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2024 高考物理二轮复习 80 热点模型
最新高考题模拟题专项训练
模型13 竖直面内圆周运动的绳系小球模型
最新高考题
1．（2020高考全国理综I）如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板
的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为 8 m/s，此时
每根绳子平均承受的拉力约为
A．200 N B．400 N C．600 N D．800 N
【参考答案】B
【命题意图】 本题考查竖直面内圆周运动及其相关知识点，考查的核心素养是运动和力的物理观念。
【解题思路】由于秋千的绳长远大于同学身高，可以把该同学看成是质点。当该同学荡到秋千支架的正下方
时，由牛顿第二定律，2F-mg=mv2/L，代入数据解得：F=410N，选项B正确。
【易错警示】解答此题常见错误主要有：一是把两根绳误认为是一根绳，导致错选 D；二是没有考虑重力，
导致错选A；三是数值计算错误，导致错选C。
2. （2017全国II卷·17）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速
度 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距
离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g）
A. B. C. D.
【参考答案】B【名师解析】设小物块运动到最高点的速度为 ，半圆形光滑轨道半径为R，小物块由最低点运动到最
高点，由机械能守恒定律， ；小物块从最高点飞出做平抛运动，x=vt，
t
2R= gt2，联立解得，x=2 =4 .当R= 时，x最大，选项B正确。
3 （2016全国理综甲）小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P
球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹
的最低点，
A.P球的速度一定大于Q球的速度
B.P球的动能一定小于Q球的动能
C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
【参考答案】C
【名师解析】
球由静止释放在轻绳的约束下沿圆弧运动，机械能守恒，由mgL= mv2，解得v= 。显然，.P球的速
度一定小于Q球的速度，选项A错误。由动能定理可知，重力做功mgL等于小球动能的变化，即等于小球在
各自轨迹的最低点的动能。P球的质量m大于Q球的质量，而悬挂P球的轻绳长度L小于悬挂Q球的轻绳长
度，所以不能判断.P球的动能与Q球的动能关系，选项B错误。在最低点，由牛顿第二定律，F-mg=m ，
解得F=3mg。P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳 的拉力，选项C正确。小球的向心加速度a= =2g，与小球质量和轻绳长度无关，所以P球的向心加速度一定等于Q球的向心加速度，
选项D错误。
4.（2016全国理综III丙卷）如图，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质
量为m的质点P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W。重力加速度大小为
g。设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则
2(mgR-W) 2mgR-W
A.a= B.a=
mR mR
3mgR-2W 2(mgR-W)
C. N= D. N=
R R
【参考答案】AC
【名师解析】质点P在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，由动能定理，mgR-W= mv2，解得
v2=2gR-2W/m.。向心加速度的大小a= = ,选项A正确B错误。质点P在最低点时，受到容器
3mgR-2W
对它的支持力大小N，重力mg，由牛顿第二定律：N-mg=ma，解得： N= ，选项C正确D错
R
误。
考点：考查了动能定理，圆周运动
5. （2016高考海南物理）如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。
已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N ，在高点时对轨道的压力大小为N .重力加速度大小为g，则N –
1 2 1
N 的值为
2
A.3mg B.4mg
C.5mg D.6mg【参考答案】D
【名师解析】由牛顿第三定律，小球在轨道最低点所受的支持力大小为N ，速度为v ，在最低点，N-mg=m
1 1 1
；由牛顿第三定律，小球在轨道最高点所受的压力大小为N ，速度为v，在最高点，N+mg=m ；
2 2 2
对小球从最低点运动到最高点的过程，由机械能守恒定律，-mg·2r= m v2- m v2；联立解得：N –
2 1 1
N =6mg。选项D正确。
2
6.（2016全国理综甲）轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为 5m的物体由静
止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P
接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖
直，如图所示。物块P与AB之间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后释放，
P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。
（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距
离；
（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P得质量的取值范围。
【参考答案】（1） ⑵
【名师解析】（1）依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零。其重力势
能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为
E=5mgl。 ①
p
设P的质量为M，到达B点时的速度大小为v ，由能量守恒定律得
B
E= Mv 2+μMg·4l ②
p B联立①②式，取M=m并代入题给数据解得 v = 。 ③
B
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足m -
mg≥0. ④
设P滑到D点时的速度为v ，由机械能守恒定律， mv 2+= mv 2+mg·2l ⑤
D B D
联立③⑤解得v = 。 ⑥
D
v 满足④式要求，故P能够运动到D点，并从D点以速度v 水平射出。设P落回轨道AB所需的时间为t，由
D D
运动学公式得 2l= gt2，⑦
P落回到AB上的位置与B之间的距离为 s=v t，⑧
D
联立⑥⑦⑧解得 s=2 l。⑨
（2）为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知
5mgl>μMg·4l.
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有
Mv 2≤Mg·4l
B
联立①②解得
7。(2013高考江苏物理第2题) 如图所示，“旋转秋千装置中的两个座椅A、B质量相等，通过
相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。 不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速
转动时，下列说法正确的是
（A）A的速度比B的大
（B）A与B的向心加速度大小相等
（C）悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
（D）悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
【参考答案】：D
【名师解析】：当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，二者的角速度 ω相等，由v=ωr可知，
A的速度比B的小，选项A错误。由a=ω2r可知，选项B错误，由于二者加速度不相等，悬挂
A、B的缆绳与竖直方向的夹角不相等，选项C错误。悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小，
选项D正确。最新模拟题
1. （2023三明四校联考）. 用长L=0.6m的绳一端系着装有m=0.5kg水的小桶（小桶质量忽略不计），在竖
直平面内做圆周运动，成为“水流星”。 。则（ ）
A. 最高点水不流出的最小速度为
B. 最高点水不流出的最小速度为
C. “水流星”在最高点时处于超重状态，在最低点时处于失重状态
D. 若过最高点时速度为 ，此时水对桶底的压力等于2.5N
【参考答案】AD
【名师解析】
最高点水不流出，重力完全提供向心力
解得
故A正确，B错误；
“水流星”在最高点加速度竖直向下，故处于失重状态；“水流星”在最低点，加速度竖直向上，处于超重
状态，故C错误；
在最高点
解得 ，故D正确。
2.（2023齐鲁名校联考)游乐园里有一种叫“飞椅”的游乐项目，简化后的示意图如图所示。已知飞椅用钢绳
系着，钢绳上端的悬点固定在顶部水平转盘上的圆周上。转盘绕穿过其中心的竖直轴匀速转动。稳定后，每根钢绳（含飞椅及游客）与转轴在同一竖直平面内。图中P、Q两位游客悬于同一个圆周上，P所在钢绳的长
θ θ
度大于Q所在钢绳的长度，钢绳与竖直方向的夹角分别为 1、 2。不计钢绳的重力。下列判断正确的是
A．P、Q两个飞椅的线速度大小相同
θ θ
B．无论两个游客的质量分别有多大， 1一定大于 2
θ θ
C．如果两个游客的质量相同，则有 1等于 2
D．如果两个游客的质量相同，则Q的向心力一定小于P的向心力
【参考答案】：BD
h
【名师解析】：设钢绳延长线与转轴的交点，与游客所在水平面的高度为 （这是一个巧妙的参量，将
g
h=
mgtanθ=mω2htanθ ω2
会使得推导大为简化——由圆锥摆而受到的启发），由 ，所以 ，与游客的质
r
h=Lcosθ+
h =h
tanθ
量无关，即 P Q（这是一个非常重要的结论）。而 ，其中r为圆盘半径，半定量分析
θ θ
可知，L越大则θ越大。则 1一定大于 2，选项B正确，选项C错误。由圆周运动的半径R=r+Lsinθ可得，
Rp>RQ，根据
v=ωR
，则
v
P
>v
Q，选项A错误。由向心力公式
F
n
=mω2R
可知，Q的向心力一定小于P
的向心力，选项D正确。
【名师点评】（原图详见人教版高中物理必修 2P16中圆周运动一节的图5.4-1）。此题的命制别出心裁，
在推导的时候需要高超的数学技巧，需要把每一个物体的运动等效成一个圆锥摆来处理。另外，对于三角函数能够使用定性和半定量分析的就不必使用严密的数学分析。
3.（2023湖南顶级名校质检） 如图所示，一质量为M的人站在台秤上，手拿一根长为R的细线一端，另一
端系一个质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。若小球恰好能做完整的圆周运动，已知圆周上
b为最高点，a、c为圆心的等高点，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（ ）
的
A. 小球运动到最高点b时，小球 速度为零
B. 小球运动到最高点b时，台秤的示数最小，且为Mg
C. 小球在a、c两个位置时，台秤的示数相同，且为Mg＋mg
D. 小球运动到最低点时台秤的示数为Mg＋6mg
【参考答案】D
【名师解析】
小球恰好能做完整的圆周运动，在最高点时 ，得 ，故A错误；
小球运动到最高点时，细线中拉力为零，台秤的示数为Mg，但不是最小，小球从c向b运动的过程中细线上
有弹力，弹力对人有向上拉的效果，所以台秤的示数小于b点时，故B错误；小球在a、b、c三个位置，小
球均处于完全失重状态，台秤的示数相同，且为Mg，故C错误；小球从最高点运动到最低点，由机械能守
恒定律知
在最低点，由牛顿第二定律
联立解得小球运动到最低点时细线中拉力
小球运动到最低点时，台秤的示数最大且为 ，故D正确。4.(2022山西大同一中模拟)如图所示,一倾斜的圆筒绕固定轴OO 以恒定的角速度Ω转动,圆筒的半径r=1.5
1
√3
m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止,小物体与圆筒间的动摩擦因数为 (设最大静摩擦力等于滑
2
动摩擦力),转动轴与水平面间的夹角为60°,重力加速度g取10 m/s2,则Ω的最小值是( )
√30
A.1 rad/s B. rad/s
3
C.√10 rad/s D.5 rad/s
【参考答案】.C
【名师解析】 若物块转到最高点时恰不下滑,则对物块由牛顿第二定律可知
F +mgcos 60°=mω2r
N
F=μF =mgsin 60°
f N
解得ω=√10 rad/s,故选C。
5．如图，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B
两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。今使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最
高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为
A．mg
4
3
B． mg
C．3mg
D．2mg
【参考答案】A【名师解析】设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹
角为θ=30°，则有r=Lcosθ= L。根据题述小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有
mg=m ；小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为F，则有2Fcosθ+mg=m ，联立解得：
F=mg，选项A正确。
6．如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，在最低点给小球一个初速度，小球恰
好能够在竖直平面内完成圆周运动，选项中给出了轻绳对小球拉力F跟小球转过的角度θ(0°≤θ≤180°)的余
弦cos θ关系的四幅图象，其中A是一段直线，B是一段余弦函数线，C、D是一段抛物线，这四幅F－cos θ
图象正确的是( )
【参考答案】．A
【名师解析】从最低点到与竖直方向夹角θ位置，根据机械能守恒得，mv＝mgL(1－cos θ)＋mv2，当小
球恰好通过最高点时，有mv＝mg·2L＋mv，mg＝，解得，v ＝，又F－mgcos θ＝，联立可得，F＝3mg＋
0
3mgcos θ，可见F与cos θ是一次函数关系，因此F－cos θ图象是一条直线，故A正确。
7.（2023山东烟台重点高中期中）. 如图是马戏团上演的飞车节目，半径为R的圆轨道．表演者骑着摩托车
在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量均为m，当乙以v = 的速度过轨道最高点B时，甲
13mgmg
3mgsin30∘−F 2 − 21
以v
2
=
3m
弹=
3m
=
3
g的速度经过最低点A．忽略其他因素影响，求：
（1）乙在最高点B时受轨道的弹力大小；
（2）甲在最低点A时受轨道的弹力大小。
【参考答案】(1) mg (2) 7mg
【思路分析】在A、B两点，均由重力和轨道对摩托车的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律分别
求出摩托车在最高点和最低点时轨道对车的压力．
【名师解析】
（1）乙在最高点的速度v> ，故受轨道弹力方向向下
1
由牛顿第二定律得：F +mg= ，
B
解得：F =mg
B
（2）甲在最低点A时，由牛顿第二定律得：F-mg=
A
解得：F=7mg
A
【点睛】本题主要考查了竖直方向的圆周运动，找出向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解．
8. （2023山东烟台重点高中期中） 杂技运动员抓住长为 的绳子绕高为 的固定支柱旋转，支柱直径忽略不计，如图所示，已知 ，且运动员在旋转过程中可视为匀速圆周运动。重力加速度
，杂技运动员可视为质点，手臂长度忽略不计，不计空气阻力，（ ，
）。求：
(1)求杂技运动员在匀速旋转过程中速度大小v；
(2)某时刻运动员松手，求落地点到转轴下端点的距离？（结果保留两位有效数字）
【参考答案】(1) ；(2)
【名师解析】
(1)运动员的向心力为
运动半径为
满足
解得
(2)根据平抛运动规律
，
解得
落地点距离转轴的距离解得
9、（12分）（2023浙江名校联盟联考）如图所示，足够长的光滑水平桌面左端固定一立柱，质量为
m=0.1kg的小球置于桌面上，它与立柱之间有一压缩的的轻弹簧，轻弹簧与立柱之间栓接与小球不栓接。某
时刻释放小球，它被弹出从桌面右端A点飞出，恰好能没有碰撞地落到粗糙倾斜轨道的顶端B点，并沿轨道
滑下。图中右端为固定在竖直面内半径R=2m的圆弧轨道，水平轨道CD将倾斜轨道与圆弧轨道连接在一起。
已知B点与桌面间的竖直高度差h=0.45m，倾斜轨道BC长为L=2.75m，倾角 ，小球与倾斜轨道间的
动摩擦因数 ；不计水平轨道与圆弧轨道的摩擦与小球经过C点时的能量损失，取g=10m/s2，求：
（1）被释放前弹簧的弹性势能；
（2）小球第一次经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力的大小；
（3）为了让小球不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道BC，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？
【名师解析】
（1）A到B平抛运动： ，代入数据解得： （1分）
B点： （1分）得： （1分）
被释放前弹簧的弹性势能： （1分）
（2）B点： （1分）
B到D由动能定理可得： （2分）
代入数据解得： （1分）
D点：设轨道对小球的支持力为F，则 ，解得： （1分）根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为2.8N；
（3）为了让小物体不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道BC，小球在圆轨道上上滑的最大高度为圆弧轨道右
侧与其圆心等高的位置。
小球进入圆轨道后，由动能定理可得： （1分） （1分）
即小球上升高度为1.8m时速度为零，即竖直圆轨道的半径应该满足： （1分）即可使让小球不离开
轨道，并且能够滑回倾斜轨道BC。15. （2023辽宁大连金州高中三模）如图所示，水平面上的轻弹簧左端与固定的竖直挡板
相连，处于原长时右端位于B点，B点左侧光滑右侧粗糙，右侧C点处有一足够长的斜面
与水平面平滑连接。斜面倾角为37º，斜面上有一半径为R=1m的光滑半圆轨道与斜面相切
于D点，半圆轨道的最高点为E，G为半圆轨道的另一端点，L =2m，A、B、C、D、E、
BC
G均在同一竖直面内。使质量为m=0.5kg的小物块P挤压弹簧右端至A点，然后由静止释
放，P到达B点时立即受到斜向右上方与水平方向夹角为37º、大小为F=5N的恒力，一直
保持F对物块P的作用，P恰好通过半圆轨道的最高点E。已知P与水平面、斜面间的动
摩擦因数均为µ=0.5，取g=10m/s2，sin37º=0.6。求：
的
（1）P运动到半圆轨道 D点时对轨道的压力大小；
（2）弹簧的最大弹性势能；
（3）若其他条件不变，增大B、C间的距离使P过G点后恰好能垂直落在斜面上，求P在
斜面上的落点距D点的距离。
【答案】（1）18N；（2）1J；（3）1m
【解析】
【详解】（1）设在半圆轨道的最高点E，由牛顿运动定律得
在D点，由牛顿运动定律得
P从D点到E点，由动能定理得解得
的
由牛顿第三定律得，P运动到D点时对轨道 压力大小为 。
（2）P从C点到D点，由牛顿第二定律得
说明P从C点到D点做匀速运动，有
由能量守恒定律得
解得
（3）P在G点脱离圆轨道做曲线运动，可把该运动分解为平行于斜面的匀减速直线运动和
垂直于斜面的初速度为零的匀加速直线运动
P垂直落在斜面上，运动时间满足
平行于斜面方向上的速度减小到零，P在斜面上的落点距D的距离由逆向运动解得
14（15分）（2023年10月宜荆荆随高三联考）如图所示，“蝴蝶”型轨道放置在水平面
上，该轨道由同一竖直面内四个光滑半圆形轨道 、 、 、 和粗糙的
水平直轨道FG组成，轨道 、 的半径均为 ，H、E点与小圆弧圆心等高，
轨道 、 半径均为 ，B、K两端与水平地面相切。现将质量 的小滑块
从光滑水平地面上A点以不同初速度发射出去，小滑块沿轨道上滑。已知小滑块与轨道FG
的动摩擦因数 ，其他阻力均不计，小滑块可视为质点，重力加速度取 。
（1）若小滑块恰能沿轨道从A点运动到K点，求小滑块在 半圆轨道运动到D点时对
轨道的弹力大小；
（2）若小滑块运动过程中恰好不脱离轨道，且最终能停在FG轨道上，求小滑块从B点开
始到停止运动所经过的路程（ 取3.14，结果保留两位有效数字）。
14答案：（1） ；（2）
解析：（1）若小滑块恰能沿轨道从A点运动到K点，在 圆轨道运动时，在J点时，
有 ……1分
从D点运动到J点，有 ……2分
在 圆轨道运动时，在D点，有 ……1分
根据牛顿第三定律，小滑块对轨道的弹力大小 ……1分
解得 . ……2分（2）若小滑块最终能停在 轨道上
①有最小初速度时，在 圆轨道运动时在D点，有 ……1分
从A点运动到D点，有 解得 ……2分
②有最大初速度时，在 圆轨道运动时到H点时速度为0，从A点运动到H点，有
解得 ……1分
则初速度为 时，小滑块正好能过D点，且到达H点速度为零，设从H点滑下再向右
滑动x停止：
有： ，解得 ……1分
故总路程 ……2分
