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1.2 常用的逻辑用语（精练题组版）
题组一 充分、必要条件的判断
1．（2025·辽宁·一模）“
是
”
“
的（
”
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
或
，
或
，但
或
，
故“
是
”
“
的充分而不必要条件，
”
A 正确，BCD 错误.
故选：A
2．（2025·四川达州·模拟预测）设
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若
，则
，可得
，所以
，必要性成立；
若
，满足
，而
，充分性不成立；
所以“
是
”
“
的必要不充分条件
”
.
故选：B.
3．（2025·浙江嘉兴·三模）“
是
圆
”
“
不经过第三象限
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】圆
整理可得
，
可知圆心为
，半径
，且
，
若圆
不经过第三象限，
等价于原点
不在圆
内，则
，可得
，
且
是
的真子集，
所以“
是
圆
”
“
不经过第三象限
的必要不充分条件
”
.
故选：B.
4．（24-25 高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知平面向量
，
，则“
与
的夹角为钝角
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“
且
，即
”
“
且
，是
”
“
的充分不必要条件，
”
故选:A．
5．（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数
，则“
是
函数
”
“
的是奇函
数
的（
”
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由
为奇函数，
可得：
，即
，
即
恒成立，
即
恒成立，
即
恒成立，
解得
，
所以
是函数
为奇函数的充分不必要条件.
故选：A
6．（2025·重庆·二模）已知双曲线
，则“
的渐近线互相垂直
是
”
“
的离心率等
于
的（
”
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
的渐近线方程为
，
当
的渐近线互相垂直时，则
，故
，因此离心率为
,
故“
的渐近线互相垂直
是
”
“
的离心率等于
的充要条件，
”
故选：A
7．（2025·福建漳州·一模）锐角
的内角
的对边分别为
，则“
是
”
“
的
”
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为
是锐角三角形，所以
，
若
，则
，即
，
又
在
上单调递增，所以
成立.
若
，且
，则
，所以
成立.
所以“
是
”
“
的充要条件
”
.
故选：C.
8．（2025·上海杨浦·二模）
中，“
是
”
“
的（
”
）条件.
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分也非必要
【答案】C
【解析】在
中，令内角
所对的边分别为
，
由正弦定理得
，
所以
是
”
“
的充要条件
”
.
故选：C
9.（2025·北京东城·一模）已知
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由
，则必有
，
由
，则
，可得
，
又
，根据基本不等式有
，
若
且
，则有
，即
是
的充分条件，
若
，则
，此时满足
，但
不成立，
所以
是
的非必要条件，
综上，“
是
”
“
的充分不必要条件
”
.
故选：A
10．（2025·福建福州·三模）已知数列
是首项和公比均大于0 的无穷等比数列，设甲：
为递增数列；
乙：存在正整数
，当
时，
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】若
为递增数列，则
，即
，即
，则公比
，
为指数型
递增数列，易得存在正整数
，当
时，
.充分性成立；
不妨设
，此时
不是递增数列，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选：A.
11．（2025·福建厦门·三模）已知数列
是首项和公比均大于0 的无穷等比数列，设甲：
为递增数列；
乙：存在正整数
，当
时，
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】设无穷等比数列
的公比为
，依题意，
，
若
为递增数列，则
为指数型递增数列，
必存在正整数
，当
时，
，充分性成立；
不妨设
，此时
不是递增数列，
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选：A
12．（2025·河南新乡·二模）已知
，
都是非零向量，定义新运算
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若
，则
，则
或
.
当
时，
未必成立；
当
时，
.
故“
是
”
“
的必要不充分条件
”
.
故选：B
题组二 充分、必要条件的选择
1．（2025 辽宁·期中）使
成立的一个充分但不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解不等式
，则
，即
，
取
，
，
则集合
是集合
的真子集，
即使
成立的一个充分但不必要条件是
，
故选B.
2.（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）已知集合
，集合
，能使
成立的充分不必要条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】
当且仅当
是
的子集，当且仅当
，即
，
对比选项可知使得
成立的充分不必要条件有
，
.
故选：CD.
3．（24-25 高三上·山东·阶段练习）“
的一个充分不必要条件是（
”
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】】
，而函数
在
上单调递增，
当
时，
，因此
，解得
，
选项中只有
是
的真子集，
所以“
的一个充分不必要条件是
”
.
故选：D
4．（2025·重庆·一模）已知
，则使
成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，令
，显然有
，但
，A 不是；
对于B，当
，
时，
，B 不是；
对于C，
，显然有
，但
，C 不是；
对于D，当
，则
，即
，
反过来，令
，不等式
成立，而
， D 是.
故选：D
5．（24-25 高三上·贵州·阶段练习）下列四个条件中，使
成立的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，由
，得
，
反之，当
时，不能推出
，
故
是
成立的充分不必要条件，故A 错误；
对于B，当
时，
不成立，故
不是
成立的充分条件，
反之，当
时，
成立，故
是
成立的必要不充分条件，故B 错误；
对于C，当
时，
成立，但
不成立，所以
是
成立的不充分条件，
反之
，满足
成立，但
不成立，所以
是
成立的不必要条件，
所以
是
的既不充分也不必要条件，故C 错误；
对于D，由
在
上单调递增，可得
是
的充要条件，故D 正确.
故选：D．
6．（2025·陕西）直线
与函数
的图象有两个公共点的充要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知直线
定点
，函数
的图象是以
为圆心，1 为半径的半圆，
如图所示．易求，
的斜率分别为0，
，
由图知，当l 介于与
之间（含
）时，l 与函数
的图象有两个公共点，即
．
故选:C．
7．（2025·山西）“
，使得
成立
的充要条件是（
”
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，等价于
，
又
，当且仅当
时等号成立，
即
，故
．
故选：A．
8．（2024·重庆·三模）（多选）命题
存在
“
，使得
为真命题的一个充分不必要条件是（
”
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】由题意，存在
，使得
，即
，
当
时，即
时，
的最小值为
，故
；
所以命题
存在
“
，使得
为真命题的充分不必要条件是
”
的真子集，
结合选项可得，C 和D 项符合条件.
故选：CD.
9．（24-25 高三下·湖南·开学考试）（多选）设
，则使得“
成立的一个充分不必要条件
”
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由题意可得
，函数
单调递增，故
，
对于A，
，故“
是
”
“
的充要条件，故
”
A 错误；
对于B，由
得
，能推出
，反之不成立，所以“
是
”
“
的充分不必要条件，故
”
B 正确；
对于C，由
可得
，故
，反之不成立，故“
是
”
“
的
”
充分不必要条件，故C 正确；
对于D，
或
，故“
是
”
“
的充分不必要条件，故
”
D 正确，
故选：BCD．
10．（2025·河南·三模）（多选）若
，则“
的一个充分不必要条件是（
”
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
，故“
是
”
“
的充要条件，故
”
A 错误；
由
得
能推出
，
反之不成立，所以“
是
”
“
的充分不必要条件，故
”
B 正确；
由
可得
，
故
，反之不成立，
故“
是
”
“
的充分不必要条件，故
”
C 正确；
易知“
是
”
“
的充分不必要条件，故
”
D 正确.
故选：BCD.
11．（2025·江西南昌·二模）设
是两个不同的平面，则
的一个充分条件是（ ）
A．
平行于同一条直线
B．
平行于同一个平面
C．
垂直于同一个平面
D．
内有无数条直线与
平行
【答案】B
【解析】若
平行于同一条直线，则
与
的位置关系是平行或相交，故A 选项错误；
若
平行于同一个平面，则
与
的位置关系是平行，故B 正确；
若
垂直于同一个平面，则
与
的位置关系是平行或相交，故C 选项错误；
若
内有无数条直线与
平行，则
与
的位置关系是平行或相交，故D 选项错误；
故选：B.
12．（23-24 高三下·河南郑州·阶段练习）已知公比为
的等比数列
的前
项和为
，则满足对任意
，
恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
【答案】A
【解析】因为
，等价于
，等价于
，可得
，
且
为等比数列，可得
，
，
若
，则
，得
，
可知，当
时，
，不合题意，
所以若
，可得
，
，即
，
；
若
，
，可得
，
所以
等价于
，
.
可知：选项C 是
的充要条件；
选项A 是
的充分不必要条件；
选项BD 是既不充分也不必要条件；
故选：
．
13．（2024·湖南长沙·一模）函数
有3 个零点的充分不必要条件是（ ）
A．
，且
B．
，且
C．
，且
D．
，且
【答案】D
【解析】
，有
，
若
有三个零点，则有
且
，
故函数
有3 个零点的充要条件为：
且
，
对A：
，且
，则当
时，有
，不符，故A 错误；
对B：可能
，不符，故B 错误；
对C：
且
，则
，不符，故C 错误；
对D：
，且
，则
，
即由
，且
能得到
且
，
但
且
并不意味着
，且
，
故
，且
是
且
的充分不必要条件，
即是函数
有3 个零点的充分不必要条件，故D 正确.
故选：D.
题组三 根据充分、必要条件求参数
1．（24-25 重庆）若“
是
”
“
的必要不充分条件，则实数
”
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，
是
的必要不充分条件，
，
故选：B．
2．（2025·贵州安顺·模拟预测）（多选）已知集合
，若“
是
”
“
的充
”
分条件，则实数
的取值可以是（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】BC
【解析】由题意得
，解得
，则BC 符合题意.
故选：BC.
3（2025·云南）已知集合
，
，若
是
的必要不充分条件，则实数
的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题，
，
，
当
时，有
，符合题意；
当
时，有
，此时
，所以
或
，所以
.
综上，实数
的所有可能的取值组成的集合为
.
故选：A.
4．（2025 北京）已知
：
，
：
，若
是
的必要不充分条件，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
且
或
，
，又
是
的必要不充分条件，∴
，∴
，
故选：D.
5．（2024·江西南昌·三模）已知
“
，
”
“
，若
”
是
的充分不必要条件，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若
是
的充分不必要条件，故
在
时恒成立，
故得
，令
，由二次函数性质得
在
时单调递增，
则
，可得
，故B 正确.
故选：B
6．（2025·江西）集合
，若
的充分条件是
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
因为
的充分条件是
，所以
，
则
，
故选：B.
题组四 命题的否定
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知命题
，
，则
为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】命题
，
的否定为
，
，故选：D．
2．（24-25 高三下·河南·阶段练习）命题“
的否定为（
”
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】命题“
是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求的否定是：
”
.故选：A
3．（24-25 高三下·河南周口·开学考试）若命题
，
，则
的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】由命题否定的法则得；
的否定是：
，
．故选：
．
4．（2025·河北保定·一模）已知命题
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以
为“
”.故选：A.
5．（24-25 高一上·辽宁沈阳·阶段练习）命题“
的否定是（
”
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的否定为
.故选：C
6．（2025 高三下·全国·专题练习）已知命题
：
存在
“
，使得
，则下列说法正确的是
”
（ ）
A．
：
任意
“
，使得
”
B．
：
不存在
“
，使得
”
C．
：
任意
“
，使得
”
D．
：
任意
“
，使得
”
【答案】C
【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以
：
任意
“
，使得
．
”
故选：C
题组五 命题真假的判断
1．（2025·陕西西安·二模）已知命题
；命题
，则（ ）
A．p 和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．p 和q 都是真命题
D．
和q 都是真命题
【答案】C
【解析】当
时，
成立，所以
为真命题；
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
而
，所以
为真命题,
所以
都是假命题.
故选：C
2．（23-24 山东枣庄·期末）已知命题
，
；命题
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【解析】当
时，
，故命题
为假命题，命题
为真命题；
当
时，
，故命题
为真命题，命题
为假命题；
故
和
都是真命题.
故选:B
3．（2025·四川·模拟预测）已知命题p：
，
，命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】D
【解析】对于p，取
，则有
，故p 是假命题，
是真命题；
对于q，
，则
，故q 是假命题，
是真命题.
综上，
和
都是真命题.
故选：D.
4．（24-25 高三下·辽宁·阶段练习）已知有穷数列
是等差数列，公差为
，前
项和为
，
．命题
，
为等差数列；命题
，
为递增数列，则（ ）
A．
和
均为真命题
B．
和
均为真命题
C．
和
均为真命题
D．
和
均为真命题
【答案】A
【解析】有穷数列
是等差数列，公差为
，前
项和为
，
，
则
，
，
，
，
所以
为等差数列，则
为真命题；
当
时，
为递减数列，设
的项数为
，要使
为递增数列，只需
，
即
，所以
，则
为真命题．
故选：A.
题组六 根据命题的真假求参数
1．（24-25 北京·阶段练习）已知命题
，
，命题
，
恒成立.若
和
至多有一个为真命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当命题
为真命题，即
，使
成立，得到
，即
，
当命题
为真命题，即对
，
恒成立，得到
，
即
，
所以当命题
和命题
同时为真命题时，有
，即
，
又命题
和命题
至多有一个为真命题，所以
或
，
故选：D.
2．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“
，都有
为真命题，则
”
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为命题：“
，都有
为真命题，
”
所以命题：“
，都有
为真命题
”
.
令
，
.
则
.
因为
，
所以
，
所以函数
为增函数.
又因为
，
所以
.
故选：B.
3．（2024·四川·模拟预测）已知命题“
为真命题，则实数
”
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为命题“
为真命题，所以
”
．
令
与
在
上均为增函数，
故
为增函数，当
时，
有最小值
，即
，
故选：A．
4．（23-24 重庆·期末）已知命题
对
“
，都有
恒成立
为真，则
”
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则问题转化为
在
上的最小值满足
即可.
当
时，
，最小值为
，符合题意；
当
时，对称轴
，函数
在
上单调递减，
而
适合题意；
当
时，对称轴
，
则
，
所以
；
综上
的取值范围为
.
故选：A.
5．（2024·辽宁·模拟预测）命题
：存在
，使得函数
在区间
内单调，若
的
否定为真命题，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】命题p 的否定为：任意
，使得函数
在区间
内不单调，
由函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，而
，
得
，
故答案为：
6.（2025·广东）命题“
为假命题，则实数
”
a 的范围为 ．
【答案】
【解析】命题“
为假命题，可命题
”
“
为真命题，
”
即不等式
在
上有解，
设函数
，可得函数
在
为单调递增函数，
所以，当
时，函数
取得最小值，最小值为
，所以
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
7（24-25 高三上·北京·开学考试）已知函数
，
.若命题“
，不等式
恒成
立
是假命题，则实数
”
的取值范围 .
【答案】
【解析】当
恒成立，
当
时，
且
，
解得：
，
当
时,
成立，
所以
，
命题“
，不等式
恒成立
是假命题
”
所以
的取值范围为：
或
．
故答案为：
8．（2025 湖南）已知命题
对于
“
，
为真命题，写出符合条件的
”
的一个值： ．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】对于
，
，
当
时，对于
，
，则
可取任意负数，如
；
故答案为：
.
9．（2025·辽宁·二模）命题p:“
，
是假命题，则
”
m 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题，
为真命题，
所以
，对
，
又
在
上的最小值为
，
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
10．（2025 云南玉溪·期末）已知命题“
，使得
是假命题，则实数
”
的取值范围是
.
【答案】
【解析】因为命题“
，使得
是假命题，
”
所以命题“
，使得
是真命题，
”
即对
，
恒成立，
令
，则
，
所以
，
所以
.
