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三角恒等变换与三角函数
一、弧长、扇形面积计算
1.
如图，一个扇形纸片的圆心角为
，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点
与点
恰好
重合，折痕为
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.
中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折
扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一
个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角
为
时，扇面看上去形状较为美观．已知
，弧AB 的长为
，则此扇面的
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.
已知半径为5，圆心角为
的扇形铁片
如图1，将其裁剪成如图2 的形状并制成一
个倒立的圆锥筒（如图3，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注
满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.
折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图，其平面图如
图
的扇形
，已知该扇形面积
，其圆心角为
，在直角坐标系中，
以
为
的顶点，
轴正半轴为
的始边，此时
终边与单位圆交点
，则该扇
形的弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.
已知弧长为
的弧所对的圆心角为
，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、诱导公式运用
6.
已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
7.
已知
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
8.
已知
1，则
的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
9.
已知角
的顶点在原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，则
A．
B．1
C．
D．
10. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、两角和差公式运用
11. 已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
15. 已知
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
四、二倍角公式
16. 已知
，
为第二象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
17. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
18. 已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
19. 已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
20. 角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
五、辅助角公式
21. 已知
是函数
的最小值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
22. 已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
23. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
24. 若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
25. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
六、和差化积与积化和差
26. 已知锐角
满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
27. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
28.
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
29. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
30. 已知α、β终边不重合，sinα −3cos β =sin β −3cosα，则tan(α + β)=（ ）
A．3
2
B．2
3
C．4
3
D．3
4
七、给值求值
31. 已知
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
32. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
33. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
34. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
35. 已知
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
八、给值求角
36. 若
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
37. 已知
，且
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
38. 已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
39. 当
，
时，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
40. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
九、三角函数奇偶性求参
41. 已知函数
为奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
42. 已知函数
的最小正周期为T，且
，函数
为奇
函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
43. 已知函数
是奇函数，
是
图象的一条对称
轴，且
在区间
上单调，则
的可能取值有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．6 个
D．无数个
44. 已知函数
，若存在常数
，使得函数
为偶函数，则
可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．
45. 已知函数
是偶函数，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．1 或
D．
十、由图像求三角函数解析式
46. 已知函数
（其中
，
，
）的部分图象如图所示，则函
数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
47. 如图是函数
的部分图象，则该函数的解析式可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
48. 如图是函数
的部分图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
49. 函数
的图象如图所示，则函数y 的表达式是
（ ）
A．
B．
C．
D．
50. 已知函数
的部分图象如图所示，则函数
的
解析式为
A．
B．
C．
D．
十一、三角函数平移伸缩变换
51. 已知函数
的一个零点是
，为了得到
的图象，需要将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
52. 将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），得到
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
53. 将函数
的图象向左平移
后得到
的图象，则
的解析
式为（ ）
A．
B．
C．
D．
54. 把函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把所得
图象向右平移
个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
55. 将正弦曲线上所有的点横坐标变为原来的2 倍，再向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
十二、取值范围
56. 设函数
在区间
上恰有2 个极值点､1 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
57. 已知
，函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
58. 若有且仅有一个
使得数
取得最小值，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
59. 设函数
在区间
内恰有三条对称轴、两个零点，则
的取值
范围是（）
A．
B．
C．
D．
60. 已知函数
（
），若
在区间
上有且仅有
个零点
和个最大值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
十三、三角函数综合运用
61. 已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在
上单调递增
C．
的图像关于点
中心对称
D．
图像向右平移
个单位长度后的函数为偶函数
62. 已知函数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象向左平移
个单位长度后关于y 轴对称
D．若
在区间
上恰有一个零点，则实数m 的取值范围是
63. 已知函数
，且
的最小正周期为
，给出下列结论：
①函数
在区间
单调递减；
②函数
关于直线
对称；
③把函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度，可得到函数
的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
64. 已知函数
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
是
的一个零点
D．
在区间
单调递减
65. 将函数
的图象向右平移
个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，
得到函数
的图象，则下列关于函数
的说法正确的是
A．最小正周期为
B．图象关于直线
对称
C．图象关于点
对称
D．在
上是增函数
十四、三角函数应用
66. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，
距今已有
多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3 米的筒车按逆
时针方向做每6 分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心
距离水面
的高度为
米，
设筒车上的某个盛水筒
的初始位置为点
（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，
下列结论错误的是（ ）
A．分钟时，以射线
为始边，
为终边的角为
B．分钟时，该盛水筒距水面距离为
米
C．1 分钟时该盛水筒距水面距离与3 分钟时该盛水筒距水面距离相等
D．1 个小时内有
分钟该盛水筒距水面距离不小于3 米
67. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全
书》中用图1 描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都
做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O 到
水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2 圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现
（即
时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从
运动到点P 时所用时间为t（单位：
s），且此时点P 距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O
的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系
（如图2），则h 与t 的函数关系式为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
68. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描
绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2 米的筒车水轮圆心
距离水面1 米（图2），
已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4 圈，当水轮上点
从水中浮现时（图2 中点
）开
始计时，经过秒钟后点
距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（ ）
A．关于的函数解析式为
B．点
第一次到达最高点需用时10 秒
C．从计时开始
再次接触水面需用时15 秒
D．当点
运动2.5 秒时，距水面的高度为1.5 米
69. 图1 是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在
农业上得到广泛应用．在图2 中，一个半径为2m 的筒车按逆时针方向每分钟转
圈，筒
车的轴心O 距水面的高度为
．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d
（单位：m）（若在水面下则d 为负数），若以盛水桶P 刚浮出水面时开始计时，d 与时间
t（单位：s）之间的关系为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
70. 如图，一个半径为3 米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5 圈，筒车的轴心O 距离水面的高
度为1.5 米.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d 为负
数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t（单位：秒）之间的关系为
（
，
，
），则（ ）
A．
B．
C．盛水筒出水后至少经过
秒就可到达最低点
D．盛水筒P 在转动一圈的过程中，P 在水中的时间为
秒
