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2024 高考物理二轮复习80 热点模型
最新高考题模拟题专项训练
模型13 竖直面内圆周运动的绳系小球模型
最新高考题
1．（2020 高考全国理综I）如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板
的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时
每根绳子平均承受的拉力约为
A．200 N
B．400 N
C．600 N
D．800 N
【参考答案】B
【命题意图】 本题考查竖直面内圆周运动及其相关知识点，考查的核心素养是运动和力的物理观念。
【解题思路】由于秋千的绳长远大于同学身高，可以把该同学看成是质点。当该同学荡到秋千支架的正下方
时，由牛顿第二定律，2F-mg=mv2/L，代入数据解得：F=410N，选项B 正确。
【易错警示】解答此题常见错误主要有：一是把两根绳误认为是一根绳，导致错选D；二是没有考虑重力，
导致错选A；三是数值计算错误，导致错选C。
2. （2017 全国II 卷·17）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速
度
从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距
离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】B
1
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【名师解析】设小物块运动到最高点的速度为
，半圆形光滑轨道半径为R，小物块由最低点运动到最
高点，由机械能守恒定律，
；小物块从最高点飞出做平抛运动，x=vtt，
2R=
gt2，联立解得，x=2
=4
.当R=
时，x 最大，选项B 正确。
3 （2016 全国理综甲）小球P 和Q 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P 球的质量大于Q 球的质量，悬挂P
球的绳比悬挂Q 球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹
的最低点，
A.P 球的速度一定大于Q 球的速度
B.P 球的动能一定小于Q 球的动能
C.P 球所受绳的拉力一定大于Q 球所受绳的拉力
D.P 球的向心加速度一定小于Q 球的向心加速度
【参考答案】C
【名师解析】
球由静止释放在轻绳的约束下沿圆弧运动，机械能守恒，由mgL=
mv2，解得v=
。显然，.P 球的速
度一定小于Q 球的速度，选项A 错误。由动能定理可知，重力做功mgL 等于小球动能的变化，即等于小球在
各自轨迹的最低点的动能。P 球的质量m 大于Q 球的质量，而悬挂P 球的轻绳长度L 小于悬挂Q 球的轻绳长
度，所以不能判断.P 球的动能与Q 球的动能关系，选项B 错误。在最低点，由牛顿第二定律，F-mg=m
，
解得F=3mg。P 球所受绳的拉力一定大于Q 球所受绳
的拉力，选项C 正确。小
2
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球的向心加速度a=
=2g，与小球质量和轻绳长度无关，所以P 球的向心加速度一定等于Q 球的向心加速度，
选项D 错误。
4.（2016 全国理综III 丙卷）如图，一固定容器的内壁是半径为R 的半球面；在半球面水平直径的一端有一质
量为m 的质点P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W。重力加速度大小为
g。设质点P 在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则
A.a= 2(mgR -W )
mR
B.a= 2mgR -W
mR
C. N = 3mgR -2W
R
D. N = 2(mgR -W )
R
【参考答案】AC
【名师解析】质点P 在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，由动能定理，mgR-W=
mv2，解得
v2=2gR-2W/m.。向心加速度的大小a=
=
,选项A 正确B 错误。质点P 在最低点时，受到容器
对它的支持力大小N，重力mg，由牛顿第二定律：N-mg=ma，解得： N = 3mgR -2W
R
，选项C 正确D 错
误。
考点：考查了动能定理，圆周运动
5. （2016 高考海南物理）如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m 的小球沿轨道做完整的圆周运动。
已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在高点时对轨道的压力大小为N2.重力加速度大小为g，则N1–
N2的值为
A.3mg B.4mg
C.5mg D.6mg
3
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【参考答案】D
【名师解析】由牛顿第三定律，小球在轨道最低点所受的支持力大小为N1，速度为v1，在最低点，N1-mg=m
；由牛顿第三定律，小球在轨道最高点所受的压力大小为N2，速度为v2，在最高点，N2+mg=m
；
对小球从最低点运动到最高点的过程，由机械能守恒定律，-mg·2r=
m v2
2-
m v1
2；联立解得：N1–
N2=6mg。选项D 正确。
6.（2016 全国理综甲）轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静
止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与物块P
接触但不连接。AB 是长度为5l 的水平轨道，B 端与半径为l 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 竖
直，如图所示。物块P 与AB 之间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后释放，
P 开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。
（1）若P 的质量为m，求P 到达B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB 上的位置与B 点间的距
离；
（2）若P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P 得质量的取值范围。
【参考答案】（1）
⑵
【名师解析】（1）依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l 时，质量为5m 的物体的动能为零。其重力势
能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧长度为l 时的弹性势能为
Ep=5mgl。 ①
设P 的质量为M，到达B 点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep=
MvB
2+μMg·4l ②
4
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联立①②式，取M=m 并代入题给数据解得 vB =
。 ③
若P 能沿圆轨道运动到D 点，其到达D 点时的向心力不能小于重力，即P 此时的速度大小v 应满足m
-
mg≥0. ④
设P 滑到D 点时的速度为vD，由机械能守恒定律，
mvB
2+=
mvD
2+mg·2l ⑤
联立③⑤解得vD =
。 ⑥
vD满足④式要求，故P 能够运动到D 点，并从D 点以速度vD水平射出。设P 落回轨道AB 所需的时间为t，由
运动学公式得 2l=
gt2，⑦
P 落回到AB 上的位置与B 之间的距离为 s=vDt，⑧
联立⑥⑦⑧解得 s=2
l。⑨
（2）为使P 能滑上圆轨道，它到达B 点时的速度不能小于零。由①②式可知
5mgl>μMg·4l.
要使P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有
MvB
2≤Mg·4l
联立①②解得
7。(2013 高考江苏物理第2 题) 如图所示，“旋转秋千装置中的两个座椅A、B 质量相等，通过
相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。 不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速
转动时，下列说法正确的是
（A）A 的速度比B 的大
（B）A 与B 的向心加速度大小相等
（C）悬挂A、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等
（D）悬挂A 的缆绳所受的拉力比悬挂B 的小
【参考答案】：D
【名师解析】：当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，二者的角速度ω 相等，由v=ωr 可知，
A 的速度比B 的小，选项A 错误。由a=ω2r 可知，选项B 错误，由于二者加速度不相等，悬挂
A、B 的缆绳与竖直方向的夹角不相等，选项C 错误。悬挂A 的缆绳所受的拉力比悬挂B 的小，
选项D 正确。
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最新模拟题
1. （2023 三明四校联考）. 用长L=0.6m 的绳一端系着装有m=0.5kg 水的小桶（小桶质量忽略不计），在竖
直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
。则（ ）
A. 最高点水不流出的最小速度为
B. 最高点水不流出的最小速度为
C. “水流星”在最高点时处于超重状态，在最低点时处于失重状态
D. 若过最高点时速度为
，此时水对桶底的压力等于2.5N
【参考答案】AD
【名师解析】
最高点水不流出，重力完全提供向心力
解得
故A 正确，B 错误；
“水流星”在最高点加速度竖直向下，故处于失重状态；“水流星”在最低点，加速度竖直向上，处于超重
状态，故C 错误；
在最高点
解得
，故D 正确。
2.（2023 齐鲁名校联考)游乐园里有一种叫“飞椅”的游乐项目，简化后的示意图如图所示。已知飞椅用钢绳
系着，钢绳上端的悬点固定在顶部水平转盘上的圆周上。转盘绕穿过其中心的竖直轴匀速转动。稳定后，每
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根钢绳（含飞椅及游客）与转轴在同一竖直平面内。图中P、Q 两位游客悬于同一个圆周上，P 所在钢绳的长
度大于Q 所在钢绳的长度，钢绳与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2。不计钢绳的重力。下列判断正确的是
A．P、Q 两个飞椅的线速度大小相同
B．无论两个游客的质量分别有多大，θ1一定大于θ2
C．如果两个游客的质量相同，则有θ1等于θ2
D．如果两个游客的质量相同，则Q 的向心力一定小于P 的向心力
【参考答案】：BD
【名师解析】：设钢绳延长线与转轴的交点，与游客所在水平面的高度为h （这是一个巧妙的参量，将
会使得推导大为简化——由圆锥摆而受到的启发），由mg tanθ=mω2htanθ ，所以
h= g
ω2 ，与游客的质
量无关，即hP=hQ （这是一个非常重要的结论）。而
h=Lcosθ+
r
tanθ ，其中r 为圆盘半径，半定量分析
可知，L 越大则θ 越大。则θ1一定大于θ2，选项B 正确，选项C 错误。由圆周运动的半径R=r+Lsinθ 可得，
Rp>RQ，根据v=ωR ，则vP>vQ ，选项A 错误。由向心力公式Fn=mω2 R 可知，Q 的向心力一定小于P
的向心力，选项D 正确。
【名师点评】（原图详见人教版高中物理必修2P16 中圆周运动一节的图5.4-1）。此题的命制别出心裁，
在推导的时候需要高超的数学技巧，需要把每一个物体的运动等效成一个圆锥摆来处理。另外，对于三角函
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数能够使用定性和半定量分析的就不必使用严密的数学分析。
3.（2023 湖南顶级名校质检） 如图所示，一质量为M 的人站在台秤上，手拿一根长为R 的细线一端，另一
端系一个质量为m 的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。若小球恰好能做完整的圆周运动，已知圆周上
b 为最高点，a、c 为圆心的等高点，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（ ）
A. 小球运动到最高点b 时，小球
速度为零
B. 小球运动到最高点b 时，台秤的示数最小，且为Mg
C. 小球在a、c 两个位置时，台秤的示数相同，且为Mg＋mg
D. 小球运动到最低点时台秤的示数为Mg＋6mg
【参考答案】D
【名师解析】
小球恰好能做完整的圆周运动，在最高点时
，得
，故A 错误；
小球运动到最高点时，细线中拉力为零，台秤的示数为Mg，但不是最小，小球从c 向b 运动的过程中细线上
有弹力，弹力对人有向上拉的效果，所以台秤的示数小于b 点时，故B 错误；小球在a、b、c 三个位置，小
球均处于完全失重状态，台秤的示数相同，且为Mg，故C 错误；小球从最高点运动到最低点，由机械能守
恒定律知
在最低点，由牛顿第二定律
联立解得小球运动到最低点时细线中拉力
小球运动到最低点时，台秤的示数最大且为
，故D 正确。
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4.(2022 山西大同一中模拟)如图所示,一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度Ω 转动,圆筒的半径r=1.5
m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止,小物体与圆筒间的动摩擦因数为√3
2
(设最大静摩擦力等于滑
动摩擦力),转动轴与水平面间的夹角为60°,重力加速度g 取10 m/s2,则Ω 的最小值是( )
A.1 rad/s
B.√30
3
rad/s
C.√10 rad/s
D.5 rad/s
【参考答案】.C
【名师解析】 若物块转到最高点时恰不下滑,则对物块由牛顿第二定律可知
FN+mgcos 60°=mω2r
Ff=μFN=mgsin 60°
解得ω=√10 rad/s,故选C。
5．如图，长均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A、B 两点，A、B
两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。今使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最
高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v 时，每根绳的拉力大小为
A．mg
B．
4
3 mg
C．3mg
D．2mg
【参考答案】A
9
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【名师解析】设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹
角为θ=30°，则有r=Lcosθ=
L。根据题述小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，有
mg=m
；小球在最高点速率为2v 时，设每根绳的拉力大小为F，则有2Fcosθ+mg=m
，联立解得：
F=mg，选项A 正确。
6．如图所示，轻绳的一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的小球，在最低点给小球一个初速度，小球恰
好能够在竖直平面内完成圆周运动，选项中给出了轻绳对小球拉力F 跟小球转过的角度θ(0°≤θ≤180°)的余
弦cos θ 关系的四幅图象，其中A 是一段直线，B 是一段余弦函数线，C、D 是一段抛物线，这四幅F－cos θ
图象正确的是( )
【参考答案】．A
【名师解析】从最低点到与竖直方向夹角θ 位置，根据机械能守恒得，mv＝mgL(1－cos θ)＋mv2，当小
球恰好通过最高点时，有mv＝mg·2L＋mv，mg＝，解得，v0＝，又F－mgcos θ＝，联立可得，F＝3mg＋
3mgcos θ，可见F 与cos θ 是一次函数关系，因此F－cos θ 图象是一条直线，故A 正确。
7.（2023 山东烟台重点高中期中）. 如图是马戏团上演的飞车节目，半径为R 的圆轨道．表演者骑着摩托车
在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量均为m，当乙以v1 =
的速度过轨道最高点B 时，甲
10
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以v2 =
3mgsin30
∘
−F
弹
3m
=
3mg
2
−
mg
2
3m
=
1
3
g的速度经过最低点A．忽略其他因素影响，求：
（1）乙在最高点B 时受轨道的弹力大小；
（2）甲在最低点A 时受轨道的弹力大小。
【参考答案】(1) mg (2) 7mg
【思路分析】在A、B 两点，均由重力和轨道对摩托车的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律分别
求出摩托车在最高点和最低点时轨道对车的压力．
【名师解析】
（1）乙在最高点的速度v1>
，故受轨道弹力方向向下
由牛顿第二定律得：FB+mg=
，
解得：FB=mg
（2）甲在最低点A 时，由牛顿第二定律得：FA-mg=
解得：FA=7mg
【点睛】本题主要考查了竖直方向的圆周运动，找出向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解．
8. （2023 山东烟台重点高中期中） 杂技运动员抓住长为
的绳子绕高为
的固定支柱旋转，
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支柱直径忽略不计，如图所示，已知
，且运动员在旋转过程中可视为匀速圆周运动。重力加速度
，杂技运动员可视为质点，手臂长度忽略不计，不计空气阻力，（
，
）。求：
(1)求杂技运动员在匀速旋转过程中速度大小v；
(2)某时刻运动员松手，求落地点到转轴下端点的距离？（结果保留两位有效数字）
【参考答案】(1)
；(2)
【名师解析】
(1)运动员的向心力为
运动半径为
满足
解得
(2)根据平抛运动规律
，
解得
落地点距离转轴的距离
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解得
9、（12 分）（2023 浙江名校联盟联考）如图所示，足够长的光滑水平桌面左端固定一立柱，质量为
m=0.1kg 的小球置于桌面上，它与立柱之间有一压缩的的轻弹簧，轻弹簧与立柱之间栓接与小球不栓接。某
时刻释放小球，它被弹出从桌面右端A 点飞出，恰好能没有碰撞地落到粗糙倾斜轨道的顶端B 点，并沿轨道
滑下。图中右端为固定在竖直面内半径R=2m 的圆弧轨道，水平轨道CD 将倾斜轨道与圆弧轨道连接在一起。
已知B 点与桌面间的竖直高度差h=0.45m，倾斜轨道BC 长为L=2.75m，倾角
，小球与倾斜轨道间的
动摩擦因数
；不计水平轨道与圆弧轨道的摩擦与小球经过C 点时的能量损失，取g=10m/s2，求：
（1）被释放前弹簧的弹性势能；
（2）小球第一次经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力的大小；
（3）为了让小球不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道BC，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？
【名师解析】
（1）A 到B 平抛运动：
，代入数据解得：
（1 分）
B 点：
（1 分）得：
（1 分）
被释放前弹簧的弹性势能：
（1 分）
（2）B 点：
（1 分）
B 到D 由动能定理可得：
（2 分）
代入数据解得：
（1 分）
D 点：设轨道对小球的支持力为F，则
，解得：
（1 分）
13
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根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为2.8N；
（3）为了让小物体不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道BC，小球在圆轨道上上滑的最大高度为圆弧轨道右
侧与其圆心等高的位置。
小球进入圆轨道后，由动能定理可得：
（1 分）
（1 分）
即小球上升高度为1.8m 时速度为零，即竖直圆轨道的半径应该满足：
（1 分）即可使让小球不离开
轨道，并且能够滑回倾斜轨道BC。
14
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15. （2023 辽宁大连金州高中三模）如图所示，水平面上的轻弹簧左端与固定的竖直挡板
相连，处于原长时右端位于B 点，B 点左侧光滑右侧粗糙，右侧C 点处有一足够长的斜面
与水平面平滑连接。斜面倾角为37º，斜面上有一半径为R=1m 的光滑半圆轨道与斜面相切
于D 点，半圆轨道的最高点为E，G 为半圆轨道的另一端点，LBC=2m，A、B、C、D、E、
G 均在同一竖直面内。使质量为m=0.5kg 的小物块P 挤压弹簧右端至A 点，然后由静止释
放，P 到达B 点时立即受到斜向右上方与水平方向夹角为37º、大小为F=5N 的恒力，一直
保持F 对物块P 的作用，P 恰好通过半圆轨道的最高点E。已知P 与水平面、斜面间的动
摩擦因数均为µ=0.5，取g=10m/s2，sin37º=0.6。求：
（1）P 运动到半圆轨道
D 点时对轨道的压力大小；
（2）弹簧的最大弹性势能；
（3）若其他条件不变，增大B、C 间的距离使P 过G 点后恰好能垂直落在斜面上，求P 在
斜面上的落点距D 点的距离。
【答案】（1）18N；（2）1J；（3）1m
【解析】
【详解】（1）设在半圆轨道的最高点E，由牛顿运动定律得
在D 点，由牛顿运动定律得
P 从D 点到E 点，由动能定理得
15
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解得
由牛顿第三定律得，P 运动到D 点时对轨道
压力大小为
。
（2）P 从C 点到D 点，由牛顿第二定律得
说明P 从C 点到D 点做匀速运动，有
由能量守恒定律得
解得
（3）P 在G 点脱离圆轨道做曲线运动，可把该运动分解为平行于斜面的匀减速直线运动和
垂直于斜面的初速度为零的匀加速直线运动
P 垂直落在斜面上，运动时间满足
平行于斜面方向上的速度减小到零，P 在斜面上的落点距D 的距离由逆向运动
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解得
14（15 分）（2023 年10 月宜荆荆随高三联考）如图所示，“蝴蝶”型轨道放置在水平面
上，该轨道由同一竖直面内四个光滑半圆形轨道
、
、
、
和粗糙的
水平直轨道FG 组成，轨道
、
的半径均为
，H、E 点与小圆弧圆心等高，
轨道
、
半径均为
，B、K 两端与水平地面相切。现将质量
的小滑块
从光滑水平地面上A 点以不同初速度发射出去，小滑块沿轨道上滑。已知小滑块与轨道FG
的动摩擦因数
，其他阻力均不计，小滑块可视为质点，重力加速度取
。
（1）若小滑块恰能沿轨道从A 点运动到K 点，求小滑块在
半圆轨道运动到D 点时对
轨道的弹力大小；
（2）若小滑块运动过程中恰好不脱离轨道，且最终能停在FG 轨道上，求小滑块从B 点开
始到停止运动所经过的路程（
取3.14，结果保留两位有效数字）。
14 答案：（1）
；（2）
解析：（1）若小滑块恰能沿轨道从A 点运动到K 点，在
圆轨道运动时，在J 点时，
有
……1 分
从D 点运动到J 点，有
……2 分
在
圆轨道运动时，在D 点，有
……1 分
根据牛顿第三定律，小滑块对轨道的弹力大小
……1 分
解得
. ……2 分
17
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（2）若小滑块最终能停在
轨道上
①有最小初速度时，在
圆轨道运动时在D 点，有
……1 分
从A 点运动到D 点，有
解得
……2 分
②有最大初速度时，在
圆轨道运动时到H 点时速度为0，从A 点运动到H 点，有
解得
……1 分
则初速度为
时，小滑块正好能过D 点，且到达H 点速度为零，设从H 点滑下再向右
滑动x 停止：
有：
，解得
……1 分
故总路程
……2 分
18
