文档内容
专题 01 勾股定理（五大类型）
【题型1已知直角的两边长，求第三边长】
【题型2 直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】
【题型3 等面积法求直角三角形斜边上的高】
【题型4 作无理数的线段】
【题型5 勾股定理的证明】
【题型1已知直角的两边长，求第三边长】
1．（2023春•禅城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，则AB
边的长度是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4．
故选：B．
2．（2023春•张北县校级期中）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°且AB＝3，BC＝4，则AC
＝（ ）A．5 B． C．5或 D．±5或
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴BC是斜边，
∴ ＝ ＝ ．
故选：B．
3．（2023春•黄冈月考）直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（ ）
A．13 B． C．13或 D．7
【答案】C
【解答】解：直角三角形两边分别为5和12，根据勾股定理可知，
第三边长为 或 ，
即第三边长为13或 ，
故选：C．
4．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，
则BC的长度为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，
∴BC＝2BD，AD⊥BC．
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+62＝102，解得BD＝8，
∴BC＝16．
故选：D．
5．（2022秋•晋江市期末）我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条
直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（ ）A．21 B．15 C．13 D．12
【答案】B
【解答】解：弦为： ，
故选：B．
6．（2022秋•内江期末）如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（ ）
A．24 B．30 C．48 D．18
【答案】B
【解答】解：根据勾股定理，得
直角三角形的斜边是 ＝10，
则矩形的面积是10×3＝30．
故选：B．
7．（2023•金水区开学）图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，主体图案
是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，OA ＝AA ＝AA ＝…＝A A ＝1，则
1 1 2 2 3 n﹣1 n
OA 的长为（ ）
21
A．22 B． C．21 D．
【答案】D
【解答】解：∵OA＝1，OA＝ ＝ ，OA＝ ＝ ，..．，
1 2 3∴OA＝ ，
n
∴OA ＝ ，
21
D．
故选：
【题型2 直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】
8．（2023秋•朝阳区校级期末）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的
正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（ ）
A．28cm2 B．42 cm2 C．49 cm2 D．63 cm2
【答案】C
【解答】解：由图形可知2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B的面积之和＝49cm2．
故选：C．
9．（2023秋•建湖县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直
平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝ ＝4，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝BD，
∵BC＝4，AC＝3，∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，
∴△ACD的周长为：4+3＝7．
故选：A．
10．（2022秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝
5，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的角平分线，
∴AD＝DE，
在Rt△BAD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL），
∴BA＝BE＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝5﹣3＝2，AC＝ ＝ ＝4，
∴△CDE的周长＝DE+DC+CE＝AD+DC+CE＝AC+CE＝4+2＝6．
故选：A．
11.（2023春•东西湖区期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所
组成的两个新月形，面积分别记作S 和S ．若S +S ＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（
1 2 1 2
）
A．12.5 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∵S +S ＝7，
1 2
∴ × ×（ ）2+ × ×（ ）2+ ×AC×BC﹣ × ×（ ）2＝7，
∴AC×πBC＝14， π π
∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝62+2×14＝64，
∴AC+BC＝8（负值舍去），
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+6＝14，
故选：C．
12．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，
且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝ ＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，
∵BD平分△ABC的周长，
∴AB+AD＝BC+CD＝6，
∴AD＝3，CD＝2，
过D作DE⊥BC于E，
∴AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ，
∴ ，∴DE＝ ，CE＝ ，
∴BE＝ ，
∴BD＝ ＝ ＝ ，
故选：C．
13．（2022秋•临猗县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝
DB＝10，△ABD的面积为40，则CD的长是（ ）
A．5 B． C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：∵△ABD的面积为40，AD＝10，
∴ ×10×BC＝40，解得BC＝8，
在Rt△BCD中，CD＝ ＝ ＝6，
故选：C．
14．（2023春•凉城县期末）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是
AC边上的中线，则△BCD的面积是（ ）
A．15cm2 B．30cm2 C．60cm2 D．65cm2
【答案】A【解答】解：由勾股定理得，AC＝ ＝12，
∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD＝6，
∴△BCD的面积＝ ×5×6＝15（cm2），
故选：A．
15．（2023秋•青岛期中）如图，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，斜边AB＝
4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案π】A π π π
【解答】解：根据题意知：AC2+BC2＝AB2＝16．
图中阴影部分的面积＝ ×（ AC）2+ ×（ BC）2+ ×（ AB）2
π π π
＝ （AC2+BC2+AB2）
π
＝ ×（16+16）
＝4 π．
故选π：A．
16．（2023秋•昌江区期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形
ABDE的面积为（ ）
A．18 B．36 C．65 D．72
【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ，
则正方形ABDE的面积为：（ ）2＝65．
故选：C．
17．（2023春•焦作期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5
和11，则c的面积为（ ）
A．6 B．5 C．11 D．16
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB+∠ECD＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°
∴∠ACB＝∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
∵ ，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC＝DE，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴b的面积＝a的面积+c的面积，
∴c的面积＝b的面积﹣a的面积＝11﹣5＝6．
故选：A．
18．（2023秋•昭通期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，AB＝20，CD是
AB边上的高，则CD的长是（ ）
A．4.8 B．7.2 C．8 D．9.6
【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴S△ABC ＝ AC•BC＝ AB•CD，
∴ ×12×16＝ ×20×CD，
解得：CD＝9.6，
故选：D．
19．（2023秋•河东区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是
AB边上的高，则AD的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝30°，
∵∠CDB＝90°，BC＝2，∠BCD＝30°，
∴ ，
∴AD＝AB﹣BD＝3，
故选：B．
20．（2023秋•彰武县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，ED是
AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连结AE，则△ABE的周长为 14
．【答案】14．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，
∴BC＝ ＝ ＝8，
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝6+8＝14，
故答案为：14．
21．（2023秋•凤翔区期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中
阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当 AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面
积为 2 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝10，
所以阴影部分的面积S＝ × ×32+ × ×42+ ×6×8﹣ • ×52＝24，
π π π
故答案为：24．
【题型3 等面积法求直角三角形斜边上的高】
22．（2023春•西城区校级期中）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上
的高为（ ）A． B． C．6 D．13
【答案】A
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
∴斜边为 ＝13，
∵三角形的面积＝ ×5×12＝ ×13h（h为斜边上的高），
∴h＝ ．
故选：A．
23．（2022秋•莲池区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为
D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∵CD⊥AB，
∴S ＝ AB•CD＝ AC•BC，
△ABC
∴CD＝ ＝ ＝2.4，
故选：A．
24．（2023春•代县月考）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则边
BC的长为（ ）
A．4 B．14 C．4或14 D．8或14
【答案】C
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
则BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
则CD＝9，
故BC的长为BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
则BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
则CD＝9，
故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．
综上可得BC的长为14或4．
故选：C．
25．（2022秋•榕城区期末）如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶
点均在正方形格点上，则BC边上的高是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A【解答】解：∵AB＝ ，
AC＝ ，
BC＝ ，
∴AB2+AC2＝BC2＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设BC边上的高为h，
则S ，
∴h＝ ＝ ，
即BC边上的高是 ，
故选：A．
26．（2023春•长沙期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为
AB边上的高．
（1）求斜边AB的长；
（2）求CD的长．
【答案】（1）10；
（2）4.8．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝10；
（2）∵S ＝ ×AC×BC＝ ×AB×CD，
△ABC
∴6×8＝10×CD，∴CD＝4.8．
27．（2023春•靖西市期中）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝8，BC＝6．
（1）求AB的长；
（2）求斜边上的高CD的长．
【答案】（1）10；
（2） ．
【解答】解：（1）由勾股定理得： ；
（2）Rt△ABC中，
∵CD为斜边AB上的高，
∴△ABC的面积＝ ，
∴AB×CD＝AC×BC，
∴ ．
28．（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝
10．
（1）若CD＝6，则AD＝ 8 ，BD＝ 1 5 ；
（2）若BC＝20，求CD的长．
【答案】（1）8，15；
（2）CD＝ ．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝17，AC＝10，CD＝6，
∴AD＝ ＝ ＝8，
∴BD＝ ＝ ＝15．
故答案为：8，15；
（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，
∵AC2﹣CD2＝AD2，AB2﹣BD2＝AD2，
∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，
∴102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，
解得x＝ ，
∴CD＝ ．
【题型4 作无理数的线段】
30．如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为﹣1，点D表示的数为
0，用圆规在数轴上截取AE＝AC，则点E所表示的数为（ ）
A．1 B．1﹣ C． ﹣1 D．
【答案】C
【解答】解：由题意得，AC＝ ＝ ，
∴AE＝AC＝ ，
∴点E表示的数是﹣1+ ＝ ﹣1，
故选：C．
31．如图所示，数轴上点A所表示的数为 ﹣ 1 ．【答案】 ﹣1．
【解答】解：由勾股定理，得图中直角三角形的斜边长为 ＝ ，
∴数轴上点A所表示的数为 ﹣1．
故答案为： ﹣1．
35．如图所示，点C表示的数是 ．
【答案】 ．
【解答】解：根据勾股定理得：AB＝ ，AD＝ ，
∴OC＝ ，
故答案为： ．
32．如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为 1，BA＝BC，写出数轴上点A所表示的数是
﹣ 1 ．
【答案】 ﹣1．
【解答】解：∵BC＝ ＝ ，则AB＝BC＝ ，
∵A在原点右侧．
则点A所表示的数是 ﹣1．
故答案为： ﹣1．
33．如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是 ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵OC＝3，BC＝1，
∴BO＝ ＝ ＝ ，
∵OA＝OB，
∴OA＝ ，
∴数轴上点A表示的数是﹣ ；
故答案为：﹣ ．
34．如图，在数轴上作出表示 的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：所画图形如下所示，其中点A即为所求；
．
【题型5 勾股定理的证明】35．（2023春•渝北区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，
不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+（b﹣a）2＝
a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+c2＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
C、梯形的面积为： （a+b）（a+b）＝ （a2+b2）+ab；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为： ab×2+ c2＝
ab+ c2，
∴ab+ c2＝ （a2+b2）+ab，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
36．（2021秋•海州区期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四
个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直
角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（
）
A．148 B．100 C．196 D．144
【答案】A
【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，
∵∠BCD＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，
∴BD＝25，
∴AD+BD＝12+25＝37，
∴这个风车的外围周长是37×4＝148．
故选：A．
37．（2022春•河东区期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古
代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．
如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的
周长为（ ）A．10+ B．10+ C．10+ D．24
【答案】A
【解答】解：根据题意得：c2＝a2+b2＝100，4× ab＝100﹣20＝80，即2ab＝80，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝100+80＝180，
∴每个直角三角形的周长为10+ ＝10+6 ，
故选：A．
38．（2023春•朝阳区校级期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个
小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），直角
三角形的面积为S ，小正方形的面积为S ，则用含S ，S 的代数式表示a2+b2正确的是
1 2 1 2
（ ）
A．4S+S B．4S﹣S C．4S D．4S+S
1 21 1 2 1 1 2
【答案】D
【解答】解：∵直角三角形的面积为S，小正方形的面积为S，
1 2
∴ ，（a﹣b）2＝S，
2
∴ab＝2S，a2﹣2ab+b2＝S，
1 2
∴ ，
∴a2+b2＝S+4S
2 1
故选：D．
39．（2023•攀枝花二模）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同
一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：由已知可得，
Rt△BAE≌Rt△EDC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴S ＝S +S +S ，
梯形ABCD △ABE △BEC △DEC
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴a2+b2＝c2．
40．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接
BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB
＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴∠BAC＝∠EDC，
∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴DF⊥AB．
（2）∵S +S ＝S ﹣S ，
△BCE △ACD △ABD △ABE
∴ a2+ b2＝ •c•DF﹣ •c•EF＝ •c•（DF﹣EF）＝ •c•DE＝ c2，
∴a2+b2＝c2．
42.方图”以验证勾股定理，后世也称“赵爽弦图”．实际上，赵爽弦图与完全平方公式
有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回
答以下问题：
（1）如图，正方形ABCD的面积为 （ a + b ） 2 ，正方形IJKL的面积为 （ a ﹣ b ） 2
；（用含a，b的式子表示）
（2）根据图中正方形ABCD的面积及正方形IJKL的面积的关系，可得（a+b）2，ab，
（a﹣b）2的等量关系为 （ a + b ） 2 ＝ 4 a b + （ a ﹣ b ） 2 ；
（3）请通过运算证明上述等量关系；
（4）记正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 IJKL 的面积分别为 S ，S ，S ，若
1 2 3
S+S+S＝30，直角三角形AEH的面积为 ，则求（a﹣b）2的值．
1 2 3
【答案】（1）（a+b）2；（a﹣b）2；
（2）（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；（3）见解析；
（4）（a﹣b）2的值为4．
【解答】解：（1）∵正方形 ABCD的边长为（a+b），正方形 IJKL的边长为（a﹣
b），
∴正方形ABCD的面积为（a+b）2，正方形IJKL的面积为（a﹣b）2；
故答案为：（a+b）2；（a﹣b）2；
（2）根据S ＝8S +S ，
正方形ABCD 直角三角形 正方形IJKL
可得 ，即（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；
（3）左边＝a2+2ab+b2，
右边＝4ab+a2﹣2ab+b2＝a2+2ab+b2，
∴左边＝右边，
∴（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2成立；
（4）正方形EFGH的面积为 ，
由题意得 ， ， ，
∵S+S+S＝30， ，即ab＝3，
1 2 3
∴（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝30，
解得a2+b2＝10，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝10﹣6＝4，
∴（a﹣b）2的值为4．
