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2.3 函数的周期性及对称性考点一 函数的对称性
【例1-1】（1）（2024·四川南充·二模）已知函数 ，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
（2）（2024·河北唐山·一模）已知函数 的图像关于点 对称，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
（3）（2024江苏扬州）定义在 上的函数 和 的图象关于 轴对称，且函数 是
奇函数，则函数 图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）C（3）D
【解析】（1）函数 的定义域为 ，又 ，
所以 为奇函数，则函数 的图象关于原点 对称，
又 的图象是由 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，
所以函数 的图象关于点 对称.故选：A
（2） 图象关于点 对称， ，
又 ，
， ，解得： ， .故选：C.
（3）由题意得函数 是奇函数，则 关于 对称，
另知函数 和 的图象关于 轴对称，故 关于 对称，故选：D【例1-2】（1）（2024·云南昆明）设 是定义域为 的奇函数，且 ，当 时，
， ．
（2）（2024·广西南宁）若函数 的图象关于直线 对称，则
．
【答案】（1） （2）7
【解析】（1）因为 ，且 是定义在 上的奇函数所以
，因为当 时， ，
所以 .故答案为：
（2）由题意 ，即 ，所以 ，即 ，解得 ，
此时 ，
，满足题意．
所以 ， ．故答案为：7．
【一隅三反】
1．（2024安徽合肥）已知 是定义在 上的奇函数，满足 ， ，则
（ ）
A．0 B． C．2 D．6
【答案】B【解析】因为 ，所以 关于直线 对称；
又因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ， ，
则 ，因此 ，
所以 是周期为 的函数，因此 ， ；
又 关于直线 对称，所以 ；
因此 。
故选：B.
2．（2024上海）若直线 过函数 图象的对称中心，则 最
小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由题意得，函数 图象的对称中心为 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故选：D.
3．（2024·河南·模拟预测）已知定义域为R的函数 的图象关于点 成中心对称，且当 时，
，若 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．【答案】C
【解析】依题意， ，又 ，
所以 ①，而 ②，
联立①②，解得： ， ，则 ．
故选：C
4．（2023·河北衡水·一模）（多选）已知函数 的图象的对称轴方程为 ，则函数 的解析式可以是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】若 的图象的对称轴方程为 ，则 ；
对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ， ， ，
即 不恒成立，C错误；
对于D， ，D正确.
故选：BD.
5．（2024江苏）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 .① 是定义域为 的奇函
数；② ；③ .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由条件①②③可知函数对称轴为 ，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数 .故答案为： （答案不唯一）
考点二 函数的周期性
【例2-1】（2023·上海嘉定·三模）函数 ， 满足 ，当 ， ，
则 .
【答案】1
【解析】因为 满足 ，所以 的周期为 ， .
故答案为：1.
【例2-2】．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时，
，则 .
【答案】
【解析】由已知可得 ，所以 ，
所以 ，即 是函数 的一个周期，
所以 .
故答案为：
【例2-3】（2024·陕西榆林·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，
，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．-2
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
所以 是以4为周期的周期函数，所以 .故选：B
【例2-4】（2024·陕西西安·一模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，则以下说法错误的是（ ）
A． B． 是周期函数，且2是其一个周期
C． D．
【答案】C
【解析】选项A，因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，所以选项A正确，
选项B，由 ，知 是周期函数，且2是其一个周期，所以选项B正确，
选项C，因为 ，又 ， ，得到 ，所
以选项C错误，
选项D， ，所以选项D正确，
故选：C.
【一隅三反】
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 是定义在R上的偶函数，且周期 .若当 时， ，
则 （ ）
A．4 B．16 C． D．
【答案】B
【解析】因为 .故选：B.
2．（2024山东淄博市）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在 上有 ，
则
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为定义在 上的奇函数 满足 ，
所以 ，所以 ，即函数 是周期为4的周期函数，
又 时有 ，
所以 故选：D.
3（2024广西柳州）已知 是定义域为 的奇函数，且满足 .若 ，则
_______________.
【答案】0
【解析】由 知： ，即 的周期为4，
∵ 是定义域为 的奇函数，有 ，又 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为：0
考点三 函数对称性与周期性的综合运用
【例3-1】（2022·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，用 代 ,得 ，
又 ，所以 ，得 ，故 的周期为 ,所以 .故选：A．
【例3-2】（2023·贵州黔西·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于 对称．若
，则 （ ）
A．3 B．2 C．0 D．50
【答案】C
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，且 ，
又 的图象关于 对称，则 ，
即 ①，则 ， ，
在①中，令 ，得 ，
则 ，所以函数 的周期为 ，即 ，
则有 ，
所以
，
故选：C.
【例3-3】（2024·河南·模拟预测）已知 是定义在 上的函数，满足 ，且满足 为
奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数 图象关于直线 对称 B．函数 的周期为2
C．函数 图象关于点 中心对称 D．
【答案】D
【解析】因为 满足 ，所以 ，所以函数 图象关于直线 对称，
因为 为奇函数，所以 ，即 ，
则函数 图象关于 对称，则 ，
令 得 ，由 ，得 ，所以函数 的周期为4，
所以 ，故选：D
【一隅三反】
1．（2024海南省）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ， ，则
（ ）
A． B．0 C．3 D．6
【答案】A
【解析】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 是以 为周期的一个周期函数，
所以 .
故选：A．
2．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶函数且 ，则
（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【解析】因为 是定义在R上的奇函数，则 ，且 ，
又 为偶函数，则 ，即 ，于是 ，则 ，即 是以 为周期的周期函数，
由 ，得 ， ，
， ，
所以 .
故选：D
3．（2024·山东菏泽）（多选）已知函数 的定义域为R， 为奇函数，且对 ，
恒成立，则（ ）
A． 为奇函数 B． C． D．
【答案】BCD
【解析】因为 为奇函数，所以 ，故
又 ，所以 ，故 ，
所以 ， 为偶函数，A错误；
为奇函数，所以 ， ，所以 ，B正确；
，又 的图象关于点 对称，所以 ，所以 ，C正确；
又 ，所以 是以4为周期的函数，
，D正确．故选：BCD．
4．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数，
，则 =（ ）
A．4036 B．4040 C．4044 D．4048【答案】D
【解析】由题意得 为奇函数，所以 ，即 ，所
以函数 关于点 中心对称，
由 为偶函数，所以可得 为偶函数，则 ，所以函数 关于直线 对称，
所以 ，从而得 ，所以函数 为周期为4的函数，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 关于直线 对称，所以 ，
又因为 关于点 对称，所以 ，
又因为 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，故D正确.故选：D.
考点四 函数四大性质综合运用
【例4-1】（1）（2023·河北邯郸·一模）已知函数 为偶函数，且函数 在 上单调递增，则关
于x的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为R， ，且 在 上单调递减，
则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）A（2）C【解析】（1）因为 为偶函数，所以 的图象关于y轴对称，则 的图象关于直线 对称．
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ，解得 ．
故选：A.
（2）因为 ， ，所以函数 的图象关于直线 对称，
又 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，
结合草图可知：要使 ，则 到 的距离小于 到 的距离，故不等式
等价于 ，两边同时平方后整理得 ，解得 或
.
故选：C．
【例4-2】（1）（2024广东）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函
数，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2023·新疆·校联考二模）已知函数 ，若 ， ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）D（2）A【解析】（1）由题意可知 ，故函数 是周期函数，且周期为 ，
则 ， ， ，
因为奇函数 在区间 上是增函数，则该函数在区间 上也为增函数，
故函数 在区间 上为增函数，所以 ，即 .故选：D.
（2）因为 ，所以 的对称轴为 ，则有 ，
又当 时，得 ，
而 和 均在区间 上单调递增，所以 在区间 上单调递增，
又 ， ，即 ，
所以 ，即 .故选：A
【一隅三反】
1．（2024江西宜春·开学考试）已知定义在R上的函数 在 上单调递增，且 为偶函数，则
不等式 的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得， 对称轴为 ，且在 上单调递减.则由 ，可得出
，即 ，
即 ，解得 或 .
所以，不等式 的解集为 .故选：B.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知定义域为 的函数 在 单调递减，且 ，则使
得不等式 成立的实数 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】 ，则 关于 对称，
因为 在 单调递减，∴ 在 上单调递减，
又 ∴ ，
∴ ，∴ 或 ，故选：D.
3.（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数 在 上单调递减， ，
为偶函数，当 时， ，若 ， ， ，则a，b，c的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 为偶函数，得 的图象关于直线 对称，
且 ，由 得 ，
所以 ，即 ，则 ，
所以函数 的一个周期为6，则 ，
当 时， ，又 的图象关于直线 对称，
所以 ，由 得 ， 的图象关于点 对称，
又函数 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递减，又 ，
所以 ，所以 .故选：A
4．（2024湖南长沙）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上 是增函
数，令 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 .
【答案】
【解析】 是定义在 上的奇函数，
，
所以 关于 对称.
由于 在 上递增，所以 在 递减.
，
在 上递增，所以 ，
所以 .
故答案为：
5．（2024·四川达州·二模）已知函数 满足 ，且 在 上单调递增，当
时， ，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 满足 ，所以函数 图象关于点 中心对称，
又函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，因为 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 ，
易知 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
所以m的取值范围为 ，故选：A.
考点五 抽象函数的性质
【例5-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知函数 的定义域为 ，设 为 的导函数，
， ， ，则（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D．
【答案】ABD
【解析】函数 ，对任意 ， ，
对于A，令 ，得 ，而 ，则 ，A正确；
对于B，令 ，得 ，
则 ，两边求导得， ，即 ，
因此 关于 对称， ，B正确；
对于C，由 ，得 ，
令 ，得 ，两边求导得 ，
即 ，因此 ，函数 是偶函数，C错误；
对于D，由 ，得 ，则 ，
因此函数 的周期为4， ，D正确.
故选：ABD
【例5-2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）（多选）若函数 的定义域为 ，且 ，，则（ ）
A． B． 为偶函数
C． 的图象关于点 对称 D．
【答案】BCD
【解析】对于A，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，故A错误；
对于B，令 ，则 ，则 ，故B正确；
对于C，令 得， ，所以 ，
令 得， ，则 的图象关于点 对称，故C正确；
对于D，由 得 ，
又 ，所以 ，则 ， ，
所以 ，则函数 的周期为 ，
又 ， ，则 ， ，则 ，
所以 ，故D正确，故选：BCD.
【一隅三反】
1．（2024·河南新乡·二模）已知函数 满足 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
【答案】B【解析】因为 ，
令 ，可得 ，则 ；
令 ，则 ，
故 的图象关于点 对称，
则 的图象关于点 对称，即 是奇函数，故B正确；
对于C，令 ，可得 ，则 ，
当 时， ，此时 不可能是奇函数，
由于无法确定 的值，故 不一定是奇函数，故C错误；
对于AD，取 ，满足题意，但易知D错误；
故选：B.
2．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】由题意知函数 的定义域为 ，且 ， ，
令 ，则 ，即 ，故 为偶函数；
又 ，令 ，则 ，
又由 ，得 ，
即 的图象关于点 成中心对称，则 ；
，即 ，又结合 为偶函数，
则 ，故 ，即4为 的周期，
故 ，故 ，故选：
D
3．（2024·山西吕梁·一模）已知函数 满足 ，则下列结论不正
确的是（ ）
A． B．函数 关于直线 对称
C． D． 的周期为3
【答案】D
【解析】解法一：
令 ， ，则 ，解得 ，A正确；
令 ，则 ，
所以 ，即 是偶函数，
所以 ，所以函数 关于直线 对称，B正确；
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，C正确；
令 ，则 ①，
所以 ②，
①②联立得 ，
所以 ， ，即 的周期为 ，D错误；
解法二：
构造函数 ，
满足 ，且 ，，A正确；
，
因为 表示 的图象向右平移 个单位，且 的图象关于 轴对称，
所以 关于直线 对称，B正确；由余弦函数的图象和性质可知 ，C正
确；
的周期 ，D错误；故选：D
考点六 奇函数+常数模型
【例6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 ．
【答案】﹣2
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ＝1－3＝－2.故答案为：－2.
【一隅三反】
1．（2024·山西临汾）已知函数 ，若 ，则 ．
【答案】﹣3
【解析】根据题意，函数 ，
则 ，则 ，
若 ，则 ，故答案为：﹣3．
2．（2024河南省）已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】 定义域为R，且 ，又 ，所以
，所以 .故选：D
一．单选题
1．（2024江西上饶）已知 ，若 ，则 （ ）
A．4042 B．2024 C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ，故 ，
.故选：A
2（2024·山东烟台·一模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在 上的奇函数 满足 ，则 ，
于是 ，即函数 的周期为4，
而 ，则 ， ，又当 时， ，
所以 .故选：A
3．（2023·广西·模拟预测）已知定义在 上的函数 在 上单调递减，且 为偶函数，则不等
式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函数 为偶函数，∴ ，即 ，
∴函数 的图象关于直线 对称，
又∵函数 定义域为 ，在区间 上单调递减，∴函数 在区间 上单调递增，
∴由 得， ，解得 .故选：D.
4．（2024·山东青岛·一模） ， ， ，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【答案】B
【解析】由题意知 ， ， ，
令 ，则
显然 时， 不成立，故 ，
故 ，则 ，即6为函数 的周期，
则 ，故选：B
5.（2024·江苏连云港）函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则说法不正确的是
（ ）
A． 为奇函数 B． 为周期函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】D【解析】由题意知： 且 ，
∴ ，即 ，可得 ，
∴ 是周期为2的函数，且 、 为奇函数，故A、B正确，D错误；
由上知： ，即 为奇函数，C正确.故选：D
6．（2024黑龙江））已知定义在R上的偶函数 满足 ，当 时 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，函数 满足 ，可得 ，
即函数 是以4为周期的周期函数，又由函数 是 上的偶函数，即 ，
又由当 时 ，则 ，
,
所以 .故选：B.
7.（2023·四川成都·校考三模）已知函数 ,则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数 ，所以 ，令 ， 可得
令 且 ，
可得 在 上恒成立，所以 ，
所以 在 上单调递增，
又由 ，
所以函数 为偶函数，则在 上单调递减，
又由 ，即 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
故选：B.
8（2023·河南·三模）我们称 为“二阶行列式”，规定其运算为 ．已知函数 的定义域
为 ，且 ，若对定义域内的任意 都有 ，则（ ）
A． B． 是偶函数 C． 是周期函数 D． 没有极值点
【答案】D
【解析】由于 ，则 ，即为： （*），
将 替换为 代入（*）式，得 ，且 ，得： ，
对于A，取 ，显然满足（*）式，此时 ，故A错误；对于B， 定义域为
，
则 成立，所以 是奇函数，故B错误；对于C，假设非零常数 为函数 的周期，即 ，
则 ，其中 ，即得 ， ，这与假设 为非零常数矛盾，
所以 不是周期函数，故C错误；对于D，由于 ，则 ，显然 没有实数解，
所以 没有极值点，故D正确；故选：D.
二．多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 ， 均为奇函
数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A中，由函数 是奇函数，可得 的图象关于点 对称，则 ，所以A正确；
对于B中，因为 的图象关于点 对称，可得 ，
则 ，可得 的图象关于直线 对称，
但不能确定 ，所以B错误；
对于C中，因为 的图象关于点 对称，可得 ，所以C错误；对于D中，因为
的图象关于直线 对称，可得 ，
又因为 是奇函数，所以 ，所以 ，所以
，所以D正确.
故选：AD．
10．（2024·新疆·二模）已知 是定义域为 的函数，满足 ，当
时， ，则下列说法正确的是（ ）A． 的最小正周期为4
B． 的图象只关于直线 对称
C．当 时，函数 有5个零点
D．当 时，函数 的最小值为
【答案】AC
【解析】由 得， ，故函数 的周期为4，A
正确；
由 可得 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，且关于直线 对称（周期性），B不正确；
作出函数 在 上的大致图象如图所示，
由图可知，当 时，函数 有5个零点，C正确；
当 时，函数 的最小值为 ，D错误.
故选：AC.
11．（2024·广东韶关·二模）已知定义在 R 上的函数 的导函数分别为 ，且
， ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B．
C． 的周期为4 D．
【答案】ACD【解析】由 ，得 ①，
②，得 ③，
由①②③，得 ，所以函数 图象关于直线 对称，故A正确；
由 ，得 ，令 ，得 ；
由 ，得 ，
令 ，得 ，
∴ ④，
又 ⑤，令 ，得 ，故B错误；
④⑤两式相加，得 ，得 ，
所以 ，即函数 的周期为4，故C正确；
由 ，令 ，得 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
三．填空题
12．（2023·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点 对称的函数的解析式 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 的图象关于原点对称，则 的图象关于点 对称．同样如函数 也满足题意．
故答案为： （答案不唯一）．
13．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 ，
，且当 时 单调递减，则 的解集为 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故 关于直线 对称，且 ，因为当 时 单调递减，所以当 时 单调递增，
由 知， ，
所以由 可知 ，
故答案为：
14．（2024·吉林白山·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，请
写出满足条件的一个 （答案不唯一）， ．
【答案】 （答案不唯一）；
【解析】令 ，则 ，解得 或 ，
若 ，令 ， ，则 ，即 与已知矛盾,
∴ ，令 ，则 ，
则 ，∴ 为偶函数；
令 ，则 ，
则 ，
则 ，
所以 以6为周期，
结合以上特征，找到满足条件的一个函数为 ，
结合 以6为周期，则 ．
故答案为：（答案不唯一） ；
四．解答题
15．（2024重庆·阶段练习）函数 对任意的实数a，b，都有 ，且当 时，
.(1)求 的值；
(2)求证： 是R上的增函数；
(3)解关于实数x的不等式 .
【答案】(1)3；
(2)证明见解析；
(3) .
【解析】（1）对任意的实数a，b，都有 ，
取 ，则 ，所以 .
（2）任取实数 ，且 ，则 ，由当 时， ，得 ，
依题意， ，
所以函数 是R上的增函数.
（3）由（1）知， ，由（2）知，函数 是R上的增函数，
不等式
，
因此 ，即 ，解得 或 ，
则 或 ，即 或 ，
所以原不等式的解集是 .
16．（2024上海·阶段练习）设函数 的定义域 ,若对任意 ，均有 成立，则称
为“无奇”函数．
(1)判断函数① 和② 是否为“无奇”函数，说明理由；
(2)若函数 是定义在 上的“无奇”函数，求实数a的取值范围；(3)若函数 是“无奇”函数，求实数m的取值范围．
【答案】(1)①不是，②是；理由见解析
(2)
(3)
【解析】（1）①因为 ，符合 ，
所以 不是"无奇"函数；
② 恒成立，
所以 是“无奇”函数；
（2） 在 无解，
即 在 无解，
所以
（3）若 不是“无奇”函数，
则 有解，
即 ，
即 有解，
令 ，
则
所以 ，即 ，
所以 是“无奇”函数时，实数 的取值范围是17．（2024江苏淮安·期末）已知 是定义在R上的函数，满足： ， ，且
当 时， ．
(1)求 的值；
(2)当 时，求 的表达式；
(3)若函数 在区间 （ ）上的值域为 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或 或 .
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ，
故 是奇函数，且 为其一个周期，且关于 轴对称，
所以 ；
（2）结合（1）的结论可令 ，则 ，
所以 ；
（3）由（1）（2）可知 ，
由二次函数单调性可知 在 上单调递增，且 ，
所以 ，则 ，
若 ，则 ，此时 ，若 ，则 ，此时 ，
若 ，则 ，此时 .
故 的值为 或 或 .
18．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数 （
）是奇函数．又已知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最
小值 ．
(1)证明： ；
(2)求 的解析式；
(3)求 在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）证明：∵f (x)是以 为周期的周期函数，∴ ，
又∵ 是奇函数，∴ ，∴
（2）当 时，由题意可设 ，
由 ，得 ，∴ ，
∴ .
（3）根据（2）中所求，可知 ；又 在 上是奇函数，故 ，
故当 时，设 ，则 ，解得 .故当 时， .
又 在 上是奇函数，故当 时， .
综上，则 时， .
因为 时， .
所以当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
综上所述， .
19．（2024上海·期中）已知定义在全体实数上的函数 满足：① 是偶函数；② 不是常值函数；
③对于任何实数 ，都有 ．
(1)求 和 的值；
(2)证明：对于任何实数 ，都有 ；
(3)若 还满足对 有 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）
取 ， 得到 ，即 ；
取 得到 ，
不是常值函数，故 ；（2） ，
取 得到 ，
是偶函数，故 ，即 ，
.
（3） ， 为偶函数，
取 ，则 ，即 ；
取 ，则 ，即 ；
故 ，
， ， ，
故 ，
取 得到 ，
取 ， 得到 ，
， ，解得 ，
，
