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大题保分练 3
1．(2022·邯郸模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求B；
(2)若a＝2，c＝1，________，求BD.
在①D为AC的中点；②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理得，
sin Bsin A＝sin A－sin Acos B.
因为sin A≠0，
所以sin B＝1－cos B，
所以sin B＋cos B＝2sin＝1，
即sin＝.
又B∈(0，π)，则B＋＝，
所以B＝.
(2)选择条件①：因为BD＝，
所以|BD|2＝(|BA|2＋2BA·BC＋|BC|2)
＝×＝，
所以|BD|＝，即BD＝.
选择条件②：
因为BD为∠ABC的角平分线，
所以S ＋S ＝S ，
△ABD △CBD △ABC
则c×BDsin ＋a×BDsin
＝a×csin ，
即×1×BDsin ＋×2×BDsin
＝×2×1×sin ，
解得BD＝.
2．(2022·长春模拟)为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱
袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民
中随机抽取了100名，统计出他们的竞赛成绩分布如下：
成绩X 人数
[40,50) 2
[50,60) a[60,70) 22
[70,80) b
[80,90) 28
[90,100] a
(1)求a，b的值，并补全频率分布直方图；
(2)估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表)；
(3)以频率估计概率，若P(X≥－s)∈(0.8,0.9]，社区获得“反诈先进社区”称号，若P(X≥－
s)∈(0.9,1]，社区获得“反诈先锋社区”称号，试判断该社区可获得哪种称号(s为竞赛成绩
的标准差)?
解 (1)由题可知，a＝0.004×10×100＝4，b＝100－(2＋4＋22＋28＋4)＝40，
所以这100名居民竞赛成绩在[70,80)内的频率/组距为÷10＝0.040，
补全频率分布直方图如图．
(2)估计该社区居民竞赛成绩的平均数
＝45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝75，
估计该社区居民竞赛成绩的方差
s2＝(45－75)2×＋(55－75)2×＋(65－75)2×＋(75－75)2×＋(85－75)2×＋(95－75)2×＝100.
(3)由(2)可得s＝＝10，
所以P(X≥－s)＝P(X≥65)＝1－P(X<65)＝1－(0.002×10＋0.004×10＋0.022×5)＝0.83，
因为0.83∈(0.8,0.9]，
所以该社区可获得“反诈先进社区”称号．
3.(2022·衡水中学模拟)如图所示的多面体是由三棱锥A－BDE与四棱锥D－BCFE组合而成
的，其中EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是边BC的中点．
(1)求证：BD⊥EG；
(2)求二面角G－DE－F的余弦值．
(1)证明 依题意，EF⊥平面AEB，
AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，
则有EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，即EB，EF，EA两两垂直，
以点E为坐标原点，射线EB，EF，EA分别为x，y，z轴的非负半轴建立如图所示的空间直
角坐标系，
因为AD∥EF∥BC，
则E(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，
则EG＝(2,2,0)，BD＝(－2,2,2)，
因此BD·EG＝－2×2＋2×2＝0，即BD⊥EG，
所以BD⊥EG.
(2)解 由(1)知，EB＝(2,0,0)是平面AEFD的一个法向量，
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
而ED＝(0,2,2)，EG＝(2,2,0)，
则
令x＝1，得n＝(1，－1,1)，
设二面角G－DE－F的平面角为θ，易知θ为锐角，
则cos θ＝|cos〈n，EB〉|＝＝＝，
所以二面角G－DE－F的余弦值是.
4．(2022·云南师大附中模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋2|x－3|.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤4的解集；
(2)若f(x)＋|x－a|≥1，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，不等式f(x)≤4可化为|x－2|＋2|x－3|≤4，
当x<2时，不等式可化为－3x＋8≤4，解得x≥，
∴≤x<2；
当2≤x≤3时，不等式可化为－x＋4≤4，解得x≥0，
∴2≤x≤3；
当x>3时，不等式可化为3x－8≤4，解得x≤4，
∴3
