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概率
一、条件概率、全概率公式
1.
某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市
场调研，品牌A 和品牌B 在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B 的新能
源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A 的消费者占60%，选择品牌B 的消费者占40%.通过
研究发现选择品牌A 的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B 的消费者中，60%因补
贴而购车.
(1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率.
(2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A 的概率.
(3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A 的
新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B 的
新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无
论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽
车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率
【分析】（1）设事件
表示“选择品牌A”，事件
表示“选择品牌B”，事件
表示“因
补贴而购车”，利用全概率公式即可求解；
（2）利用贝叶斯公式即可求解
（3）设事件
表示“推荐他人购买新能源汽车”，利用全概率公式即可求解.
【详解】（1）设事件
表示“选择品牌A”，事件
表示“选择品牌B”，事件
表示“因
补贴而购车”，
则
，
所以
．
（2）结合（1）由贝叶斯公式得
（3）设事件
表示“推荐他人购买新能源汽车”，
因补贴买品牌A 的概率
，
；
因补贴买品牌B 的概率
，
；
非补贴买品牌A 的概率
，
；
非补贴买品牌B 的概率
，
；
则由全概率公式得
．
2.
人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21 世纪最重要的尖端科技
之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原
理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根
据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相
同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9 个红球和1
个白球，乙袋中有2 个红球和8 个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等
可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验
选到甲袋或乙袋的概率均为
（先验概率）．
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，
从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第
二次试验结束的概率更大．
【答案】(1)
(2)①
；②方案二
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题；
（2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论．
【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件
，“取到乙袋”为事件
，“试验结
果为红球”为事件
，“试验结果为白球”为事件
，
．
所以试验一次结果为红球的概率为
．
（2）①因为
是对立事件，
，
所以
，所以选到的袋子为甲袋的概率为
．
②由①得
，所以方案一中取到红球的概率为：
方案二中取到红球的概率为：
因为
，所以方案二中取到红球的概率更大．
3.
甲、乙两人进行投篮比赛，甲先投2 次，然后乙投2 次，投进次数多者为胜，结束比赛，
若甲、乙投进的次数相同，则甲、乙需要再各投1 次(称为第3 次投篮)，结束比赛，规定3
次投篮投进次数多者为胜，若3 次投篮甲、乙投进的次数相同，则判定甲、乙平局．已知
甲每次投进的概率为
，乙每次投进的概率为
，各次投进与否相互独立．
(1)若每次投篮投进得1 分，否则得0 分，求甲得3 分的概率；
(2)求甲、乙需要进行第3 次投篮的概率；
(3)求甲、乙不需要进行第3 次投篮且甲取胜的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式
【分析】（1）根据独立事件的乘法概率公式求解即可；
（2）根据互斥事件的加法概率公式和独立事件的乘法概率公式求解即可；
（3）根据互斥事件的加法概率公式和独立事件的乘法概率公式求解即可.
【详解】（1）甲得3 分的情况为：前两次投进2 次，乙前两次投进2 次（次数相同进入第
三次），且甲第三次投进．
甲前两次投进2 次的概率：
；乙前两次投进2 次的概率：
；
甲第三次投进的概率：
；
因此甲得3 分的概率为：
．
（2）需要进行第3 次投篮的条件是前两轮甲、乙投进次数相同，分三种互斥情况：
甲、乙都投进0 次：概率为
；
甲、乙都投进1 次：概率为
；
甲、乙都投进2 次：概率为
；
因此需要进行第3 次投篮的概率为：
.
（3）不需要进行第3 次投篮且甲取胜的情况是前两轮甲投进次数
乙投进次数，分三种互
斥情况：
甲1 次、乙0 次：概率为
；
甲2 次、乙0 次：概率为
；
甲2 次、乙1 次：概率为
；
因此概率为：
．
4.
某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三
个时间段垃圾投放量占比分别为
、
、
.环保部门监测发现，各时段因监管力
度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为
是
中午投放的条件下，违规混投的概率为
是晚上投放的条件下，违规混投的概率为
现随机抽查一袋垃圾，求：
(1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率;
(2)这袋垃圾存在违规混投的概率;
(3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】（1）设相应事件，结合
计算求解即可；
（2）根据全概率公式可得
，代入计算即可；
（3）根据条件概率公式
，结合
计算即可.
【详解】（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，
；垃圾违规混投为事件V
，
由题意可知：
，
，
可得
，
所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为
.
（2）由题意可得：
，
所以这袋垃圾存在违规混投的概率为
.
（3）由题意可得：
，
所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为
5.
在数字通信中，信号是由数字0 和1 组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干
扰，发送的信号0 或1 有可能被错误地接收为1 或0.发送0 时，收到1 的概率为
，收到0 的概率为
；发送1 时，收到0 的概率为
，收到1 的概
率为
.假设发送信号0 和1 是等可能的.
(1)若
，
，求接收的信号为0 的概率；
(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传
输是指每个信号重复发送3 次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的
信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到
1，0，1，则译码为1）.
（i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1 的概率；
（ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说
明理由.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）答案见解析
【知识点】利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】（1）先求条件概率，结合全概率公式可得答案；
（2）（i）利用独立事件的概率公式可得答案；（ii）分别表示出两种方式的概率，作差比
较，分情况讨论可得答案.
【详解】（1）设
“发送的信号为0”，
“接收的信号为0”，
则
“发送的信号为1”，
“接收的信号为1”.
由题意可得
.
（2）（i）三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，
此时依次收到1，0，1 的概率为
（ii）记三次传输，发送1，依次收到0，1，1 为
，依次收到1，0，1 为
，
依次收到1，1，0 为
，依次收到1，1，1 为
，且事件
相互互斥.
对于三次传输，记发送1，译码为1 为事件
，
记单次传输发送1，译码为1 为事件
，则
.
因为
，所以
.
当
时，有
，即
，此时选用三次传输方案.
当
时，有
，即
，选用哪种传输方案都可以.
当
时，有
，即
，此时选用单次传输方案.
二、二项分布
6.
某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可
选择参加其中一项两项或不参加
､
.已知参加过数据分析培训的有
，参加过新媒体运营
培训的有
，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响.
(1)任选1 名学生，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3 名学生，记
为3 人中参加过培训的人数，求
的分布列和期望.
【答案】(1)0.8
(2)分布列见解析，2.4
【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、独立事件的乘法公式
【分析】（1）由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式即可求解；
（2）由题意确定
服从二项分布
，进而可求解.
【详解】（1）任选1 名学生，记“该人参加过数据分析”为事件
，“该人参加过新媒体
运营”为事件
，
由题意可知，事件
与
相互独立，
，则
，
任选1 名学生，该人没有参加过培训的概率
，
故任选1 名学生，该人参加过培训的概率
.
（2）由题意结合（1）可知，3 人中参加过培训的人数
服从二项分布
，则
，
，
，
，
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
0.008
0.096
0.384
0.512
的期望
.
7.
甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1 道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，
若一人答对且另一人答错，则答对者获得10 分，答错者得
分；若两人都答对或都答错，
则两人均得0 分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为
，乙答对的概率为
，且
甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
(1)求在一局比赛中，甲得10 分的概率；
(2)设这次比赛共有4 局，设
为甲得0 分的次数，求
的分布列和数学期望；
(3)设这次比赛共有3 局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，2
(3)
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率
问题、利用二项分布求分布列
【分析】（1）借助独立事件概率乘法公式计算即可得；
（2）利用互斥事件的概率加法公式可得一局比赛中甲得0 分的概率，再求出
的所有可能
取值及其对应概率，即可得其分布列，利用二项分布期望公式即可得其期望；
（3）列出甲最终获胜的所有可能情况及其对应概率即可得.
【详解】（1）设
表示在一局比赛中甲得分，则“
”表示甲答对且乙答错的情况，
根据独立事件概率乘法公式，可得
；
（2）
包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错，
甲、乙都答对的概率为
，
甲、乙都答错的概率为
，
根据互斥事件的概率加法公式，可得
，
因为每局比赛甲得
分的概率为
，且每次答题的结果互不影响，所以
.
则
，
，
，
，
，
则
的分布列为：
0
1
2
3
4
则
的数学期望
；
（3）甲最终获胜有以下四种情况：
① 三局都得10 分，其概率为
，
② 两局得10 分，一局得
分，其概率为
，
③ 两局得10 分，一局得
分，其概率为
，
④ 一局得10 分，两局得
分，其概率为
，
综上可得，甲最终获胜的概率为
.
8.
某中学在举行的国庆文艺会演中穿插有奖答题活动，该活动设置
，
两个题箱，参与者
可以任意选择从
题箱或
题箱中不放回地抽题作答，选择从其中一个题箱抽题作答后，
不得再从另一个题箱中抽题作答．具体规则如下：
①若从
题箱中抽题作答，每位参与者均可抽取3 道题作答，每答对1 道题均可获得200
元奖学金．
②若从
题箱中抽题作答，每位参与者每次只能抽取1 道题作答，最多有两次抽题作答机
会．若第一次抽取1 道题没有答对，则有奖答题结束，不能获奖；若第一次抽取1 道题并
答对，则再由该参与者与主持人各掷一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽题
作答，并规定：若两枚硬币都正面朝上，该参与者获得400 元奖学金，不再进行第二次抽
题作答，有奖答题结束，否则，该同学进行第二次抽题作答，如果答对，该参与者获得
800 元奖学金，有奖答题结束，如果没答对，该参与者不能获奖，有奖答题结束．
假设参加有奖答题活动的甲同学答对
题箱中每道题的概率均为
，答对
题箱中每道题
的概率均为
，且任意两题间的抽取、作答等环节都相互独立．
(1)若甲同学选择从
题箱中抽题作答，求甲同学获得的奖学金不少于400 元的概率；
(2)若甲同学通过掷一次一枚质地均匀的硬币的方式，事先确定是从
题箱还是从
题箱中
抽题作答，如果硬币正面向上，则从
题箱中抽题作答，否则，从
题箱中抽题作答，试
求甲同学获得的奖学金数额
（单位：元）的数学期望．
【答案】(1)
(2)412
【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）由题意可得要使甲同学获得的奖学金不少于400 元，则甲同学需要答对2 道
题或3 道题，进而求解即可；
（2）由题意得
的所有可能取值为
，进而求出对应的概率，再根据数
学期望的公式求解即可.
【详解】（1）由题意，要使甲同学获得的奖学金不少于400 元，
则甲同学需要答对2 道题或3 道题，
则甲同学获得的奖学金不少于400 元的概率为
.
（2）由题意，
的所有可能取值为
，
当
时，甲同学从
题箱中抽3 题作答全答错或从
题箱中抽题作答第一次答错、第一
次答对第二次答错，
则
，
当
时，甲同学从
题箱中抽3 题作答且只答对1 道题，
则
，
当
时，甲同学从
题箱中抽3 题作答且只答对2 道题或从
题箱中抽题作答第一次
答对且没有进行第二次作答，
则
，
当
时，甲同学从
题箱中抽3 题作答且只答对3 道题，
则
，
当
时，从
题箱抽题，第一次答对，掷硬币未直接获奖，且第二次答对，
则
，
所以
.
9.
玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其
采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花
瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6 个，其中3 个由工匠甲烧制，3 个
由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为
，
．
(1)求甲烧制的3 个青花瓷中至多有2 个成品的概率；
(2)设乙烧制的这3 个青花瓷中成品的个数为
，求
的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
.
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立重复试验的概率问题、利用二项分布求
分布列、二项分布的均值
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式和对立事件概率求解；
（2）由题意得出
，利用二项分布概率公式求出相应概率，进而得到分布列和
期望．
【详解】（1）设甲烧制的3 个青花瓷中成品的个数为
，则
的对立事件为
，
，
．
（2）
乙烧制的这3 个青花瓷中成品的个数为
，乙烧制青花瓷的成品率
，
，
的可能取值为
，
，
，
，
，
的分布列为：
X
0
1
2
3
P
的期望
．
10. 在2025 年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16 个机器人参与表演.该人工智能机器人团队
将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这
一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践
创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，
机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转
手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6.
(1)若从该团队中随机抽取3 个机器人调查研究，记X 为成功完成转手绢动作的机器人个数，
求X 的分布列及数学期望；
(2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率.
【答案】(1)分布列见解析，2.4
(2)
【知识点】计算条件概率、利用二项分布求分布列、二项分布的均值、利用全概率公式求
概率
【分析】（1）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.
（2）根据全概率公式、条件概率公式计算求得机器人转手绢成功的概率.
【详解】（1）由题意得，
，其分布列为：
，
，1，2，3.
X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
数学期望为
.
（2）设事件A 为“一个机器人转手绢成功”，事件B 为“一个机器人队形变换成功”.
根据题意
，
，
.
三、超几何分布
11.
某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300 元可参加一次抽奖，抽奖
活动如下：抽奖箱设置3 个红球和2 个白球，每次抽取2 个球.若抽中2 个白球，返现金50
元；若抽中1 个红球和1 个白球，返现金30 元；若抽中2 个红球，返现金20 元.
(1)顾客
恰好消费了300 元，设他所获得返现金额为随机变量
.求
的分布列与数学期
望；
(2)顾客
消费了1000 元：
①顾客
获得返现金额为100 元的概率是多少？
②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的
），则顾客
应选择哪种
方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动）
【答案】(1)答案见解析
(2)
0.108
①
；②打折更划算
【知识点】均值的实际应用、超几何分布的分布列
【分析】（1）根据超几何分布结合对应的奖金，列出相应的概率即可；
（2）消费1000 元可知抽奖3 次，而抽到100 元的可能恰好是抽到20 元，30 元，50 元这种
组合；对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可.
【详解】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额
，
可能取值为20，30，50，
则
，
，
则
的分布列如下表：
20
30
50
（2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50 元、30 元、20 元各一次，则概率为
0.108.
②若打九折，需支付金额为：
（元）.
由（1）知每次抽中的均值为
元，则抽取三次总的均值为：
（元）.
因为
，故打折更划算.
12. 甲、乙两工厂共同生产一种零件， 经过抽样调查， 质检人员发现: 甲工厂生产的一批零
件的合格品率为 85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为 95%；若将这两批零件混
合放在一起，则合格品率为 89%.
(1)设甲工厂生产的这批零件有
件，乙工厂生产的这批零件有
件. 求证:
；
(2)按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取 5 个，再从这 5 个零件中
抽取 3 个，记这 3 个零件中来自乙工厂的个数为
，求
的分布列和数学期望.
【答案】(1)证明见解析；
(2)分布列见解析，数学期望为
.
【知识点】其他问题中的概率解释、超几何分布的均值、超几何分布的分布列
【分析】（1）求出甲、乙合格件数以及混合后合格件数，从而得到方程，即可证明；
（2）写出
的可能取值，再利用超几何分布求出对应概率值即可，最后得到期望值.
【详解】（1）依题意，甲工厂生产的
件零件的合格件数为
，
乙工厂试生产的
件的合格件数为
，
又混合后，总零件数为
，合格品率为
，
则混合后合格零件数为
，
解得
，即
（证毕）．
（2）设甲工厂生产的这批零件有
件，乙工厂试生产的这批零件有
件，
由（1）可知
，故抽出的5 件产品中有3 件来自甲工厂，2 件来自乙工厂，
可能取值为0,1,2，
所以
，
所以
的分布列为：
0
1
2
.
13. 巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10 名教职工参加，其中有6 名理科教师、
4 名文科教师，为活动的需要，要从这10 名教师中随机抽取3 名教职工去买比赛服装.
(1)已知10 名教师中有2 名班主任，求抽取的3 名中至少有1 名班主任的概率；
(2)设
表示抽取的3 名教师中文科教师的人数，求
的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变
量的均值、超几何分布的分布列
【分析】（1）根据排列组合求解个数，结合古典概型以及对立事件的概率公式即可求解，
（2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望公式计算期望.
【详解】（1）由于10 名教师中有2 名班主任，则10 名教师中有8 名不是班主任，
若抽取的3 名中没有班主任，则有
种抽法，从10 名教师中随机抽取3 名教职工的方法有
种，
故抽取的3 名中至少有1 名班主任的概率为
（2）
的所有可能取值有：0，1，2，3，
故
的分布列为：
0
1
2
3
故期望为：
14. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4 名男教师，2
名女教师报名，本周随机选取2 人参加.
(1)记参加活动的女教师人数为X，求X 的分布列及期望
；
(2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2 项活动，
且选择参加1 项或2 项的可能性均为
，每名男教师至少从中选择参加2 项活动，且选择
参加2 项或3 项的可能性也均为
，每人每参加1 项活动可获得“体育明星”积分3 分，
选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y 的期望
.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【知识点】超几何分布的分布列、均值的性质、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）参加活动的女教师人数为X，则X 服从超几何分布，即可写出X 的分布列及
期望.
（2）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，由
结合期望的性
质求得
.
【详解】（1）依题意，X 的可能值为0，1，2，
服从超几何分布，
，
，
，
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
P
（2）设一名女教师参加活动可获得分数为
，一名男教师参加活动可获得分数为
，
则
的所有可能取值为3，6，
的所有可能取值为6，9，
，
，
，
，
有X 名女教师参加活动，则男教师有
名参加活动，
，
所以
.
即两个教师得分之和的期望为13 分.
15. 2025 年6 月14 日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02 星，此举标志着我国在
地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组
织了航天知识竞赛活动.竞赛共有
、
两类试题，每类试题各有5 道题，其中每答对1 道
类试题得5 分，每答对1 道
类试题得10 分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两
类试题中共抽取3 道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学
类试题中有3 道能答对
类试题中每道题答对的概率均为
.
(1)若该同学只在
类试题中抽取3 道作答，设
表示该同学作答这3 道试题的总得分，求
的分布列和数学期望；
(2)若该同学在
类试题中抽取1 道，在
类试题中抽取2 道作答，当
时，求他在这
次竞赛中仅答对1 道试题的概率；
(3)若该同学在
类试题中只抽取2 道比抽取3 道作答的总得分的期望值高，求
的取值范
围.
【答案】(1)分布列见解析，期望为9
(2)
(3)
【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的分布列、二项分布的均值、写出简单离散
型随机变量分布列
【分析】（1） 根据超几何分布计算概率及分布列进而得出数学期望；
（2）应用独立重复实验概率公式计算求解；
（3）应用独立事件概率乘积公式计算结合二项分布数学期望计算求解.
【详解】（1）由题知，
的可能取值为，
，
，
则
，
，
，
所以
的分布列为：
所以
；
（2）记“该同学仅答对道题”为事件
，
则
，
所以该同学在这次竞赛中仅答对道题的概率为
；
（3）设
为该同学在
类试题中只抽取
道作答的总得分，
则
的可能取值为
，，
，
，
，
，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
设
为该同学在
类试题中抽取道作答答对的题数，
为总得分，
则
，
所以
，
，
因为
，所以
，解得
，
所以
的取值范围是
.
四、成对数据相关统计
16. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口
粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相
关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024 年记为年份代码1~5，我国小
麦产量如下表所示.
年份代码
1
2
3
4
5
产量/千万吨
13.4
13.6
13.8
13.7
14.0
现规定
表示年份代码，
表示年份代码为的产量，经计算得
，
，
(1)求样本
的相关系数；（精确到0.01）
(2)现从这5 年中随机抽取2 年，记这2 年中小麦产量不低于13.7 千万吨的年数为
，求
的分布列与期望.
附：相关系数
，
.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【知识点】相关系数的计算、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解；
（2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可.
【详解】（1）
，
，
故样本相关系数
.
（2）X 的取值可以为0，1，2，
则
，
，
，
于是X 的分布列为
X
0
1
2
P
故
.
17. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口
粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相
关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.我国于2020 年打赢了脱贫攻坚战，其中小
麦发挥了重大作用.以2020 年为第1 年，我国连续5 年小麦产量如下：
年份
1
2
3
4
5
产量/千万吨
13.4
13.7
13.8
13.6
14.0
现规定
表示第i 年的年份，
表示第i 年的产量，经计算得
，
，
.
(1)求样本
（
，2，…，5）的相关系数（精确到0.01）；
(2)现从这5 年中随机抽取2 年，记这2 年中共有X 年的小麦产量不低于13.7 千万吨，求X
的分布列与期望.
附：样本相关系数
，
.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【知识点】超几何分布的分布列、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分
布列、相关系数的计算
【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解；
（2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可.
【详解】（1）
，
，
故样本相关系数
.
（2）X 的取值可以为0，1，2，
则
，
，
，
于是X 的分布列为
X
0
1
2
P
故
.
18. 近年来某
用户保持连续增长，李明收集了
年的年份代码
与
该
在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示：
年份代码x
1
2
3
4
5
在线用户数y（单位：万）
80
150
210
260
300
(1)求样本相关系数r（精确到小数点后第二位，采用四舍五入法），并判断变量x 与y 之间
的线性相关关系的强弱；
(2)从
年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据
，记最小的数据为
，求
的分布列及数学期望
．
注：样本相关系数
．当
越接近1 时，成对样本数据的线性
相关程度越强；当
越接近0 时，成对样本数据的线性相关程度越弱．其中，
．
【答案】(1)
，变量
与
之间有很强的线性正相关关系
(2)分布列见解析，
【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、相关系数的计算、
相关系数的意义及辨析
【分析】（1）利用所给相关系数公式计算即可得；
（2）得到
的所有可能取值并计算对应概率后，结合分布列定义与期望定义计算即可得.
【详解】（1）
，
，
则
，
由
，
同理
，
则
，
则
，
由
接近且为正，故变量
与
之间有很强的线性正相关关系；
（2）
的可能取值为
、
、
，
，
，
，
故
的分布列为：
则
.
19. 2025 年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段
为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3 分，平一场得1 分，负一场得0 分.九龙坡区队属于
中心城区赛区，该赛区共有11 支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰
好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为
，平局
的概率均为
，失利的概率均为
，且各场比赛结果相互独立.
(1)九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用
模拟了该球队在5 种不同观
众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下：
场均观众人数
(千人)
8
12
6
15
9
小组赛积分
10
16
8
18
13
请计算场均观众人数
(千人)与小组赛积分
的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两
者之间的线性相关程度；
(2)九龙坡区队在9 月13 日的揭幕赛中以
失利于渝中区队，积0 分.根据赛事规则推算，
在中心城区赛区，球队至少需要获得23 分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶
段未来赛事中至少获得23 分的概率.
附：相关系数
，
【答案】(1)
，具有很强的正线性相关关系；
(2)
.
【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、相关系数的计算、相
关系数的意义及辨析
【分析】（1）借助相关系数的计算公式计算即可得；
（2）分析所有可能情况并计算对应概率即可得.
【详解】（1）
，
，
则
，
，
，
则
，
因为
，且接近于，
故说明场均观众人数
与小组赛积分
之间具有很强的正线性相关关系；
（2）九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23 分，
则设剩余场比赛中九龙坡区队比赛情况有以下几种：
一：场比赛全胜，概率为：
；
二：胜场，平或负场，概率为：
；
三：胜
场，平
场，概率为：
；
故九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23 分的概率为：
.
20. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚
拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后20 个月的销售
金额的情况统计，得到一组样本数据
，其中
和
分别表示月份编号
和销售金额（单位：万元），并计算得
，
，
.
(1)求样本
的相关系数（精确到
），并推断销售金额
（单位：万
元）和月份编号
的相关程度；
(2)已知这20 个月中有8 个月的销售金额低于平均数，从这20 个月中随机抽取2 个月的销
售金额，记抽到销售金额低于平均数的月份数为
，求随机变量
的分布列.
附：相关系数
.
【答案】(1)
，相关性强
(2)分布列见解析
【知识点】超几何分布的分布列、写出简单离散型随机变量分布列、相关系数的计算、相
关系数的意义及辨析
【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论；
（2）由条件确定
的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列.
【详解】（1）样本
的相关系数为
.
由于相关系数
，则相关性很强，
的值越大，相关性越强.
故
，故销售金额
和月份编号
成很强的正相关性.
（2）由题意得：
的可能取值为0，1，2，
20 个月中有8 个月的销售金额低于平均数，有12 个月的销售金额不低于平均数，
所以
，
所以
的分布列为：
0
1
2
五、一元线性回归
21. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把
它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限
（单位：年）与失效费
（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限
（单位：年）
2
4
5
6
8
失效费
（单位：万元）
3
4
5
6
7
(1)根据上表数据，计算
与
的相关系数，并说明
与
的线性相关性的强弱．
（已知：
，则认为
与
线性相关性很强；
，则认为与
线性相关性
一般；
，则认为
与
线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001）
(2)求
关于
的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10 年的失效费．
附：样本
的相关系数
，经验回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
．
【答案】(1)
，线性相关性很强
(2)
，8.5 万元
【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、根据回归方程进行数据估计
【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，
并判断相关性强弱即可；
（2）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数
，写出回归方程，并
预测10 年的失效费即可.
【详解】（1）由表知，
，
，
，
，
，
，
故
，认为
与
线性相关性很强；
（2）由（1）知，
，
又
，
，
故
关于
的线性回归方程为
，
当
时，
，即估算10 年的失效费为8.5 万元．
22. 为响应“智慧农业”政策，某企业通过田间试验研究了一种针对于番茄的新型无污染肥料.
研究过程中，对其进行经济大致评估，该肥料成本约为10000 元／升，其他固定成本约为
220000 元／公顷，番茄市场批发价约为8000 元／吨，在实际生产过程中，该肥料的施用
量（
，单位：升／公顷）与番茄最终收获量（
，单位：吨／公顷）之间的关系满足下
表，其中表格数据已经过部分筛选与简化处理：
肥料施用量
（升／公
顷）
10
15
20
25
30
番茄收获量
（吨／公
顷）
55
60
75
80
90
参考数据：利用最小二乘法计算回归直线
，截距和斜率的估计公式为
计算得
.
(1)利用最小二乘法及已知数据，求番茄收获量
随肥料施用量
变化的线性回归方程；
(2)某农户根据试验结果提出了以下两种增产方案，试基于（1）中的回归模型的合理性及
农业科学常识分别对这两种方案进行经济与效益评估：方案
：施用28 升／公顷的肥料；
方案
：施用45 升／公顷的肥料.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】求回归直线方程
【分析】（1）利用最小二乘法及已知数据求出线性回归方程即可；
（2）使用回归模型求出方案
的预期总产量，进而求得预期净利润；根据回归模型的合理
性及农业科学常识分析方案
，即可得解.
【详解】（1）由题意，
，
又
故
1.
.
则番茄收获量
随肥料施用量
变化的线性回归方程为
.
（2）方案
：施用28 升／公顷的肥料：施用量
在试验数据范围［10,30］之内，
故可使用回归模型进行评估，将
代入回归方程得
，
即预期总产量为86.4 吨／公顷，
此时预期总收入为86.4 吨/公顷
元/吨
元/公顷，
预期总成本为：总成本
升／公顷
元／升）+220000 元/公顷
500000 元／公顷，则预期净利润为191200 元／公顷，
综上，方案
的预测相对可靠，且预期实现191200 元／公顷的利润，可以采用.
方案
：施用45 升／公顷的肥料：此时施用量超出了试验数据范围［10,30］，
故直接使用（1）中的线性回归模型进行预测是不可靠的，存在预测风险，
当肥料施用超过作物所需的最优水平后，可能产量提升效果会越来越差，
且过量的肥料可能导致作物根系受损导致产量下降，
即使产量不再增加，每公顷也要比方案
多投入170000 元的肥料成本.
若因减产而导致总收入下降，农户将面临经济亏损.
综上，方案
是一个基于不可靠预测的高风险方案，不建议采用.
23. 为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．
如图，这是2016 年至2025 年该果园每年的投资金额
（单位：万元）与年利润增量
（单
位：万元）的散点图．
模型①由最小二乘法可求得
与
的经验回归方程为
；
模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线
的附近，令
，
则
，且有
．
(1)根据所给的统计量，求模型②中
关于
的经验回归方程；
(2)已知2025 年的投资金额为20 万，年利润增量为40 万，分析这两种模型在2025 年时哪
个模型的预报效果更好．
参考公式与数据：
．
【答案】(1)
；
(2)模型②.
【知识点】求回归直线方程、非线性回归、根据回归方程进行数据估计
【分析】（1）根据给定的数据，利用最小二乘法公式求出经验回归方程.
（2）分别求出模型①、模型②中年利润增量，再比较它们与40 差的绝对值大小即可.
【详解】（1）由
，得
，
则
，
，
所以模型②中
关于
的经验回归方程为
.
（2）模型①，
，当
时，年利润增量
，
模型②，
，当
时，
，
因此年利润增量
，而
，
所以模型②的预报效果更好.
24. 某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率
进行了统计，结果如表所示：
年份
2020 年
2021 年
月份
9 月
10 月
11 月
12 月
1 月
2 月
月份代码x
1
2
3
4
5
6
市场占有率
y（%）
11
13
16
15
20
21
(1)用相关系数说明月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系是否可用线性回归模型拟合？
(2)求y 关于x 的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%?
(3)根据市场供需情况统计，得到该公司产品2020 年的月产量X（单位：万件）的分布列为
X
1
1.2
P
0.6
0.4
2020 年的该公司产品的市场价格Y（单位：万元/件）对应的概率分布为
．假设每月固定成本为200 万元，求该产品平均每月利润的分布列和
数学期望．
参考数据：
，
，
．
参考公式：相关系数
，
回归直线方程为
，其中：
，
．
【答案】(1)可以用线性回归模型拟合两变量y 与x 之间的关系；
(2)
，2021 年7 月；
(3)分布列见解析，3148 万元．
【知识点】根据回归方程进行数据估计、求回归直线方程、相关系数的计算、求离散型随
机变量的均值
【分析】（1）应用相关系数公式求值判断即可；
（2）应用最小二乘法求回归直线，进而估计对应时间；
（3）确定随机变量的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望.
【详解】（1）因
，
，
则
，
即两变量y 与x 之间具有较强的线性相关关系，
故可以用线性回归模型拟合两变量y 与x 之间的关系；
（2）由题意得
，而
，
于是得
，所以y 关于x 的线性回归方程为
，
令
，即
，解得
，又
，所以
，
故从2021 年7 月开始，该种产品的市场占有率超过
；
（3）设该产品平均每月利润为Z 万元，则
，
，
，
，
所以Z 的可能取值为2800，3300，3400，4000，
故
，
，
，
，
所以
的分布列为：
2800
3300
3400
4000
0.48
0.12
0.32
0.08
故
万元．
25. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司
为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5 年的年广告费
（单位：百万
元）和年销售量
（单位：百万辆）关系如图所示：
令
，数据经过初步处理得：
，
，
，
，
，
，
.现有①
和②
两种方案作为年销售量y 关于年
广告费x 的回归分析模型，其中a，b，m，n 均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y 关于x 的回归方
程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
附：①相关系数
，回归直线
中公式分别为
，
；
②参考数据：
，
，
，
【答案】(1)模型②的拟合程度更好
(2)13（百万辆）
【知识点】求回归直线方程、非线性回归、相关系数的意义及辨析、相关系数的计算
【分析】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪
一个模型拟合程度更好；
（2）先利用最小二乘法求出
关于
的回归方程，再令
，即可得解..
【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为
，
由题意可得：
，
，
所以
，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好.
（2）因为
，
又由
，
，
得
，
所以
，即回归方程为
，
当
时，
，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
六、独立性检验
26. 某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000 名学生，
得到如下列联表：
课外体育锻炼时间组别
达标
不达标
合计
身体素质强
860
40
900
身体素质弱
40
60
100
合计
900
100
1000
(1)根据小概率值
的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关；
(2)如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取
3 名，求恰有1 人课外体育锻炼时间达标的概率.
附
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)有关
(2)
【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）根据列联表的数据，计算
，比较临界值可得结论．
（2）利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为
，利用二项分布概率公式计算可求结论.
【详解】（1）
课外体育锻炼时间与身体素质无关，
，
根据小概率值
的独立性检验，推断
不成立，
所以有
的把握认为课外体育锻炼时间与身体素质有关；
（2）由题意在某个区随机调查了1000 名学生，有900 人达标，达标率为
，
利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为
.
记“恰有1 人课外体育锻炼时间达标”为事件
，
则
，
所以恰有1 人课外体育锻炼时间达标的概率
.
27. 为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120 件样本，测量
其增长长度（单位：
），经统计其增长长度均在区间
内，将其按
分成6 组，制成频率分布直方图，如图所示
其中增长长度为
及以上的产品为优质产品.
(1)已知这120 件产品来自
两个试验区，部分数据如下列联表：
试验区
试验区
合计
优质产品
20
非优质产品
60
合计
将此列联表补充完整，并判断是否有
的把握认为优质产品与
两个试验区有关系，
并说明理由；
参考公式
，其中
.
临界值表：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(2)以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4 件进行分析研究，计算抽取的
这4 件产品中含优质产品的件数
的分布列和数学期望
.
【答案】(1)列联表见解析，没有
的把握认为优质产品与
两个试验区有关系；
(2)分布列见解析，数学期望为1.
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、卡方的计算、利用
二项分布求分布列、二项分布的均值
【分析】（1）根据面积之和为1，列出关系式，解出
的值，根据频率分布直方图中的数
据计算
这两个试验区优质产品、非优质产品的总和，然后根据表格填入数据，再根据
公式计算即可；
（2）利用二项分布的概率公式计算分布列和数学期望即可.
【详解】（1）易知
，解得
，
此时样本中优质产品有
.
列联表如下所示：
试验区
试验区
合计
优质产品
10
20
30
非优质产品
60
30
90
合计
70
50
120
所以
，
即没有
的把握认为优质产品与
两个试验区有关系.
（2）由题意，易知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率为
，
则随机抽取4 件中含有优质产品的件数
的可能取值为
，且
，
则
，
，
则
的分布列为：
0
1
2
3
4
故
.
28. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000 名
得到如下列联表：
效果明显
效果不明显
合计
甲方案
1000
200
1200
乙方案
600
200
800
合计
1600
400
2000
(1)根据小概率值
的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8 人，再从这
8 名患者中随机抽取4 人，设
表示4 名患者中效果不明显的人数，求
的分布列和数学
期望．
附：
．
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
【答案】(1)治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
(2)分布列见解析，1
【知识点】独立性检验解决实际问题、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）根据题意，由列联表代入
的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可
得到结果；
（2）根据题意，由分层抽样的公式可得效果明显的患者中抽取
名，从效果不明显的患者
中抽取
名，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望.
【详解】（1）零假设为
：治疗效果与选择甲、乙方案无关联，
，
根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，故治疗效果与选择甲、乙方
案有关联．
（2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取
名，从效果不明显
的患者中抽取
名，
的取值分别为0，1，2，
则
，
所以
的分布列为
0
1
2
．
29. 利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学
建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60 名学生，调查他
们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下：
数学成绩总评优秀人
数
数学成绩总评非优秀人数
合计
每天都整理数学错题人数
20
10
不是每天都整理数学错题人数
22
合计
60
(1)完成上述
列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩
总评优秀的概率；
(2)根据小概率值
的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是
否有关联?
(3)从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3 名学生做进一步访谈，设抽取到数学
成绩总评优秀的人数为
，求
的分布列和数学期望.
附：
，其中
；
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
【答案】(1)表格见解析，
(2)数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联.
(3)分布列见解析，2
【知识点】完善列联表、独立性检验解决实际问题、超几何分布的均值、超几何分布的分
布列
【分析】（1）根据题目数据完善列联表，然后利用频率估计概率即可求解；
（2）利用列联表的数据求出
的观测值，与临界值比较即可求解；
（3）求出
的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望即可.
【详解】（1）完善
列联表，如下：
数学成绩总评优秀人
数
数学成绩总评非优秀人
数
合计
每天都整理数学错题人数
20
10
30
不是每天都整理数学错题人数
8
22
30
合计
28
32
60
估计不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率约为
.
（2）零假设
：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联，
利用（1）中数据，得
，
根据小概率值
的独立性检验，可以判断
不成立，所以数学成绩总评优秀与每天
都整理数学错题有关联.
（3）由题意知
的所有可能值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
.
30. 为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们
对赛事的关注情况，得到如下表格：
性别
不关注赛事
关注赛
事
合计
男性
25
150
175
女性
50
75
125
合计
75
225
300
(1)对照
列联表，能否有99.9%的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6 名市民
参加“苏超”赛事知识问答，再从这6 名市民中抽取3 人参加抽奖活动，记这3 人中女性
人数为X，求X 的分布列和期望.
附：
，
.
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)有
(2)分布列见解析，期望为1
【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、二
项分布的均值
【分析】(1)运用独立性检验判断赛事与性别的关系即可；
(2)先进行分层抽样，求概率后列出分布列，利用期望公式计算期望即可.
【详解】（1）提出假设
：关注“苏超”赛事与性别无关，
，则假设
不成立，
所以有
的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关.
（2）关注赛事的市民中，男性150 人，女性75 人，
由分层抽样知，抽取男性市民
人，女性市民
人，
的取值为
，
，
，
，
X
0
1
2
P
所以
.
七、概率与数列（马尔科夫链）
31. 某学校有C、D 两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该
学生第一天选择C 图书馆的概率是
，若在前一天选择C 图书馆的条件下，后一天继续选
择C 图书馆的概率为
，而在前一天选择D 图书馆的条件下，后一天继续选择D 图书馆的
概率为
，如此往复.
(1)求该学生第一天和第二天都选择C 图书馆的概率；
(2)求该学生第二天选择C 图书馆的概率；
(3)记该学生第n 天选择C 图书馆的概率为
，求数列
的通项公式.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由题意，第一天和第二天都选择C 图书馆的概率为
（2）第一天选C 图书馆，第二天选C 图书馆的概率为
，
第一天选D 图书馆，第二天选C 图书馆的概率为
，
故第二天选C 图书馆的概率为
.
（3）由题意，当
时，
，则
，
即
，
故
是以
为首项，
为公比的等比数列，
故
，解得
32. 某电信部门推出办卡优惠活动，有A 套餐和B 套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选
择A 套餐的概率为
，选择B 套餐的概率为
.
(1)假设顾客选择A、B 套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率；
(2)假设A 套餐包含一张话费优惠券，B 套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商
场恰好发出了n 张话费优惠券的概率为
.
（ⅰ）证明
（
）为等比数列，并求
的通项公式；
（ⅱ）求数列
的最值.
【答案】(1)
；
(2)（ⅰ）证明见解析，
；（ⅱ）最小值为
，最大值为
.
【分析】
【详解】（1）记选择A 套餐的事件为
，顾客领取优惠券的事件为
，
则
，
因此
.
（2）（ⅰ）商场恰好发出了n 张话费优惠券的事件，是发放
张后选择A 套餐的事件，
与发放
张后选择B 套餐的事件的和，
则
，
，
，而
，
因此
（
）是以
为首项，
为公比的等比数列，
当
2 时，
，
，而
满足上式，
所以
.
（ⅱ）当（ⅰ）知，
，
当
为偶数时，
，数列
是递减数列，
，
当
为奇数时，
，数列
是递增数列，
，
所以数列
的最小值为
，最大值为
.
33. 某学校有
，
两家餐厅，据统计发现，该校学生如果第1 天去
餐厅，那么第2 天去
餐厅的概率为
；如果第1 天去
餐厅，那么第2 天去
餐厅的概率为
.假设某同学第1
天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，且第
天去
餐厅用餐的概率是
.
(1)求
，
，
的值；
(2)求证：数列
是等比数列，并求
；
(3)若当
，有
，则称
为该同学“习惯去
餐厅的概率”.若甲乙丙三人“习
惯去
餐厅的概率”相同，设某天甲乙丙三人独立去餐厅，
表示三人去
餐厅的人数，
求
.
【答案】(1)
，
，
(2)证明见解析，
(3)
【分析】
【详解】（1）依题意可得
，
，
.
（2）由（1）可知
，
当
时，
，
所以
，
又
，所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，则
；
（3）当
时，
，所以
，即
，
依题意
，所以
.
34. 某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮
均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为
，派出专识题的概率为
.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为
，且各轮答
题正确与否相互独立.
(1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率；
(2)记该选手在第
轮答题结束时挑战依然未终止的概率为
，
（i）求
；
（ii）证明：存在实数
，使得数列
为等比数列.
【答案】(1)
；
(2)（i）
；（ii）证明见解析.
【分析】
【详解】（1）设事件
“一轮答题中系统派出通识题”，事件
“该选手在一轮答题
中答对”，
依题意，
，
，
因此
，
所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为
.
（2）（i）设事件
“该选手在第
轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立，
由（1）知，
，
当
时，挑战显然不会终止，即
，
当
时，则第1、2 轮至少答对一轮，
，
由概率加法公式得
；
同理
.
（ii）设事件
“第
轮答题结束时挑战未终止”，
当
时，第
轮答题结束时挑战未终止的情况有两种：
①第
轮答对，且第
轮结束时挑战未终止；
②第
轮答错，且第
轮答对，且第
轮结束时挑战未终止，
因此第
轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为
，
则
，而各轮答题正确与否相互独立，
因此
，
当
时，
，设存在实数
，使得数列
为等比数列，
当
时，
，整理得
，
而
，则
，解得
或
，
当
时
，
因此当
时，数列
是首项为
，公比为
的等比数列；
当
时，数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以存在实数
或
，使得数列
为等比数列
35. 某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游
戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为
1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2 点，获得1 分，否则获得2 分，进行若干轮游
戏，若累计得分为19 分，则游戏结束，可得礼券
，若累计得分为20 分，则游戏结束，
可得到礼券
，最多进行19 轮游戏.
(1)当进行完3 轮游戏时，总分为
，求
的期望；
(2)若累计得分为的概率为
，（初始得分为0 分，
）.
①证明数列
，
，
，
，
是等比数列；
②求活动参与者得到礼券
的概率.
【答案】(1)
(2)①证明见解析，②
【分析】
【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得分的概率为
，获得
分的概率为
，设进行完
轮游戏时，得分的次数为
，所以
，所以
，
，
，
，，而
，所以随机变量
的可能取值为，
，，
，所
以
，
，
，
，
所以
的分布列为：
所以
.
（2）①证明：
，即累计得分为分，是第一次掷骰子，向上点数不超过
点，
，
则
，累计得分为分的情况有两种：
（i）
，即累计得
分，又掷骰子点数超过
点，其概率为
，
（ii）累计得分为
分，又掷骰子点数没超过
点，得分，其概率为
，
所以
，所以
，
，，
，
，
所以
，
，
，
，
是首项为
，公比为
的等比数列.
②因为数列
，
，
，
，
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，所以
，
，
，
各式相加，得
，
所以
，
，
，
，
，
所以活动参与者得到礼券
的概率为：
.
