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2.7 函数图像考点一 作函数图像
【例1】（2024上海·专题练习）由函数 图像，画出下列各函数图像.
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
【答案】图像见解析
【解析】（1）由于 与 关于 轴对称，可得图象如下：
.
（2）由于 与 关于 轴对称，可得图象如下：
.
（3）由于 ，可得图象如下：
.
（4）由于 为偶函数，可得图象如下：.
（5）将 向右平移1个单位可得 ，可得图象如下：
.
（6）将 向左平移1个单位可得 ，
易得 为偶函数，当 时， ，
所以 在 轴左侧的图象由 的图象关于 轴对称而得，如图，
.
【一隅三反】
1．（2024高三·全国·专题练习）（1）利用函数f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象．
① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）.
（2）作出下列函数的图象．
① y＝（ ）|x|；
② y＝|log （x＋1）|；
2
③ y＝ .
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】解：（1） ① 把f（x）的图象关于y轴对称得到y＝f（－x）的图象，如图．② 保留f（x）图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称得到y＝f（|x|）的图象，
如图．
③ 把f（x）图象向下平移一个单位长度得到y＝f（x）－1的图象，如图．
④ 结合③，保留x轴上方部分，然后把x轴下方部分关于x轴翻折得到y＝|f（x）－1|的图象，如图．
⑤ 把f（x）图象关于x轴对称得到y＝－f（x）的图象，如图．
⑥ 把f（x）的图象向右平移一个单位长度得到y＝f（x－1）的图象，如图．
（2） ① 作出y＝（ ）x（x≥0）的图象，再将y＝（ ）x（x≥0）的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，
即得y＝（ ）|x|的图象，如图①中实线部分．
② 将函数y＝log x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|
2
log （x＋1）|的图象，如图②中实线部分．
2③ 因为y＝ ＝2＋ ，故函数图象可由y＝ 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得
到，如图③.
考点二 根据解析式选图像
【例2-1】（2024·福建·模拟预测）函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以函数 为偶函数，图象关于 轴对称，故排除答案CD，
又 ， ，
设 ， ，则 ， .
所以 在 上为增函数，又 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上单调递增，故排除B.
故选：A
【例2-2】（2024湖北）函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是( )【答案】 A
【解析】当x＝π时，y＝π·cos π＋sin π＝π·(－1)＋0＝－π；当x＝－π时，y＝－π·cos(－π)
＋sin(－π)＝－π·(－1)＋0＝π.故函数图象过(π，－π)，(－π，π)两点.故选A.
【一隅三反】
1．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百
般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来
分析函数的图象特征．则函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知： 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，可知 为奇函数，排除AB，且 ，排除D.
故选：C.
2．（2024·全国·模拟预测）函数 的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，即 ，得 ，且 ，
所以 的定义域为 ；
又 ，所以 为奇函数，
其图象关于原点对称，排除B，C；
又 ，所以排除D．
故选：A．
3．（2024·全国·模拟预测）函数 的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ， ，
所以函数 为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项A，C．
因为 ，排除选项B.
（另解：当 时， ，所以 ，排除选项B）．
故选：D．
考点三 根据图像选解析式
【例3-1】（2024·宁夏固原·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于B，当 时， ，易知 ， ，
则 ，不满足图象，故B错误；
对于C， ，定义域为 ，
又 ，则 的图象关于 轴对称，故C错误；对于D，当 时， ，
由反比例函数的性质可知， 在 上单调递减，故D错误；
检验选项A， 满足图中性质，故A正确.
故选：A.
【例3-2】（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，用排除法分析：
对于选项A： ，当 时，有 ，不符合题意；
对于选项B：当 时， ，不符合题意；
对于选项D： 的定义域为 ，不符合题意；
故选：C．
【一隅三反】
1．（2024·广东广州·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】观察图象可知函数为偶函数，
对于A， ，为奇函数，排除；
对于B， ，为奇函数，排除；
同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为 ，不是R，舍去，故D正确.
故选：D
2．（2024·陕西西安·二模）已知函数 的图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，函数 的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0时无意义，不
符合题意，排除；
对于C，当 时， ，不符合图象，排除；
对于D，当 时， ，不符合图象，排除.
故选：B
3．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定
理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．
在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已
知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数图象可知， 的图象不关 轴对称,
而 ， ，
即这两个函数均关于 轴对称，则排除选项 、 ；
由指数函数的性质可知 为单调递增函数， 为单调递减函数，
由 的图象可知存在一个极小的值 ，使得 在区间 上单调递增，
由复合函数的单调性可知， 在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，
由图象可知 符合题意，
故选： .
考点四 函数图像的伸缩平移
【例4-1】（2023·河南·模拟预测）已知图1对应的函数为 ，则图2对应的函数是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】根据函数图象知，当 时，所求函数图象与已知函数相同，
当 时，所求函数图象与 时图象关于 轴对称，
即所求函数为偶函数且 时与 相同，故BD不符合要求，
当 时， ， ，故A正确，C错误.
故选：A.
【例4-2】（2024·江西赣州·二模）已知函数 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的
函数解析式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
【例4-3】（2024·河南）已知函数 ，则下列函数图象关于点 对称的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 ，定义域为 ，则 ，故函数
为奇函数，则关于原点对称，因此函数 为函数 向右平移一个单位得到，故函数 关
于 对称，且函数 关于点 对称，因此函数 关于点 对称，
故选：A.
【一隅三反】
1．（2024浙江）已知函数 的周期为1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 的周期为 ，则函数 的周期为 ，
所以 ，A选项正确.
BCD选项无法判断.
故选：A
2．（2024·北京）将函数 的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数
的图象，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将函数 的图象向下平移1个单位长度,可得
再向右平移1个单位长度，可得所以
故选：D
3．（2024·四川南充·二模）已知函数 ，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，即 的图象关于原点对称，
函数 的图象可由 的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
所以函数 的图象关于点 对称.
故选：A.
考点五 函数图像在实际生活应用
【例5-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点 在边长为1的正方形边上运动， 是 的中点，当点 沿
运动时，点 经过的路程 与 的面积 的函数 的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当点 在 上时， ，
当点 在 上时，，
当点 在 上时， ，
其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.
故选：A.
【例5-2】（2024·广东广州）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从
孔中匀速流出，水流完所用时间为 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数 的图象大致是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一
半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选B．
【一隅三反】
1．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，
他从点 处出发，沿箭头方向经过点 、 、 返回到点 ，共用时 秒，他的同桌小陈在固定点 位置观
察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为 （单位：秒），他与同桌小陈间的距离为 （单位：米），若
，则 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题图知，小李从点 到点 的过程中， 的值先增后减，
从点 到点 的过程中， 的值先减后增，
从点 到点 的过程中， 的值先增后减，从点 到点 的过程中， 的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即 的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合
乎题意，
故选：D.
2．（2024北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度 （单位：米/分钟）与
时间 （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数” 为无人机在时间段 内的最大速度与最小速度
的差，则 的图像为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】由题意可得，当 时，无人机做匀加速运动， ，“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀速运动， ，“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀加速运动， ，“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀减速运动，“速度差函数” ，结合选项C满足“速度差函数”解析式，
故选：C.
3．（2024山东济宁）点P从O点出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O､P两点的距离y与点P
所走路程x的函数关系如图所示，那么点P所走的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：
①点 运动到周长的一半时， 最大；②点 的运动图象是抛物线，
设点 为周长的一半，如下图所示：
图1中，因为 ，不符合条件①，因此排除选项A；
图4中，由 ，不符合条件①，并且 的距离不是对称变化的，因此排除选项D；
另外，在图2中，当点 在线段 上运动时，此时 ，其图象是一条线段，不符合条件②，因此排除选项
B.
故选：C4.（2024甘肃）下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为( )
(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
A．(1)(2)(4) B．(2)(3)(4)
C．(1)(3)(4) D．(4)(1)(2)
【答案】D
【解析】(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
根据描述，离家的距离先增加，再减少到零，再增加，如此只有图像(4)符合；
(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
根据描述，离家的距离应该先沿直线上升，然后与x轴平行，最后继续沿直线上升，符合的为图像(1)；
(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
图像应该先缓慢上升，后快速上升，符合的图像为(2).
故选：D.
考点六 函数图像的应用
【例6-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数 的图象关于直线 对称，对任意的 ，都有
成立，且当 时， ，若在区间 内方程 有5个
不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 的图象关于直线 对称，
所以函数 的图象关于 轴对称，
因为对任意的 ，都有 成立，所以 ，
所以函数 的周期为4，
画出函数 在区间 上的图象，如图所示：
若在区间 内方程 有5个不同的实数根，
即函数 与 的图象有5个交点，
显然 ，则 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：D．
【例6-2】（2024·天津红桥·一模）设函数 ，若 有四个实数根 ， ， ，
，且 ，则 的取值范围 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，其图象如图所示，
又 有四个实数根，由图知 ，得到 ，即 ，且 ，
由 ，得到 或 ，所以 ，
所以 ，令 ， ，易知 在区间 上单调递增，所以 ，
所以 的取值范围为 ，
故答案为： .
【一隅三反】
1．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数 ，若函数 有3个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，故 ，
画出 与 的图象，
函数 有3个零点，即 与 图象有3个不同的交点，
则 ，
解得 .
故选：D2．（2023·山东济南·三模）已知函数 若函数 有四个不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
依题意，函数 有四个不同的零点，即 有四个解，
转化为函数 与 图象由四个交点，
由函数函数 可知，
当 时，函数为单调递减函数， ；
当 时，函数为单调递增函数， ；
当 时，函数为单调递减函数， ；
当 时，函数为单调递增函数， ；
结合图象，可知实数 的取值范围为 .
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）函数 与函数 的图象所有交点的横坐标之和为
．
【答案】10
【解析】因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
且 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为 ．
所以函数 的图象关于直线 对称，且 的最大值为2．
由于 的图象和 的图象都关于直线 对称，
所以先考虑两个图象在 上的情形，
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减．
易知 ， ，
所以可作出函数 与 的大致图象如图所示，
所以 的图象和 的图象在 上有5个交点．
根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线 对称，
因此所有交点的横坐标之和为 ．
故答案为: .
4．（2023·吉林·一模）已知函数 若函数 有4个零点．则
实数 的取值范围是 ．【答案】
【解析】当 且 时， ， ，
当 且 时， ；当 时， ．
故 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取得极小值 ，
时， ； 时，
由 解析式可知， 为奇函数．画出 图象大致如下：
令 得 ，设 ，
得关于 的方程 （*）
恒成立，设（*）式有两个不等实根 ， ，
当 ， 时，即 ，满足题意，
当 或 ，满足题意，
方法一：
令 ，则 或 ，
故 或 ，
综上，实数 的取值范围是 ．
方法二：（*）式化为 ，令 ，
易知 在 ， 上单调递增，
且 ， ， ，
其图象大致如图：
当 或 时，满足 或 ，
综上，实数 的取值范围是 ．
一．单选题
1．（2024·全国·模拟预测）函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】 的定义域为 ，
， 函数 是奇函数，
的图象关于原点对称，排除A，C；
当 时， ，
（提示： ，故当 时， ，得 ）
， ，排除B．
故选:D．
2．（23-24高三下·山东济南·开学考试）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】由函数 ， ，令 ，解得 ，
则其定义域为 ，关于原点对称，
所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为 ，观察选项可知，选A.
故选：A
3．（2024·天津·一模）如图是函数 的部分图象，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图可知： 的图象关于 轴对称，则为偶函数，
对于A， ，为偶函数，
但当 取一个很小的正数，例如 ，选项中的 ，而原图象中值为负数，故A不符合，舍去，
对于B, ,为偶函数，但是 处有意义，但是原函数在 处无意义，故
B不符合，
对于C， ，为奇函数，故C不符合，
故选：D
4．（23-24高三上·天津·期末）已知函数 在 上的大致图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可知函数 为奇函数，
若 ，则有 ，
若 ，则有 ，
所以 与 都不是奇函数，故排除AD；
而由 ，可排除B，
若 ，经检验 C选项符合题意.
故选：C.
5．（2023·河北·模拟预测）如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】对于A，要使函数 有意义，则 ，即 ，
所以 或 或 或 ，
所以函数 的定义域为 ，A不正确；
对于B， ，而已知函数 图象过原点，B不正确；
对于C，对于函数 ，则 ，当 时， ，
则函数 在 上单调递增，不符合题中图象，C不正确，
对于D，对于函数 ，定义域为 ，且 ，
，当 时， ，当 时， ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，符合图象，故D正确.
故选：D.
6．（2023·福建泉州·模拟预测）已知函数 ， ，如图是下列四个函数中某个函数的大致
图象，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由图象可得，该图象对应的函数的定义域为 ，
对于A选项： 的定义域为 ，所以A选项错误；
对于B选项： 的定义域为 ，所以B选项错误；
又知当 时， ，
对于C选项， 的定义域为 ，
当 时， ，所以C选项错误；
对于D选项， 的定义域为 ，
当 时， ，所以D选项符合题意.
故选：D.
7．（2023·广东惠州·一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图 是番禺
区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图 是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由
两个函数的图象构成，则“心形”在 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A， （当且仅当 ，即 时取等号），
在 上的最大值为 ，与图象不符，A错误；
对于B，当 时， ，与图象不符，B错误；
对于C， ， 当 时， ；
又 过点 ；
由 得： ，解得： ，即函数定义域为 ；
又 ，
为定义在 上的偶函数，图象关于 轴对称；
当 时， ，则函数在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述： 与图象相符，C正确；
对于D，由 得： ， 不存在 部分的图象，D错误.
故选：C.
8．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，
O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】对于A，点 在第一条边上时， ，
但点 在第二条边上运动时， 是随 的增大先减小（减到最小时 即为三角形的第二条边上的高的长度），
然后再增大，
对比图象可知，A错误；
对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误；
对于C，一开始 与 的关系不是线性的，C错误；
对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为 ，
点 在第一条边上时（即 时）， ，
点 在第二条边上运动时（即 时）， ，依然单调递增，
点 在第三条边上运动时（即 时）， ，单调递减，
点 在第四条边上运动时（即 时）， ，单调递减，
且已知 与 的图象关于 （其中 ）对称，D正确.
故选：D.
二．多选题
9．（2024山东滨州）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为 的正方形 沿 轴滚动(无滑动滚动)，点
恰好经过坐标原点，设顶点 的轨迹方程是 ，则对函数 的判断正确的是（ ）.
A．函数 是奇函数
B．对任意 ，都有
C．函数 的值域为
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】BCD
【解析】由题意得，当 时，点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的 圆；当 时，点 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的 圆；
当 时，点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的 圆，如图所示：
此后依次重复，所以函数 是以 为周期的周期函数，由图象可知，函数 为偶函数，故A错误；
因为 以 为周期，所以 ，
即 ，故B正确；
由图象可知， 的值域为 ，故C正确；
由图象可知， 在 上单调递增，因为 以 为周期，所以 在 上的图象和在 上的图
象相同，即单调递增，故D正确．
故选：BCD.
10（2023·河北·模拟预测）已知函数 ，若函数 恰好有4个不同的零点，
则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】BC
【解析】由题意可知：
当 时， 在 上单调递减，则 ；
当 时， 在 上单调递增，则 ；
若函数 恰好有4个不同的零点，
令 ，则 有两个零点，可得：
当 时，则 ，解得 ；当 时，则 ，可得 ；
可得 和 均有两个不同的实根，
即 与 、 均有两个交点，
不论 与 的大小关系，则 ，且 ，解得 ，
综上所述：实数 的取值范围为 .
且 ，故A、D错误，B、C正确.
故选：BC.
11．（2024·重庆）设函数 ，如图是函数 及其导函数 的部分
图像，则（ ）
A．
B．
C． 与y轴交点坐标为D． 与 的所有交点中横坐标绝对值的最小值为
【答案】AD
【解析】
由 得 ，
如图，因当 ， ，
故可判断图①为 的图象，图②为 的图象，
由图可知：
当 时， ，
当 时， ，
故 ，
因 ，故
由 得 ，故 ，
，故A正确.
又 ， ，
所以 ， ，又因 ，故 ，故B错误.
综上可得 ， ，
，
故 与y轴交点坐标为 ，C错误.
令 ，即 得
，
故 ， ，
得 ， ，
故当 或 时 的值最小为 ，故D正确.
故选：AD
三．填空题
12.已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0，6]上存在互异的3个数x ，x ，x ，使得＝＝＝k，则
1 2 3
实数k的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意知，直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象至少有3个公共点.
函数y＝f(x)，x∈[0，6]的图象如图所示，
由图知k的取值范围是.
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则 与 的图象交点的纵坐标
之和为 ．
【答案】2【解析】对于 ，可以把 的图象看作：
由 的图象向上平移1个单位长度得到，
而 的图象可看作由 的图象向右平移1个单位长度得到；
对于 的图象可看作由
的图象向上平移1个单位长度得到，
而 的图象可看作由 的图象向右平移1个单位长度得到．
易知 与 都为奇函数，
则易知 与 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．
因为将函数图象向右平移不改变 与 两函数图象交点处函数值的大小，
所以 与 的图象交点的纵坐标之和为0，
又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，
则 与 的图象的两个交点的纵坐标与 与 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，
故 与 的图象交点的纵坐标之和为2．
故答案为：2
14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 ， ，若 有2个不同的零点，
则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设 ，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， .综上可得， .
函数 的定义域为 ，
由复合函数单调性可知函数 单调递增.
又 ，
作出 的图象如图所示
由图象可知，当 时，曲线 与 恒有两个交点，
即 有两个零点，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
四．解答题
15．（2024山东）已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当实数m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】见解析
【解析】
(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；当0<m<2时，
函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，即原方程有两个实数解．(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，t>0，
因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．
16．（2024·陕西西安·三模）已知函数 （其中 ）．
(1)在给定的平面直角坐标系中画出 时函数 的图象；
(2)求函数 的图象与直线 围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时 的值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)最大值为 ， .
【解析】（1）当 时， ，
在坐标平面内作出函数 的图象，如图：
（2）依题意， ，其图象如图：令 ，得函数 的图象与直线 的两个交点 ，
直线 与直线 交于点 ，
显然 ，即点 ，
函数 的图象与直线 围成多边形为四边形 ，其面积为：
，
显然函数 在 上单调递增，当 时， ，
所以函数 的图象与直线 围成多边形的面积的最大值为 ，此时 .
17．（2024河南洛阳·期末）已知函数 是定义在R的偶函数，当 时， ．
(1)请画出函数 图象，并求 的解析式；
(2) ，对 ，用 表示 ， 中的最大者，记为 ，写出函数 的解析式（不需要写解答过程），并求 的最小值．
【答案】(1)图象见解析，
(2) ， ．
【解析】（1）设 ，则 ，则 ，又函数 是定义在R的偶函数，
所以 ，
则 ；函数 的图象，如图所示．
（2）因为 ，当 时，令 ，解得 ，
则当 时， ，当 时，令 ，解得 ，
则当 时， ，所以 ，
画出函数 的图象，如图所示，结合图象可知，当 时， ．18．（2024云南昆明·期末）已知函数 .
(1)当 时，画出 的图象，并判断直线 与 图象的交点个数；
(2)设函数 ，若 对于任意 都成立，求 的取值范围．
【答案】(1)图象见解析；交点情况见解析
(2)
【解析】（1）当 时， ，则 的图象如图所示由 的图象可知，当 时， 与 图象有1个交点，
当 时， 与 图象有2个交点，
当 时， 与 图象有3个交点；
（2）由题意 ，
由于 ，故 ，则 ， ，
令 ，则 ， ，即 ，
由于 ， ， 恒成立，
令 ， ，则 ，所以 ，
令 ， ，则 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
故 ，则 ，
所以 的取值范围为 ．
19．（2024北京顺义）已知函数 是定义在R上的奇函数.
(1)求实数a的值：
(2)判断函数 在区间 上的单调性，并用定义证明；(3)若 有两个零点，请写出k的范围（直接写出结论即可）.
【答案】(1)
(2). .在 上单调递减；证明见解析
(3)
【解析】（1）函数 为奇函数，则 ，
即 ，解可得 ；
（2）由（1）知 ， 在 上单调递减；
证明：任取 ， ，且 ，
则
，
又由 ， ，且 ，则 ， ， ， ，
则有 ，即
所以函数 在 上单调递减．
（3）因为 有两个零点，
所以方程 有两个不等实根，即 有两个不等的实根，
任取 ， ，且 ，由（2）知 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，即 ，所以函数在 上单调递增，又函数为奇函数，所以图象关于原点成中心对称，
又 ， ， 时， ，作出 图象如图，
所以当 且 时， 与 有两个不同交点，即 有两个不等实根.
故k的范围为 .
