专练13 “15~17”解答题
15.(13 分)在△ABC 中,BC＝3√2,∠BAC＝π
3 .
(1)若AC＝2√3,求sin C;
(2)若D 为边BC 上的点且AD 平分∠BAC,AD＝√3,求△ABC 的面积.
解 (1)法一 由余弦定理可知(3√2)
2＝c2＋(2√3)
2－2·2√3·c·cosπ
3 ,
∴c2－2√3c－6＝0,∴c＝√3±3,
又c>0,∴c＝√3＋3,
由正弦定理知
c
sin C ＝3√2
sin π
3
,sin C＝√2＋√6
4
.
法二 因AC＝2√3,由正弦定理知
AC
sin B ＝3√2
sin π
3
,sin B＝√2
2 ,
∵AC<BC,∴B<A＝π
3 ,∴B＝π
4 ,
sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝√3
2 ·√2
2 ＋1
2·√2
2 ＝√2＋√6
4
.
(2)由余弦定理可知(3√2)
2＝c2＋b2－2·b·c·cosπ
3 ,
18＝c2＋b2－b·c,18＝(b＋c)2－3b·c,①
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD,
∴1
2·AB·ACsin∠BAC
＝1
2·AB·ADsin∠BAD＋
1
2·AD·ACsin∠DAC,
1
2·bc·√3
2 ＝1
2·√3b·1
2 ＋1
2·√3c·1
2,
∴bc＝b＋c,②
由①②得bc＝6,
∴S△ABC＝1
2bcsin A＝1
2·6·√3
2 ＝3√3
2 .
16.(15 分)梯形ABCD 中,AD∥BC,E 为AD 上的一点且有BE⊥AD,AE＝BE＝1,BC＝1
2ED,将
△ABE 沿BE 翻折到△PEB,使得二面角P－BE－C 的平面角为θ,连接PC,PD,F 为棱PD 的中点.
(1)求证:FC∥平面PBE;
(2)当θ＝2π
3 ,PD＝√7时,求直线PC 与平面BCF 所成角的正弦值.
(1)证明 取PE 中点G,连接GB,GF,
已知BC∥ED,BC＝1
2ED,且GF∥ED,GF＝1
2ED,
得到GF∥BC,GF＝BC,得四边形BCFG 为平行四边形,则FC∥GB,
又FC⊄平面PBE,GB⊂平面PBE,
则 FC∥平面PBE.
(2)解 BE⊥AD,则BE⊥PE,且BE⊥ED,PE∩ED＝E,PE,ED⊂平面PDE,
则BE⊥平面PDE,BE⊂平面BCDE,则平面PDE⊥平面BCDE,
二面角P－BE－C 的平面角为θ＝∠PED＝2π
3 .
在平面PDE 内,过点E 作EQ⊥ED 交PD 于点Q,EQ⊂平面PDE,
平面PDE∩平面BCDE＝DE,∴EQ⊥平面BCDE,
以{⃗EB ,⃗ED ,⃗EQ}为正交基底建立如图所示坐标系,则∠PEQ＝π
6 ,
设P(0,y,z),则sin π
6 ＝−y
PE ＝−y
1 ,
则y＝－1
2,cos π
6 ＝z
PE ＝z
1,
则z＝√3
2 .
则P(0,−1
2 , √3
2 ),在△PDE 中,7＝12＋ED2－2ED·cos 2π
3 ,
得ED＝2,则D(0,2,0),
∴F(0, 3
4 , √3
4 ),B(1,0,0),C(1,1,0),
∴⃗PC ＝(1, 3
2 ,−√3
2 ),⃗BC＝(0,1,0),⃗
BF ＝(−1, 3
4 , √3
4 ),
设n＝(x,y,z)为平面BCF 的一个法向量,
直线PC 与平面BCF 所成角为θ,
则{
n·⃗BC ＝0,
n·⃗BF ＝0, 得{
y ＝0,
−x＋3
4 y ＋√3
4 z＝0,
令x＝√3,则z＝4,所以n＝(√3,0,4),
则|cos<n,⃗PC>|＝|n·⃗PC |
|n|·|⃗PC |
＝|
−√3
2·√19|＝√57
38 ,
∴sin θ＝√57
38 .
17.(15 分)某运动会有两种不同价格的开幕式门票,某人花a 元预定该运动会开幕式门票一张,另外
还花若干元预定乒乓球、羽毛球比赛门票各一张.根据相关规定,从所有预定者中随机抽取相应数
量的人,这些人称为预定成功者,他们可以直接购买门票.另外,对于开幕式门票,有自动降级规定,
即当这个人预定的a 元门票未成功时,系统自动使他进入b 元开幕式门票的预定.假设获得a 元开幕
式门票的概率是0.2,若未成功,仍有0.3 的概率获得b 元开幕式门票的机会,获得乒乓球、羽毛球门
票概率均是0.5,且获得每张门票之间互不影响.
(1)求这个人可以获得该运动会开幕式门票的概率;
(2)假设这个人获得门票总张数是X,求X 的分布列及数学期望E(X).
解 (1)记“获得a 元开幕式门票”为事件A,“获得 b 元开幕式门票”为事件B,“获得开幕式门
票”为事件 C,则P(A)＝0.2,P(B)＝0.3,P(A)＝0.8,
P(C)＝P(A)＋P(AB)＝P(A)＋P(A)P(B)＝0.2＋0.8×0.3＝0.44,
∴这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率为0.44.
(2)X∈{0,1,2,3},P(X＝0)＝(1－0.44)×0.5×0.5＝0.14.
P(X＝1)＝(1－0.44)×0.5×0.5×2＋0.44×0.5×0.5＝0.39,
P(X＝2)＝(1－0.44)×0.5×0.5＋0.44×0.5×0.5×2＝0.36,
P(X＝3)＝0.44×0.5×0.5＝0.11,
X
0
1
2
3
P
0.14
0.39
0.36
0.11
E(X)＝0×0.14＋1×0.39＋2×0.36＋3×0.11＝1.44
