了变量 ， 的相关数据如下：
x 0.5 2 3 3.5 4 5
y 15
为了研究 ， 的相关关系，他由最小二乘法求得 关于 的线性回归方程为 ，经验证回归直线
正好经过样本点 ，则 ．
【变式3-2】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到
如下数据:
单价(元)
销量(件)
由表中数据，求得线性回归方程 ，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率
为考点四：非线性拟合处理
【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）用模型 拟合一组数据组 ，其
中 ，设 ，得变换后的线性回归方程为 ，则 （ ）
A． B． C．35 D．21
【变式4-1】（2024·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）下表为某外来生物物种入侵某
河流生态后的前3个月繁殖数量 （单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型
对 与 的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ）
第 个月 1 2 3
繁殖数量
A． 百只 B． 百只
C． 百只 D． 百只
【变式4-2】（2024·全国·高三专题练习）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅
销售价格（单位：Q元/千克）与上市时间t（单位：天）的数据如下表所示：
时间t/（单位：天） 10 20 70
销售价格Q（单位：元/千克） 100 50 100
根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系：
.利用你选取的函数模型，在以下四个日期末，杨梅销售价格
最低的日期为（ ）
A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日
考点五：传统独立性检验
【例5】（2024·全国·高三专题练习）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取
女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的 ，女性喜爱足球的人数占女性人数的 ，若
本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男
性至少有（ ）人
0.10 0.05 0.01 0.005 0.0012.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．11 B．12 C．13 D．14
【变式5-1】（2024·四川达州·统考一模）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合
改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，
对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（
）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
【变式5-2】（2024·浙江温州·高三苍南中学校联考阶段练习）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7
选3的 模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信
息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人）
选物理 不选物理 总计
男
340 110 450
生
女
140 210 350
生
总
480 320 800
计
表一
选生物 不选生物 总计
男
150 300 450
生
150 200 350
女生
总
300 500 800
计
表二
试根据小概率值 的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（ ）
附:
A．选物理与性别有关，选生物与性别有关
B．选物理与性别无关，选生物与性别有关
C．选物理与性别有关，选生物与性别无关
D．选物理与性别无关，选生物与性别无关
考点六：创新类定义统计
【例6】（多选题）（2024·全国·模拟预测）教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，
通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数 ，其中 为原始分数，
为原始分数的平均数， 为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩 ，
标准差 ，转化为标准分数后，记平均成绩为 ，标准差为 ，则( )
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·湖北·高三校联考开学考试）定义空间直角坐标系中的任意点 的“ 数”为：
在 点的坐标中不同数字的个数，如： ，若点 的坐标 ，
则所有这些点 的“ 数”的平均值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·甘肃兰州·统考一模）一组数据 的平均数为 ，现定义这组数据的平均差
.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式6-3】（2024·江西九江·统考一模）恩格尔系数(Engel’sCoefficien)是食品支出总额占个人消费支出总
额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图
为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.
给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.
其中正确的是（ ）A．① B．② C．①② D．②③
考点七：正态分布
【例7】已知某社区居民每周运动总时间为随机变量 （单位：小时），且 ，
．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率
为（ ）
A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748
【变式7-1】（2024·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公
交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A．Y的数据较X更集中
B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量
（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量 ，则 ， ，
）
A．236 B．246 C．270 D．275
考点八：超几何分布与二项分布
【例8】（2023上·上海浦东新·高三统考期末）在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽
取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为 （结果精确到0.01）．
【变式8-1】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则
称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为 ．
【变式8-2】（2023上·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）设随机变量 ，记
， ．在研究 的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若为正整数，当 时， ，此时这两项概率均为最大值；若 不为正整数，则
当且仅当 取 的整数部分时， 取最大值．某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1
出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100
次投掷试验中，点数1总共出现的次数为 的概率最大．
考点九：随机变量的分布列、期望、方差
【例9】（2024·全国·高三专题练习）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20道题，已知该同
学每道题答对的概率为0.6，每道题答对与否相互独立．若答对一题得3分，答错一题扣1分，则该同学总
得分的数学期望为 ，方差为 ．
【变式9-1】（2024·全国·高三专题练习）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3
件，若X表示取到次品的次数，则 ， ．
【变式9-2】（2023上·全国·高三专题练习）有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其
中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为 ．
考点十：古典概型
【例10】（2024·全国·模拟预测）某艺术展览会的工作人员要将A，B，C三幅作品排成一排，则A，B这
两幅作品排在一起的概率为 ．
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）如图， 三个开关控制着 号四盏灯，其中开关 控制着
号灯，开关 控制着 号灯，开关 控制着1，2，4号灯．开始时，四盏灯都亮着．现先后按动
这三个开关中的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为 ．
【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京
举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文
化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅
贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道
菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为 ．考点十一：条件概率与全概率
【例11】（2024·山东滨州·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲
箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一
球放入乙箱，分别用 、 和 表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出
一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则
【变式11-1】（2024·河南·模拟预测）设同一随机试验中的两个事件A，B满足 ， ，
，则 .
【变式11-2】某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现
需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；
在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ．
考点十二：概统结合问题
【例12】（2024·黑龙江大庆·铁人中学校考模拟预测）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板．上钉着
若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口
落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会
均等，则小球最终落入④号球槽的的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】（2024·海南·统考模拟预测）我国实行个人所得税专项附加扣除制度，涉及子女教育、继续
教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等多项专项附加扣除．某单位老年、中年、青年员
工分别有90人、270人、180人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取6人调查专项附加扣
除的情况，再从这6人中任选2人，则选取的2人中恰有一名是中年员工的概率为（ ）
A． B． C． D．【变式12-2】（2024·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知 、 的对应值如下表所示:
x
y
与 具有较好的线性相关关系，可用回归直线方程 近似刻画，则在 的取值中任取两个数均
不大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点十三：传统规则的概率问题
【例13】（2024·浙江宁波·效实中学校考模拟预测）盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取
个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为 ，则
（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【变式13-1】（2024·全国·高三专题练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其
中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取
到1个的概率是
A． B． C． D．
【例14】（2024·广东清远·高二统考期末）盒中有a个红球，b个黑球，c个白球，今随机地从中取出一个，
观察其颜色后放回，并加上同色球d个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（ ）
A． B．
C． D．
考点十四：新赛制概率问题
【例15】（2024·河南信阳·高二统考期末）2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120分钟比
赛中 战平，经过四轮点球大战阿根廷队以总分 战胜法国队，第三次获得世界杯冠军．其中门将马丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选
择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而
且门将即使方向判断正确也有 的可能性扑不到球．若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑
出点球的个数X的期望为（ ）
A． B． C． D．2
【变式15-1】通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是
将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一
个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳
性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检
等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成
本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸
检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当
时， ，据此计算 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-2】（2024·辽宁本溪·高二校考期末）疫情期间，甲、乙、丙三人均来自高风险地区，需要进行
核酸检测，假设每个人的检测结果是否为阳性相互独立，若甲和乙都不是阳性的概率为 ，甲和丙都不是
阳性的概率为 ，乙和丙都不是阳性的概率为 ，则甲、乙、丙三人中最多有2人是阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-3】（2023下·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）在数字通信中，信号是由数字“0”
和“1”组成的序列.现连续发射信号 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为 .
①当 时， ；
②已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量 ，若其数学期望 和方差 均存在，则对任意正实数
，有 .根据该不等式可以对事件“ ”的概率作出下限估计.为了至
少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，估计信号发射次数 的最小值为 .
考点十五：递推型概率命题
【例16】（2023·广东佛山·统考二模）有 个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1
个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第 个盒子中
取到白球的概率是 ．
【变式16-1】（2023·湖北·校联考模拟预测）盒子里装有5个小球，其中2个红球，3个黑球，从盒子中随
机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：
（1）取了3次后，取出红球的个数的数学期望为 ；
（2）取了 次后，所有红球刚好全部取出的概率为 .
【变式16-2】（2024上·甘肃·高三统考阶段练习）某学校有 、 两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在
这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有 的可能性换另一个餐厅就餐，
假如第 天甲选择了 餐厅，则第 天选择 餐厅的概率 为 .
