文档内容
专题 07 函数与导数常考压轴解答题
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
............................................................................................................................................16
考点一：含参数函数单调性讨论...........................................................................................................................16
考点二：导数与数列不等式的综合问题...............................................................................................................18
考点三：双变量问题..............................................................................................................................................23
考点四：证明不等式..............................................................................................................................................27
考点五：极最值问题..............................................................................................................................................32
考点六：零点问题.................................................................................................................................................37
考点七：不等式恒成立问题..................................................................................................................................41
考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题............................................................................................................45
考点九：利用导数解决一类整数问题...................................................................................................................51
考点十：导数中的同构问题..................................................................................................................................54
考点十一：洛必达法则..........................................................................................................................................59
考点十二：导数与三角函数结合问题...................................................................................................................62
本节内容在高考中通常以压轴题形式出现，常见的有函数零点个数问题、不等式证明问题、不等式存
在性问题等，综合性较强，难度较大.在求解导数综合问题时，通常要综合利用分类讨论、构造函数、等价
转化、设而不求等思想方法，同时联系不等式、方程等知识，思维难度大，运算量不低.可以说，只要考生啃下本节这个硬骨头，就具有了强大的逻辑推理、数学运算、数据分析、直观想象等核心素养.
考点要求 考题统计 考情分析
2023年I卷第19题，12分 【命题预测】
2023年甲卷第21题，12分 函数与导数是高中数学的重要考查内
不等式
2023年天津卷第20题，16分 容，同时也是高等数学的基础，其试题的难
度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数
2022年II卷第22题，12分
学试题，分析并归纳出五大考点：
2023年乙卷第21题，12分
极最值 （1）含参函数的单调性、极值与最值；
2023年II卷第22题，12分
（2）函数的零点问题；
2022年 北京卷第20题，12分
（3）不等式恒成立与存在性问题；
恒成立与有解 2021年天津卷第20题，16分
（4）函数不等式的证明．
2020年I卷第21题，12分
（5）导数中含三角函数形式的问题
2022年甲卷第21题，12分 其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、
零点问题 2022年I卷第22题，12分 隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和
不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函
2022年乙卷第20题，12分
数与导数压轴题的热点．1、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极
值点为 ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x．
0
（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数 ，若证 ，则令
．
（3）判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
（4）比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
（5）转化，即利用函数 的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间
的关系，进而得到所证或所求．
【注意】若要证明 的符号问题，还需进一步讨论 与x 的大小，得出 所在
0
的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿
于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内
在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单
调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个
适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能
获得简洁明快的思路，有着非凡的功效
2、应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题．
3、 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可．
1．（2023•新高考Ⅰ）已知函数 ．（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
2．（2023•乙卷）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）是否存在 ， ，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求 ， 的值，若不存在，说明理
由；
（3）若 在 存在极值，求 的取值范围．
3．（2023•甲卷）已知 ， ．
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
4．（2023•天津）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在 处的切线斜率；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）证明： ．5．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 为 的极大值点，求 的取值范围．
6．（2022•甲卷）已知函数 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）证明：若 有两个零点 ， ，则 ．
7．（2022•新高考Ⅱ）已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围；
（3）设 ，证明： ．
8．（2021•天津）已知 ，函数 ．
（1）求曲线 在点 ， 处的切线方程；
（2）证明函数 存在唯一的极值点；
（3）若 ，使得 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．考点一：含参数函数单调性讨论
1、导函数为含参一次型的函数单调性
导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数
不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调
区间．
2、导函数为含参二次型函数的单调性
当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次
函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：
（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；
（2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判
定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．
3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性
当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．
“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．
在此我们首先要清楚 之间的联系是如何判断原函数单调性的．
（1）二次求导目的：通过 的符号，来判断 的单调性；
（2）通过赋特殊值找到 的零点，来判断 正负区间，进而得出 单调性．
例1．（2023·河北承德·高三校联考期中）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
例2．（2023·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知 .(1)讨论 的单调性；
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论函数 的单调性.
考点二：导数与数列不等式的综合问题
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过
程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可
以达到减少运算量的目的．
例4．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)若 ，求 的值；
(3)求证： .
例5．（2023·广东·高三校联考阶段练习）设 ， .
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)当 时，证明： ；
(3)证明： .例6．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求使 恒成立的最大偶数a．
(3)已知当 时， 总成立．令 ，若在 的图像上有一点列
，若直线 的斜率为 ，求证： ．
考点三：双变量问题
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
例7．（2023·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）已知函数 ， 是大于0的常
数.记曲线 在点 处的切线为 ， 在 轴上的截距为 ， ．
(1)当 ， 时，求切线 的方程；
(2)证明： .例8．（2023·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： (其中 是自然对数的底数).
例9．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）设函数 的两个极值点分别
为 ， ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若不等式 恒成立，求正数 的取值范围（其中 为自然对数的底数）．
考点四：证明不等式
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
例10．（2023·河北·高三校联考期中）已知函数 .
(1)当 时，比较 与 的大小；(2)若函数 ，且 ，证明： .
例11．（2023·四川达州·统考一模）已知函数 .
(1)若 在 上有唯一零点，求 的取值范围；
(2)若 对任意实数 恒成立，证明： .
例12．（2023·安徽安庆·高三安徽省太湖中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 的极大值为2，求实数 的值；
(3)在（2）的条件下，方程 存在两个不同的实数根 ，证明： .
考点五：极最值问题
利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．
只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定
单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，
对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
例13．（2023·江苏·统考一模）已知实数 ，函数 ， 是自然对数的底数.
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)求证： 存在极值点 ，并求 的最小值.例14．（2023·全国·模拟预测）已知 ，函数 ，记 为函数 的极值点.
(1)若 是极小值点，证明： ；
(2)若 是极大值点，证明： .
例15．（2023·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知函数 有三个极值点
，且 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若2是 的一个极大值点，证明： .
考点六：零点问题
函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参
数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴（或直线 ）在某区间上的
交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
例16．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知 ， 为自然对数的底数.(1)若函数 在 处的切线平行于 轴，求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 上有且仅有两个零点，求实数 的取值范围.
例17．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围．
例18．（2023·北京顺义·高三校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程和 的极值；
(2)证明 在 恒为正；
(3)证明：当 时，曲线 ： 与曲线 ： 至多存在一个交点．
考点七：不等式恒成立问题
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论
法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， ．
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集．
例19．（2023·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知函数
(1)求函数 在 处的切线方程．
(2)对任意 ，当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
例20．（2023·河南·高三校联考期末）已知函数 ．
(1)若 的图象在点 处的切线平行于 轴，求 的单调区间；
(2)若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
例21．（2023·浙江湖州·高三校考期末）已知函数 在定义域内有两个不同的零点
，．
(1)求证：(2)已知 ，若存在 ，不等式 对任意的 总成立，求 的取值范围．
考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对
x=x
称性．若函数f (x)在 0 处取得极值，且函数y=f(x)与直线y=b交于A(x ,b),B(x ,b)两点，则
1 2
x +x x +x
的中点为M( 1 2,b)，而往往x ≠ 1 2 ．如下图所示．
AB 2 0 2
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
x
极值点偏移的定义：对于函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点
0
，方程f (x)的解分别为
x +x
，且 ，（1）若 1 2 ≠x ，则称函数 在区间 上极值点x 偏移；
x 、x ax ，则函数 在区间 上极值点x 左偏，简称极值点x 左偏；（3）若
2 0 y=f(x) (x ,x ) 0 0
1 2
x +x
1 2
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”： ， ；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果 满足的方程为同构式，则 为方程所表示曲
线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线 的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于 与 的同
构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
例29．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）设 ， ， ，若对任意 ， ， ，且 ，都有 ，求实
数 的取值范围．
例30．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 ， 处的切线方程；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
例31．已知函数 和 有相同的最小值．
（1）求 ；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三
个交点的横坐标成等差数列．考点十一：洛必达法则
法则1、若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，那么 = ．
法则2、若函数 和 满足下列条件：（1） 及 ；
（2） ， 和 在 与 上可导，且 ；
（3） ，
那么 = ．
法则3、若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，
那么 = ．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的 ， ， ， 洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型定式，否
则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，
应从另外途径求极限．
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．例32．已知函数 ，若当 时， ，求 的取值范围．
例33．已知函数 ，如果当 ，且 时， ，求 的取值范围．
例34．已知函数 ．当 时 ，求 的取值范围．
考点十二：导数与三角函数结合问题
分段分析法
例35．（2023·福建三明·高三三明一中校考开学考试）已知曲线C：
(1)若曲线C过点 ，求曲线C在点P处的切线方程；
(2)当 时，求 在 上的值域；
(3)若 ，讨论 的零点个数．
例36．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数 .(1)讨论 的单调性；
(2)若两个不相等的正实数a，b满足 ，求证： ；
(3)若 ，求证： .
例37．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 ，讨论函数 的单调性；
(2)证明：当 时， .
