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大题保分练 4
1．(2022·洛阳模拟)已知数列{a}的前n项和为S，且4a＝3S＋2.
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设b＝a＋log a，求数列{b}的前n项和T.
n n 2 n n n
解 (1)∵4a＝3S＋2，①
n n
∴当n＝1时，4a＝3a＋2，即a＝2，
1 1 1
当n≥2时，4a ＝3S ＋2.②
n－1 n－1
由①－②得4a－4a ＝3a，即a＝4a ，
n n－1 n n n－1
∴数列{a}是以2为首项，4为公比的等比数列．
n
∴a＝2×4n－1.
n
(2)由(1)知log a＝log (2×4n－1)＝log 22n－1＝2n－1，
2 n 2 2
∴b＝a＋log a＝2×4n－1＋2n－1，
n n 2 n
∴T＝＋＝＋n2.
n
2．(2022·湖北新高考协作体联考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，BD＝
CD＝.
(1)求sin∠CBD的值；
(2)若△ABD的面积为4，求AD的长．
解 (1)在△BCD中，由正弦定理知，
＝，
所以BD·sin∠CBD＝CD·sin∠BCD，
因为∠BCD＝135°，BD＝CD＝，
所以sin∠CBD＝.
(2)在△BCD中，∠BCD＝135°，则∠CBD为锐角，
因为sin∠CBD＝，
所以cos∠CBD＝，
在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，
则∠CBA＝45°，
所以sin∠ABD＝sin＝，
显然∠ABD为锐角，所以cos∠ABD＝，
因为S ＝AB·BD·sin∠ABD＝4，
△ABD
所以AB＝4，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD＝10，
所以AD＝.
3.(2022·南通模拟)如图，已知斜三棱柱ABC－ABC 中，底面ABC是等腰直角三角形，AA
1 1 1 1
＝AB＝BC＝4，∠AAB＝60°，cos∠BCC ＝，M，N分别是棱BC ，AB 的中点．
1 1 1 1 1 1
(1)证明：BN⊥平面ABC ；
1 1 1
(2)求直线AM与平面BBC C所成角的正弦值．
1 1
(1)证明 如图，连接MN，AB，BC ，∵四边形ABBA 为平行四边形，
1 1 1 1
又∠AAB＝60°，AA＝AB＝4，
1 1
∴△AAB为等边三角形，则△ABB为等边三角形，
1 1 1
∵N为AB 的中点，
1 1
∴BN⊥AB，BN＝2，
1 1
∵底面ABC是等腰直角三角形， AB＝BC＝4，
∴AC＝2，AC ＝AC＝2，
1 1
∵M，N分别是棱BC ，AB 的中点，
1 1 1 1
∴MN＝AC ＝，
1 1
∵CC ＝4，BC＝2，cos∠BCC ＝，
1 1
∴BC ＝
1
＝＝4，
∴△BCC 为等腰三角形，则△BBC 为等腰三角形，
1 1 1
又M是棱BC 的中点，
1 1
∴BM＝＝，
∴BM2＝BN2＋MN2，∴BN⊥MN，
又AB，MN⊂平面ABC ，AB∩MN＝N，
1 1 1 1 1 1 1
∴BN⊥平面ABC .
1 1 1(2)解 取AB的中点O，连接AO，则AO∥BN，
1 1
由(1)知AO⊥平面ABC，CO⊥AB，
1
如图，以点O为原点，OC，OB，OA 所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直
1
角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，
B(0,4,2)，C (2,2,2)，M(1,3,2)，
1 1
CB＝(－2,2,0)，BB1＝(0,2,2)，
AM＝(1,5,2)，
设平面BBC C的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1
则
∴
取x＝1，则y＝1，z＝－，
故n＝，
设直线AM与平面BBC C所成角为θ，
1 1
则sin θ＝|cos〈AM，n〉|＝
＝＝＝，
∴直线AM与平面BBC C所成角的正弦值为.
1 1
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(4,0)，短轴长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点T(0,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AT的中点为P，线段BT的中点为
Q，且|OP|＝|OQ|(O为坐标原点)，求所有满足条件的直线l的方程．
解 (1)由题意知2b＝4，c＝4，
则b＝2，a2＝b2＋c2＝20，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx＋1.
联立
消去y得(1＋5k2)x2＋10kx－15＝0，
则Δ＝400k2＋60>0.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2则x＋x＝－，
1 2
∵|OP|＝|OQ|，
∴2＋2＝2＋2，
即(x－x)(x＋x)
1 2 1 2
＝－k(x－x)[k(x＋x)＋4]．
1 2 1 2
∵x≠x，
1 2
∴x＋x＋k2(x＋x)＋4k＝0，
1 2 1 2
∴－－＋4k＝0，
解得k＝0，k＝，k＝－，
1 2 3
∴满足条件的直线l的方程为y＝1，y＝x＋1和y＝－x＋1.
