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大题保分练 4
1．(2022·邯郸模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求B；
(2)若a＝2，c＝1，________，求BD.
在①D为AC的中点；②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理得，
sin Bsin A＝sin A－sin Acos B.
因为sin A≠0，
所以sin B＝1－cos B，
所以sin B＋cos B＝2sin＝1，
即sin＝.
又B∈(0，π)，则B＋＝，
所以B＝.
(2)选择条件①：因为BD＝，
所以|BD|2＝(|BA|2＋2BA·BC＋|BC|2)
＝×＝，
所以|BD|＝，即BD＝.
选择条件②：
因为BD为∠ABC的角平分线，
所以S ＋S ＝S ，
△ABD △CBD △ABC
则c×BDsin ＋a×BDsin
＝a×csin ，
即×1×BDsin ＋×2×BDsin
＝×2×1×sin ，
解得BD＝.
2．(2022·长春模拟)为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱
袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民
中随机抽取了100名，统计出他们的竞赛成绩分布如下：
成绩X 人数
[40,50) 2
[50,60) a[60,70) 22
[70,80) b
[80,90) 28
[90,100] a
(1)求a，b的值，并补全频率分布直方图；
(2)估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表)；
(3)以频率估计概率，若P(X≥－s)∈(0.8,0.9]，社区获得“反诈先进社区”称号，若P(X≥－
s)∈(0.9,1]，社区获得“反诈先锋社区”称号，试判断该社区可获得哪种称号(s为竞赛成绩
的标准差)?
解 (1)由题可知，a＝0.004×10×100＝4，b＝100－(2＋4＋22＋28＋4)＝40，
所以这100名居民竞赛成绩在[70,80)内的频率/组距为÷10＝0.040，
补全频率分布直方图如图．
(2)估计该社区居民竞赛成绩的平均数
＝45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝75，
估计该社区居民竞赛成绩的方差
s2＝(45－75)2×＋(55－75)2×＋(65－75)2×＋(75－75)2×＋(85－75)2×＋(95－75)2×＝100.
(3)由(2)可得s＝＝10，
所以P(X≥－s)＝P(X≥65)＝1－P(X<65)＝1－(0.002×10＋0.004×10＋0.022×5)＝0.83，
因为0.83∈(0.8,0.9]，
所以该社区可获得“反诈先进社区”称号．
3.(2022·开封模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E分别为AC，PB的中点，且AD＝DB，
EC⊥平面ABC.(1)证明：AB⊥PC；
(2)若AC＝2BC＝2EC＝2，求△APC的周长．
(1)证明 ∵D为AC的中点，且AD＝DB，
∴∠ABC＝，即AB⊥BC.
∵EC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EC⊥AB.
∵BC∩EC＝C，BC，EC⊂平面EBC，
∴AB⊥平面EBC.
又∵PC⊂平面EBC，∴AB⊥PC.
(2)解 如图，延长BC至点F，使得BC＝CF，
连接PF，AF，
∵BE＝EP，CF＝BC，∴EC∥PF且EC＝PF，
∵EC＝1，BC＝，∴PF＝2，CF＝，
∵EC⊥平面ABC，∴PF⊥平面ABF，
∵CF⊂平面ABF，∴PF⊥CF，
在Rt△PCF中，PC＝＝＝，AB＝＝＝3，
在Rt△ABF中，
AF＝＝＝，
在Rt△APF中，
AP＝＝＝5，
∴△APC的周长为5＋＋2.
4．(2022·云南师大附中模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋2|x－3|.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤4的解集；
(2)若f(x)＋|x－a|≥1，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，不等式f(x)≤4可化为|x－2|＋2|x－3|≤4，
当x<2时，不等式可化为－3x＋8≤4，
解得x≥，∴≤x<2；
当2≤x≤3时，不等式可化为－x＋4≤4，解得x≥0，
∴2≤x≤3；
当x>3时，不等式可化为3x－8≤4，解得x≤4，
∴3
