文档内容
2024 年高考数学全真模拟卷 03（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
U=R A=¿ B={0,1,2,3} (∁ A)∩B=
U
A．[−1,2] B．{−1,0,1,2} C．{0,1,2} D．{−1,0,1,2,3}
【解题思路】根据一元二次不等式的解法求解集合A，然后利用补集和交集运算求解即可.
【解答过程】由x2−x−2>0得(x−2)(x+1)>0，解得x<−1或x>2，
所以 ，所以 ，故 .
A=(−∞,−1)∪(2,+∞) ∁ A=[−1,2] (∁ A)∩B={0,1,2}
U U
故选：C.
2．（5分）（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）若复数z=(2−ai)(i+1)的共轭复数z在复平面内
对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．(2,+∞) B．(−∞,−2) C．(−2,2) D．(0,2)
【解题思路】应用复数乘法化简，再由所在象限的复数特征列不等式组求参数范围.
【解答过程】由题设，可得z=2+a+(2−a)i，所以z=2+a+(a−2)i，对应的点位于第四象限，
所以¿.
故选：C.
3．（5分）（2023·陕西榆林·校考模拟预测）在△ABC中，点D满足⃗BD=2⃗DC，点E满足
1 1
⃗CE= ⃗CD+ ⃗CA，若⃗AC=x⃗BE+ y⃗BC，则x+ y=（ ）
2 21 1 1 1
A．− B．− C．− D．−
5 4 3 2
【解题思路】用⃗BA、⃗BC作为一组基底表示出⃗BE、⃗AC，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即
可.
1 1
【解答过程】因为点E满足⃗CE= ⃗CD+ ⃗CA，所以E为AD的中点，
2 2
1 1
所以⃗BE= ⃗BA+ ⃗BD，又⃗BD=2⃗DC，
2 2
2
所以⃗BD= ⃗BC，
3
1 1
所以⃗BE= ⃗BA+ ⃗BC，又⃗AC=⃗BC−⃗BA，
2 3
因为⃗AC=x⃗BE+ y⃗BC，所以⃗BC−⃗BA=x (1 ⃗BA+ 1 ⃗BC ) + y⃗BC，
2 3
即⃗BC−⃗BA= 1 x⃗BA+ (1 x+ y )⃗BC，
2 3
1
所以¿，解得¿，所以x+ y=− .
3
故选：C.
4．（5分）（2023·四川南充·统考模拟预测）下列函数是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A． f (x)=−x2 B． f (x)=x 1 2
C．f (x)=|x| D．f (x)=2x
【解题思路】A选项，函数不满足单调性；B选项，定义域不关于原点对称，B错误；C选项，满足函数
为偶函数且在(0,+∞)上单调递增；D选项，函数不满足为偶函数.
【解答过程】A选项，f (x)=−x2在(0,+∞)上单调递减，A错误；
B选项，
f (x)=x
1
2
的定义域为 [0,+∞) ，定义域不关于原点对称，不是偶函数，B错误；C选项，f (x)=|x|的定义域为R，又f (−x)=|−x|=|x|=f (x)，故f (x)=|x|为偶函数，
且x>0时，f (x)=|x|=x在(0,+∞)上单调递增，满足要求，C正确；
D选项，f (x)=2x的定义域为R，且f (−x)=2−x≠2x，故f (−x)≠f (x)，
f (x)=2x不是偶函数，D错误.
故选：C.
5．（5分）（2023·全国·模拟预测）某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同
学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为（ ）
3 1 2 3
A． B． C． D．
10 10 5 5
【解题思路】由排列与组合的相关计算公式运算即可求解.
【解答过程】先在5名同学中选出2名同学分配到一个社区，有 种分配方法，
C2
5
再将另外3人分配到3个社区且每个社区各1人，则共有 （种）分配方法，
C2A4=240
5 4
其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有 （种），
A4=24
4
24 1
则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为 = .
240 10
故选：B．
6．（5分）（2023·广东·校联考二模）已知 是双曲线 x2 y2 的左焦点， 为坐标原
F E: − =1(a>0,b>0) O
a2 b2
√7
点，过点F且斜率为 的直线与E的右支交于点M，⃗MN=3⃗NF，MF⊥ON，则E的离心率为（ ）
3
A．3 B．2 C．√3 D．√2
【解题思路】取 的中点为 ，连接 ， ,根据题意得到 ，求得 ，
MF P M F PF ON//PF |M F |=|FF |=2c
1 1 1 1 1
结合 √7，得到 |MF| 3，结合双曲线的定义，得到 ，即可求解.
tan∠MFF = cos∠MFF = = c=2a
1 3 1 2|FF | 4
1
【解答过程】如图所示，双曲线 x2 y2 的右焦点为 ， 的中点为 ，连接 ， ,
E: − =1 F MF P M F PF
a2 b2 1 1 1因为 ， 为 的中点，所以 ，则 ，可得 ，
⃗MN=3⃗NF O FF ON//PF MF⊥PF |M F |=|FF |=2c
1 1 1 1 1
又因为 √7，所以 |MF| 3，
tan∠MFF = cos∠MFF = =
1 3 1 2|FF | 4
1
c
则|MF|=3c，|MF|−|M F |=3c−2c=c=2a，可得e= =2，
1 a
所以E的离心率为2．
故选：B.
π 3 π π
7．（5分）（2023·广西·模拟预测）已知sin( a+ )= ，α∈ ( 0, ) ，则sin( α+ )=（ ）
3 5 2 12
√2 7√2 √2 7√2
A．− B．− C． D．
10 10 10 10
【解题思路】确定α+ π ∈ (π , 5π ) 得到cos( α+ π )=− 4 ，根据
3 3 6 3 5
sin( α+ π )=sin [( α+ π ) − π)] 展开计算得到答案.
12 3 4
【解答过程】α∈ ( 0, π ) ，故α+ π ∈ (π , 5π ) ，又sin( α+ π )= 3 < √3 ，
2 3 3 6 3 5 2
故α+ π ∈ (π , 5π ) ，cos( α+ π )=− 4 ，
3 2 6 3 5
sin( α+ π )=sin [( α+ π ) − π)] =sin( α+ π )cos π −cos( α+ π )sin π = 7√2 .
12 3 4 3 4 3 4 10
故选：D.
e2 e3
8．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知a= ，b=ee−1，c= ，则有（ ）
ln3 2ln2
A．a1，则a=f (3),b=f (e),c=f (4)，确定函数f (x)的单调性，通过单调性
lnx
可确定大小.
e3−1 ee−1 e4−1
【解答过程】把a，b，c变形得a= ，b= ，c= ，
ln3 lne ln4
ex−1
所以构造函数f (x)= ,x>1，则a=f (3),b=f (e),c=f (4).
lnx
ex−1lnx−
1
ex−1
ex−1(
lnx−
1)
，
x x
f′(x)= = ,x>1
(lnx) 2 (lnx) 2
1 1 1
令g(x)=lnx− ，则g′(x)= + >0在(1,+∞)上恒成立，
x x x2
1 1
所以g(x)在区间(1,+∞)上单调递增，因为g(e)=lne− =1− >0，
e e
所以f′(x)>0在[e,+∞)上恒成立，
ex−1
所以函数f (x)= 在[e,+∞)上单调递增，
lnx
所以f (e)0 |AF|=2m |A A |=2m |BB |=m
1 1
过点B作BH⊥A A ，垂足为H，
1
易得|AH|=m，|AB|=3m，所以|BH|=2√2m，
|AH| √2 √2
则tan∠HBA= = ，故k= ，
|BH| 4 4
√2
根据对称性得k还可以是− ，故选项D正确.
4
故选：BCD．
12．（5分）（2023·安徽·校联考模拟预测）若函数 ，既有极大值点又有极小值点，
f(x)=aex+be−x+cx
则（ ）
A．ac<0 B．bc<0 C．a(b+c)<0 D．c2+4ab>0
【解题思路】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.
ae2x+cex−b
【解答过程】由题知方程f′ (x)=aex−be−x+c= =0，
ex
ae2x+cex−b=0有两不等实根x ，x ，
1 2
令t=ex，t>0，则方程at2+ct−b=0有两个不等正实根t ，t ，
1 2
其中 ， ， ， ，
t =ex 1 t =ex 2 ¿ ¿
1 2
¿，故ACD正确，B错误.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2023·上海闵行·统考一模）已知 ，则 ．
(x−1) 4=a +a x+a x2+a x3+a x4 a = 6
0 1 2 3 4 2
【解题思路】直接利用二项式定理计算得到答案.【解答过程】 展开式的通项为 ，取 得到 .
(x−1) 4 T =Cr x4−r ⋅(−1) r x=2 a =C2 ⋅(−1) 2=6
r+1 4 2 4
故答案为：6.
14．（5分）（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若直线y=kx是曲线y=alnx的切线，也是曲线
y=ex的切线，则a= e2 ．
【解题思路】先根据y=kx与y=ex相切，确定k的值，再根据直线与y=alnx相切，确定a的值.
【解答过程】因为y=kx与y=ex相切.
y'=(ex) ' =ex ，设切点坐标为 (x ,ex 1) ，则切线方程为 y−ex 1=ex 1(x−x ) .
1 1
因为切线过原点，所以： 0−ex 1=ex 1(0−x ) ⇒ x =1 ，故切点为 (1,e) ，所以 k=e .
1 1
a a a
对函数y=alnx，y'=(alnx) '= ，由 =e ⇒ x= ，
x x e
a
根据y=ex得切点纵坐标为：e· =a，
e
a
根据y=alnx得切点纵坐标为：a·ln =a(lna−1)，
e
由a=a(lna−1)，又由题可知a≠0 ⇒ a=e2.
故答案为：e2
.
15．（5分）（2023·全国·模拟预测）设数列 的前n项和为 ，且 ．若 对
{a } S S +S =n2 a >a n∈N∗
n n n+1 n n+1 n
( 1 1)
恒成立，则a 的取值范围为 − , ．
1 4 4
【解题思路】由 与 的关系，可求得 ，进而求出 与 的值，当
a S S +S =(n−1) 2 (n≥2) a +a a +a
n n n n−1 n+2 n+1 n+1 n
n≥2时，a −a =2可得两个等差数列的通项公式，由相邻两项间的大小关系，即可求得a 的取值范围.
n+2 n 1
【解答过程】法一：因为 ，当 时， ，两式相减得
S +S =n2 n≥2 S +S =(n−1) 2
n+1 n n n−1
a +a =2n−1(n≥2)，则a +a =2n+1，两式相减得a −a =2(n≥2)．
n+1 n n+2 n+1 n+2 n
当n=1时，2a +a =1，则a =1−2a ；当n=2时，2a +2a +a =4，则a =2+2a ．
1 2 2 1 1 2 3 3 1
则a =1−2a +2(n−1)=2n−2a −1,a =a +2(n−1)=2n+2a ．
2n 1 1 2n+1 3 1
1 1
要使a >a 对n∈N∗恒成立，则¿即¿解得− a 对n∈N∗恒成立，只需¿而a =1−2a ,a =2+2a ,a =3−2a ，
n+1 n 2 1 3 1 4 1
1 1
则¿解得− 0,设数列{b }满足b = ,求{b }的前2023项和T ．
n n n log a ⋅log a n 2023
2 n 2 n+1
【解题思路】(1)设数列 的公比为 ,根据题意得 求得公比 ,即可得通项公式 .
{a } q(q≠0) 2a =6a +a , q a
n 4 2 3 n(2)根据题意得 代入 并化简,再用裂项相消法求前2023项和即可.
a =2n, b
n n
【解答过程】（1）设数列 的公比为 ,则
{a } q(q≠0) a =2qn−1.
n n
3
∵ a 是6a 和a 的等差中项,∴2a =6a +a ,即2×2q3=6×2q+2q2,解得q=2或q=− 或q=0（舍
4 2 3 4 2 3 2
去）
当 时,
∴ q=2 a =2×2n−1=2n.
n
3 ( 3) n−1
当q=− 时,a =2× − .
2 n 2
（2） ,由(1)知 1 1 1 1
∵ q>0 a =2n, ∴b = = = − .
n n log 2n ⋅log 2n+1 n(n+1) n n+1
2 2
( 1) (1 1) (1 1) (1 1 ) 1 n
∴T = 1− + − + − +⋯+ − =1− = ,
n 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1
2023
∴T = ,
2023 2024
2023
故{b }的前2023项和T 为 .
n 2023 2024
19．（12分）（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）某地区教育局数学教研室为了了解本区高三学生一周用
于数学学习时间的分布情况，做了全区8000名高三学生的问卷调查，现抽取其中部分问卷进行分析（问卷
中满时长为12小时），将调查所得学习时间分成(0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]6组，并绘
制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
ξ N(μ,σ2) P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827
P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973．(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区高三学生数学学习时间 近似服从正态分布 ，试估计该地区高
ξ N(6.52,1.482)
三学生数学学习时间在(8,9.48]内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在[6,8)，[8,10)内的学生随机抽取8人，并从这8人中再随机
抽取3人作进一步分析，设3人中学习时间在[8,10)内的人数为变量X，求X的期望．
【解题思路】（1）由概率之和为1计算即可得；
（2）根据正态分布的性质计算即可得；
（3）结合分层抽样的性质与期望计算公式计算即可得.
【解答过程】（1）由题意得2×(0.02+0.03+a+0.18+0.06+0.5)=1，解得a=0.16；
1
（2）P(8<ξ≤9.48)=P(μ+σ<ξ≤μ+2σ)= P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)−
2
1 1
P(μ−σ<ξ≤μ+σ)= ×(0.9545−0.6827)=0.1359.
2 2
则8000×0.1359=1087.2≈1087，
所以估计该地区高三学生数学学习时间在(8，9.48]内的人数约为1087人；
（3）[6，8)，[8，10)对应的频率比为0.36:0.12，即为3∶1，
所以抽取的8人中学习时间在[6，8)，[8,10)内的人数分别为6人，2人，
设从这8人中抽取的3人学习时间在[8,10)内的人数为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)= C 6 3 = 20 = 5 ，
C3 56 14
8P(X=1)=
C1
2
C
6
2
=
30
=
15，
C3 56 28
8
P(X=2)= C 2 2C1 6 = 6 = 3 ，
C3 56 28
8
5 15 3 21
所以E(X)=0× +1× +2× = =0.75.
14 28 28 28
20．（12分）（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在几何体ABCDE中，CA=CB,CD⊥平面
ABC,BE∥CD,BE=2CD.
(1)求证：平面ADE⊥平面ABE；
2√7
(2)若CA=AB,BE=3,AB=4，在棱AC上是否存在一点F，使得EF与平面ACD所成角的正弦值为 ？
7
AF
若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
AC
【解题思路】（1）取AB的中点O，连接CO，取AE的中点M，连接OM,DM，通过证明DM⊥平面
ABE可得平面ADE⊥平面ABE；
（2）以O为坐标原点，OB,OC,OM所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设
⃗AF=λ⃗AC，利用向量法求出EF与平面ACD所成角的正弦值，然后解方程可得答案.
【解答过程】（1）因为CD⊥平面ABC，且BE∥CD，
所以BE⊥平面ABC，
取AB的中点O，连接CO，则CO⊂平面ABC，所以BE⊥CO，
又CA=CB，所以CO⊥AB，
1
取AE的中点M，连接OM,DM，则OM∥BE，且OM= BE，
2
1
又BE∥CD,CD= BE，所以CD∥OM，且CD=OM，
2
所以四边形OCDM为平行四边形，所以DM∥CO，
所以DM⊥BE,DM⊥AB，又AB,BE⊂平面ABE,AB∩BE=B，所以DM⊥平面ABE，
因为DM⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面ABE；
（2）由（1）知OC,OB,OM两两垂直，以O为坐标原点，OB,OC,OM所在的直线分别为x轴，y轴，z
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
( 3)
则A(−2,0,0),C(0,2√3,0),D 0,2√3, ,E(2,0,3)，
2
所以⃗AC=(2,2√3,0),⃗CD= ( 0,0, 3) ,⃗AE=(4,0,3)，
2
设平面ACD的一个法向量⃗n=(x,y,z)，
则 即 取 ，可得 .
¿ ¿ y=1 ⃗n=(−√3,1,0)
设 ，所以 ，
⃗AF=λ⃗AC=(2λ,2√3λ,0) ⃗EF=⃗AF−⃗AE=(2λ−4,2√3λ,−3)
记EF与平面ACD所成的角为θ，
|⃗n⋅⃗EF| 4√3 2√7
所以sinθ=|cos⟨⃗n,⃗EF⟩|= = = ，
|⃗n|⋅|⃗EF| 2×√ (2λ−4) 2+(2√3λ) 2+(−3) 2 7
1 AF 1
解得λ= ，故F为AC的中点，即 = .
2 AC 2
2√7 AF 1
所以在棱AC上存在点F，使得EF与平面ACD所成角的正弦值为 ，且 = .
7 AC 2
21．（12分）（2023·全国·模拟预测）如图，已知 分别为椭圆C：x2 y2 的左、右焦
F ,F + =1(a>b>0)
1 2 a2 b2
点，P为椭圆C上一点，若 ， .
|⃗PF +⃗PF |=|⃗PF −⃗PF |=4 S =2
1 2 1 2 △PF 1 F 2(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P坐标为 ，设不过点P的直线 与椭圆C交于A，B两点，A关于原点的对称点为 ，记直线
(√3,1) l A′
1
l，PB，PA′的斜率分别为k，k ，k ，若k ⋅k = ，求证：直线l的斜率k为定值.
1 2 1 2 3
【解题思路】（1）将 两边平方可得 为直角三角形，然后根据直角
|⃗PF +⃗PF |=|⃗PF −⃗PF | △PF F
1 2 1 2 1 2
三角形的面积及勾股定理计算可得a,b,c的值，进而可得椭圆C的标准方程；
1
（2）设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，通过计算k ⋅k 及k ⋅k = 可得到k +k =0，
PA PA′ 1 2 3 PA PB
结合韦达定理计算可得斜率k的值.
【解答过程】（1）由 两边平方得 ，
|⃗PF +⃗PF |=|⃗PF −⃗PF | ⃗PF ⋅⃗PF =0
1 2 1 2 1 2
所以 .
⃗PF ⊥⃗PF
1 2
因为 ，所以 ，即 .
|⃗PF −⃗PF |=|⃗F F |=4 2c=4 c=2
1 2 2 1
1
由S =2得 |PF |⋅|PF |=2，即|PF |⋅|PF |=4
△PF 1 F 2 2 1 2 1 2
又 |F F | 2=|PF | 2+|PF | 2=(|PF |+|PF |) 2 −2|PF |⋅|PF |=16 ，
1 2 1 2 1 2 1 2
即 ，所以 ，所以 ，
(2a) 2−8=16 a2=6 b2=a2−c2=2
x2 y2
所以椭圆C的标准方程为 + =1；
6 2
x2 y2
（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入 + =1得(1+3k2)x2+6kmx+3m2−6=0，
6 2
则 ，
Δ=36k2m2−4(1+3k2)(3m2−6)=12(6k2−m2+2)>0设 ，则 ，
A(x ,y ),B(x ,y ) A′ (−x ,−y )
1 1 2 2 1 1
(
x2
)
6km 3m2−6 2 1− 1 −1
于是 x +x =− ,x x =− . y −1 y +1 y2−1 6 1 ，
1 2 1+3k2 1 2 1+3k2 k ⋅k = 1 ⋅ 1 = 1 = =−
PA PA′ x −√3 x +√3 x2−3 x2−3 3
1 1 1 1
又 1，所以 ，即 ，即 y −1 y −1 ，
k ⋅k = k =−k k +k =0 1 + 2 =0
1 2 3 PA 1 PA PB x −√3 x −√3
1 2
即 ，
(y −1)(x −√3)+(y −1)(x −√3)=0
1 2 2 1
所以 ，
(kx +m−1)(x −√3)+(kx +m−1)(x −√3)=0
1 2 2 1
.
2kx x +(m−1−√3k)(x +x )−2√3(m−1)=0
1 2 1 2
将 6km 3m2−6代入整理得 ，
x +x =− ,x x =− 3k2−2√3k+1+√3mk−m=0
1 2 1+3k2 1 2 1+3k2
即 ，
(√3k−1)(√3k−1+m)=0
所以√3k−1+m=0或√3k−1=0
当 ，即 时，直线 的方程为 ，则直线 过点
√3k−1+m=0 m=1−√3k l y=kx+1−√3k=k(x−√3)+1 l
，舍去，
P(√3,1)
√3
所以√3k−1=0，即k= .
3
22．（12分）（2023·广东东莞·东莞市东华高级中学校考一模）设a，b为函数f (x)=x⋅ex−m（m<0）
的两个零点．1
(1)若当x<0时，不等式x⋅ex> 恒成立，求实数m的取值范围；
x
(2)证明：ea+eb<1．
【解题思路】（1）求出定义域，求导，得到f (x)的单调性和极值情况，根据函数零点个数，得到
1 1 ( 1)
f (x) <0，求出m>− ，结合题目条件，得到当− 0，根据零点存在性定理得到
min e e m
f (x)在(−∞，−1)内存在唯一零点，同理得到f(x)在(−1,0)内存在唯一零点，从而求出答案；
b b lnt tlnt
（2）设a<−10，
故f (x)在(−∞,−1)内单调递减，在(−1,+∞)单调递增，
1
故要使f (x)有两个零点，则需f (x) =f (−1)=−e−1−m<0，故m>− ，
min e
1
由题目条件m<0，可得− m−m=0 ，又1 <−e<−1 ，
e m m m
故f (x)在(−∞，−1)内存在唯一零点，
又f (0)=−m>0，故f(x)在(−1,0)内存在唯一零点，
( 1 )
则f (x)在R上存在两个零点，故满足题意的实数m的取值范围为 − ,0 ；
e
b
（2）证明：由（1）可设a<−10，
故ℎ(u)在(0,1)内单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以ℎ(u)≥ℎ(1)=0，
1 1 1
所以u−1−lnu≥0，令u= 得 −1−ln ≥0，
x x x
1 1
1− +ln
故
g′(x)=
x x
≤0
，g(x)在定义域内单调递减，
(x−1) 2
ln(t+1) lnt tlnt tlnt
故g(t+1)
