专练15 “15~17”解答题
15.(13 分)在△ABC 中,bsin A＝acos(B−π
6).
(1)求B;
(2)若c＝5,b＝7,求边a 以及△ABC 的面积.
解 (1)由正弦定理得bsin A＝asin B,
又bsin A＝acos(B−π
6),
所以asin B＝acos(B−π
6),
即sin B＝cos(B−π
6)
＝cos Bcosπ
6 ＋sin Bsinπ
6 ,
sin B＝√3
2 cos B＋1
2sin B,
1
2sin B＝√3
2 cos B,得tan B＝√3,
因为0<B<π,所以B＝π
3 .
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B,
得49＝a2＋25－2×5a×cosπ
3 ,
即a2－5a－24＝0,
解得a＝8 或a＝－3(舍),
所以S△ABC＝1
2acsin B＝1
2×8×5×√3
2 ＝10√3.
16.(15 分)已知函数f(x)＝ln x＋sin x.
(1)求函数f(x)在区间[1,π]上的最小值;
(2)证明:函数f(x)只有一个零点.
(1)解 函数f(x)＝ln x＋sin x 的定义域为(0,＋∞),f'(x)＝1
x ＋cos x,
令g(x)＝f'(x)＝1
x ＋cos x,
则g'(x)＝－1
x
2－sin x,
当x∈[1,π]时,g'(x)<0,所以g(x)在[1,π]上单调递减,
且g(1)＝1＋cos 1>0,
g(π)＝1
π ＋cos π＝1
π －1<0,
由零点存在定理可知,g(x)在[1,π]上存在唯一的零点a,
使g(a)＝f'(a)＝0,
又当x∈[1,a)时,g(x)＝f'(x)>0,
当x∈(a,π]时,g(x)＝f'(x)<0,
所以函数f(x)在[1,a)上单调递增,在(a,π]上单调递减,
又因为f(1)＝ln 1＋sin 1＝sin 1<sinπ
3 ＝√3
2 ,
f(π)＝ln π＋sin π＝ln π>ln e＝1,所以函数f(x)在区间[1,π]上的最小值为f(1)＝sin 1.
(2)证明 因为f(x)＝ln x＋sin x,x∈(0,＋∞),
若0<x<1,f'(x)＝1
x ＋cos x>0,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,
又f(1)＝sin 1>0,f(
1
e)＝－1＋sin1
e<0,
由零点存在定理可知,f(x)在(0,1)上存在唯一的零点;
若1≤x≤π,则ln x≥0,sin x≥0,则f(x)>0(等号取不到),
即f(x)在[1,π]上没有零点;
若x>π,因为ln x>ln π>1,－1≤sin x≤1,
所以f(x)>0,
即f(x)在(π,＋∞)上没有零点;
综上,函数f(x)在(0,＋∞)只有一个零点.
17.(15 分)已知抛物线y2＝2px(p>0),过焦点F 的直线分别与抛物线交于A,B 两点(A 在B 的上方)将
xOy 平面沿x 轴折叠,即平面AOF 绕x 轴折叠,折叠过程中,A,B,O,F 点组成的四面体体积最大为2
3.
(1)求抛物线方程;
(2)当A,B,O,F 点组成的四面体体积最大时,求线段AB 折叠前与折叠后长度之比的最大值,并求出
此时点A,B 的坐标.
解 (1)记直线AB 为lAB,
设lAB∶x＝my＋p
2 ,
联立{
x＝my ＋p
2 ,
y
2＝2 px ,
得y2－2pmy－p2＝0,
记两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
那么有|y1·y2|＝p2,
由于A,B,O,F 组成的四面体体积最大为2
3,
当平面OAF⊥平面OBF 时,体积最大,
则Vmax＝1
6·|OF|·|y1||y2|
＝1
6·|OF|·|y1·y2|＝2
3,
即1
6· p
2 ·p2＝2
3,解得p＝2,
则抛物线方程为y2＝4x.
(2)联立{
x＝my ＋1,
y
2＝4 x , 得y2－4my－4＝0,
记两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1＋y2＝4m,y1·y2＝－4,
当平面OAF⊥平面OBF 时,体积最大,
过A 作AH⊥OF,连接BH,所以∠AHB＝90°,
过B 作BE⊥OF,则HE＝|
y1
2−y2
2
4 |,AH＝y1,BH＝√
y2
2＋(
y1
2−y2
2
4 )
2
所以AB＝√
y1
2＋y2
2＋(
y1
2−y2
2
4 )
2
,
翻折前AF＋FB＝x1＋x2＋2＝y1
2＋y2
2
4
＋2,
令y1
2＋y2
2＝t,又|y1y2|＝4,
则AB＝√t ＋t
2−64
16
＝√t ＋t
2
16 −4
所以AF ＋FB
AB
＝
√
(
t
4 ＋2)
2
t
2
16 ＋t −4
＝
√
t
2
16 ＋t ＋4
t
2
16 ＋t −4
＝
√
1＋
8
t
2
16 ＋t −4
,
由于t＝y1
2＋y2
2＝16m2＋8≥8,
所以t
2
16＋t－4≥8,
所以AF ＋FB
AB
≤√1＋8
8 ＝√2,
当且仅当m＝0 时,等号成立,此时A(1,2),B(1,－2)
