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函数的奇偶性、周期性和对称性
2-3
1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
2.3 函数的奇偶性、周期性和对称性................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：函数的奇偶性.....................................................2
考点2：周期性...........................................................2
考点3：对称性...........................................................2
【常用结论归纳】.........................................................2
二、分类题型................................................................4
题型一 函数的奇偶性......................................................4
命题点1 判断函数的奇偶性............................................4
命题点2 函数奇偶性的应用............................................6
题型二 函数的周期性......................................................9
题型三 函数的对称性.....................................................12
三、课堂总结：知识图谱.....................................................15
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................16一、主干知识
考点1：函数的奇偶性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有
偶函数 关于y轴对称
－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有
奇函数 关于原点对称
－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
考点2：周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋
T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的
最小正周期．
考点3：对称性
函数的对称性
(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．【常用结论归纳】
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调
性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称．
(3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称．二、分类题型
题型一 函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
【例题精析1】 （2023·新疆·校联考二模）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】由题知 ，则 定义域为 ，
∵ ，
即 ，所以 在 上为奇函数，
故图象关于原点对称，排除A、C，又∵当 时， ，排除D，
故选：B．
【例题精析2】 （2023·重庆·统考模拟预测）函数 的部分图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】函数 得定义域为 ，则 ，故该函数为奇
函数，故可排除B选项；
又 ，故可排除C选项；
又 ， ，可以排除D选项.
故符合的函数图象为A.
故选：A.
【例题精析3】 （2023·浙江台州·统考二模）已知函数 同时满足性质:① ;②当
时, ,则函数 可能为( )
A． B．
C． D．【解答】① 说明 为偶函数，② ,说明函数在 上单调递
减.
A不满足②，B不满足①，
C不满足②,因为 在 单调递减，在 单调递增.
对于D,满足①,当 ,单调递减,也满足②.
故选：D.
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等
价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
命题点2 函数奇偶性的应用
【例题精析4】 （2023·全国·高三专题练习）函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】因为函数 是奇函数，且在 上单调递增，
所以函数在 上也单调递增，又因为 ，所以 ，
不等式 等价于 或 ，
所以 或 ，故选：B.
【例题精析5】 （2023·上海金山·统考二模）已知 是定义域为 的奇函数，当 时，
，则 __________.
【解答】因为函数 是定义域为 的奇函数，
所以 ，
故答案为： .
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知
区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
【对点精练1】 （2023·福建·统考模拟预测）函数 的图象大数为（ ）
A． B．C． D．
【解答】由题意可知，函数 的定义域为 .
又 ，
所以，函数 为奇函数.
当 时， ，
则 .
设 ，则 在 上恒成立，
所以， 在 上单调递增.
又 ， ，
所以，根据零点存在定理可得， ，有 ，
且当 时，有 ，显然 ，
所以 在 上单调递增；
当 时，有 ，显然 ，
所以 在 上单调递减.
因为 ，所以C项满足题意.故选：C.【对点精练2】 （2023·广西玉林·统考三模）函数 ，若 ，则
________．
【解答】由题得 ，
∴ ，
所以 ．
故答案为：3.
【对点精练3】 （2023·云南红河·统考二模）若函数 是偶函数，则 ______．
【解答】解：设 ,
因为 是偶函数，所以 是奇函数，
所以 ，解得 ．经检验满足题意，
故答案为：1
【对点精练4】 （2023·广东湛江·统考二模）已知奇函数 则 __________．
【解答】当 时， ， ，
则 ．
故答案为： .
题型二 函数的周期性
【例题精析6】 已知定义在 上的函数 满足 ， 为奇函数，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3【解答】因为 ，所以 ，所以 的周期为6，又
为奇函数，所以 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ,所以 ，故选：C.
【例题精析7】 （2023·广西南宁·统考二模）已知函数 ， 的定义域均为 ， 为 的导函数，
且 ， ，若 为偶函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】依题意，因为 为定义在 为偶函数，所以 ，所以 ，
所以 为奇函数且 ，因为 ， ，
令 ，则有 ，解得 .
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
由 得 ，
所以 是以4为周期的周期函数，所以 ，
所以 ，故A，B，C错误.
故选：D.
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
【对点精练5】 （2023·陕西·统考二模）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶函数且 ，
则 （ ）
A．3 B． C． D．6
【解答】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ， ，所以有
，
由 为偶函数可得： ，
故有
即 ， ，故 ，
所以 周期 ，
故
故选：A
【对点精练6】 （2023·重庆九龙坡·统考二模）已知 是定义在 上的偶函数且 ，
是奇函数，则 ___________.
【解答】由于 是奇函数，函数图象关于原点对称，
所以 关于 对称， ，所以 ，
因为 是偶函数 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 是周期为 的周期函数，
又 ， ， ，
， ，
所以 ，
所以
.
故答案为： .题型三 函数的对称性
【例题精析8】 （2023·陕西商洛·统考二模）已知定义在 上的函数 满足 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． 的周期为2 B． 为偶函数
C． D．
【解答】由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 ，即 的周期为 ，A选项错误；
由 可知 的图象关于点 对称，所以 ，C选项正确，
由 知 的图象关于直线 对称，所以 的图象关于直线 对称，
进一步可知 图象的对称轴方程为 （ 为奇数），所以 不是偶函数，B选项错误；
的对称中心为点 （ 为偶数），无法得到 ，D选项错误，
故选：C.
【例题精析9】 （2023·四川成都·统考二模）若奇函数 满足 ，且当 时，
，则 （ ）A． B． C．0 D．
【解答】由题意，对于奇函数 ，有 ，
由 ，
所以 ，
所以 ，
则函数 的周期是4，
所以 .，
故选：B．
【例题精析10】 （2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，函数
的图象关于直线 对称，且 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解答】由 ，得 ①
又函数 的图象关于直线 对称，所以函数 的图象关于 轴对称，即 ②
联立①②两式，可得 ，所以 ，
所以函数 的一个周期为8，又 ，
所以 ，故A，B，D错误.
故选：C.
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴
或对称中心．(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
【对点精练7】 （2023·广东深圳·统考二模）已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数，且
，则 _________.
【解答】因为 为奇函数，则 ，
所以， ，
在等式 中，令 ，可得 ，解得 ，
又因为 ，则 ，①
所以， ，②
由①②可得 ，即 ，
所以，函数 为周期函数，且该函数的周期为 ，
所以， .
故答案为： .
【对点精练8】 （2023·上海青浦·统考二模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足
， ，则 ________.
【解答】因为函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
因为 ，即 ，
所以，函数 为周期函数，且周期为 ，则 ，在等式 中，令 ，可得 ，所以， ，
因为 ，则 ，
因为 ，
所以，
.
故答案为： .
【对点精练9】 （2023·全国·模拟预测）若函数 的定义域为 ，且 ，则
______．
【解答】因为 ，所以， ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，又因为函数 的定义域为 ，所以 ．
由 ，可得 ，即 ，
所以， ，所以函数 的周期是 ，所以 ．
故答案为： .三、课堂总结：知识图谱四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•上海）下列函数是偶函数的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ，由正弦函数的性质可知， 为奇函数；
对于 ，由正弦函数的性质可知， 为偶函数；
对于 ，由幂函数的性质可知， 为奇函数；
对于 ，由指数函数的性质可知， 为非奇非偶函数．
故选： ．
2．（2021•全国）下列函数中为偶函数的是
A． B．
C． D．
【解答】解：对于 ， 的定义域为 ，不关于原点对称，故 不正确；
对于 ， 的定义域为 ，但 ，故 不正确；
对于 ， 的定义域为 ， ， 为奇函数，故 不正确；
对于 ， ，满足 ，故 为偶函数，故 正确．
故选： ．3．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 的定义域为 不恒为 ， 为偶函数， 为奇函
数，则
A． B． C． （2） D． （4）
【解答】解： 函数 为偶函数，
，
为奇函数，
，
用 替换上式中 ，得 ，
， ，即 ，
故函数 是以4为周期的周期函数，
为奇函数，
，即 ，
用 替换上式中 ，可得， ，
关于 对称，
又 （1） ，
（1） ．
故选： ．
4．（2021•甲卷）设 是定义域为 的奇函数，且 ．若 ，则A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 ，
又 ，
所以 ，
又 ，
则 ．
故选： ．
5．（2021•乙卷）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以函数 的对称中心为 ，
所以将函数 向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数 ，该函数的对称中心为 ，
故函数 为奇函数．
故选： ．
6．（2020•新课标Ⅱ）设函数 ，则
A．是奇函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增D．是偶函数，且在 单调递减
【解答】解：因为 ，
则 ，即 为奇函数，
根据幂函数的性质可知， 在 为增函数，故 在 为减函数， 在 为
增函数，
所以当 时， 单调递增，
故选： ．
7．（2020•海南）若定义在 的奇函数 在 单调递减，且 （2） ，则满足 的
的取值范围是
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D．
， ，
【解答】解： 定义在 的奇函数 在 单调递减，且 （2） ， 的大致图象如图：
在 上单调递减，且 ；故 ；
当 时，不等式 成立，
当 时，不等式 成立，
当 或 时，即 或 时，不等式 成立，
当 时，不等式 等价为 ，
此时 ，此时 ，
当 时，不等式 等价为 ，
即 ，得 ，
综上 或 ，
即实数 的取值范围是 ， ， ，
故选： ．
8．（2020•新课标Ⅱ）设函数 ，则
A．是偶函数，且在 ， 单调递增
B．是奇函数，且在 ， 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增
D．是奇函数，且在 单调递减
【解答】解：由 ，得 ．
又 ，为奇函数；
由 ，
．
可得内层函数 的图象如图，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
则 ， 上单调递减．
又对数式 是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得， 在 上单调递减．
故选： ．
9．（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ．函数关于 对称，函数为非奇非偶函数，
．函数的减函数，不具备对称性，不是偶函数，， ，
则函数 是偶函数，满足条件．
．由 得 得 ，函数的定义为 ，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，
故选： ．
10．（2019•上海）已知 ，函数 ，存在常数 ，使 为偶函数，则
的值可能为
A． B． C． D．
【解答】解：由于函数 ，存在常数 ，
为偶函数，
则： ，
由于函数为偶函数，
故： ，
所以： ，
当 时．
故选： ．
11．（2022•全国）设 是定义域为 的奇函数， 是定义域为 的偶函数．若 ，则
（2） ．
【解答】解：由 是定义域为 的奇函数，可得 （2）；
由 是定义域为 的偶函数，可得 （2）．若 ，则 （2） （2） ，①
又 （2） （2） ．②
① ②可得 （2） ，
即有 （2） ．
故答案为： ．
12．（2022•乙卷）若 是奇函数，则 ， ．
【解答】解： ，
若 ，则函数 的定义域为 ，不关于原点对称，不具有奇偶性，
，
由函数解析式有意义可得， 且 ，
且 ，
函数 为奇函数， 定义域必须关于原点对称，
，解得 ，
，定义域为 且 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
13．（2021•全国）已知函数 ，且 ，则 （2） ．
【解答】解：因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 （2） ．
故答案为： ．
14．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【解答】解： 时， ；当 时， ；
是奇函数．
故答案为： ．
另解：幂函数 即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，
综上所述，取 即可．
15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数 是偶函数，则 1 ．
【解答】解：函数 是偶函数，
为 上的奇函数，
故 也为 上的奇函数，
所以 ，
所以 ．
法二：因为函数 是偶函数，
所以 ，即 ，
即 ，
即 ，
所以 ．
故答案为：1．
16．（2020•江苏）已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是 ．
【解答】解： 是奇函数，可得 ，
当 时， ，可得 （8） ，
则 （8） ，
故答案为： ．
17．（2020•上海）若函数 为偶函数，则 1 ．
【解答】解：根据题意，函数 为偶函数，则 ，
即 ，
变形可得： ，
必有 ；
故答案为：1．
18．（2019•上海）已知函数 周期为1，且当 时， ，则 ．
【解答】解：因为函数 周期为1，所以 ，
因为当 时， ，所以 ，
故答案为： ．
19．（2019•新课标Ⅱ）已知 是奇函数，且当 时， ．若 ，则 ．【解答】解： 是奇函数， ，
又 当 时， ，
，
， ．
故答案为：
1．（2023•兴庆区校级一模）已知函数 是定义域为 且周期为 4 的奇函数，当 ， 时，
， ，则下列结论错误的是
A． （4）
B．函数 的图象关于 对称
C． 的值域为 ，
D．函数 有9个零点
【解答】解：由于 是定义域为 且周期为4的奇函数，对称中心为原点，对称轴为 ， ，
故 （ 4 ） ， ， 同 理
，故 正确；
因为 是周期为 4 的函数，故 也是周期为 4 的函数，据此取 ， ，此时
，此时在 处有最大值，故 ，故 错误；对称轴为 ， ，易知， 时， 正确；
由 ， 时， ，作出 与 的图象，结合 时， ，
时， ； 时， ； 时， ，如图所示， 与
共由9个交点，故 正确．
故选： ．
2．（2023•泸县校级模拟）已知函数 ，则
A． 在 上单调递增
B． 的图象关于点 对称
C． 为奇函数
D． 的图象关于直线 对称
【解答】解： ，
在 上单调递减，
故选项 错误；
，
的图象关于点 对称，故选项 、 错误；
， ，
故 的图象关于直线 对称，
故选项 正确；
故选： ．
3．（2021•丙卷模拟）已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：令 ，则 ，
，
，
，
是 上的奇函数，
可化为 ，
又 ，
，
所以 在 上是减函数，
，解得， ，
故选： ．
4．（2017•南关区校级模拟）函数 是 上的偶函数，且在 ， 上是增函数，若 （a）（2），则实数 的取值范围是
A． B． C． D． 或
【解答】解：由题意， 在 上为单调减函数，
从而有 或 ，
解得 或 ，
故选： ．
5．（2020•钦州模拟）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，函数 单调递增，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，函数 是定义在 上的奇函数，则函数 的图象关于点 对称，且
（1） ，
当 时，函数 单调递增，则 在 ， 上单调递增，且 （1） ，
所以 时， 与 同号，且 ， ，所以只需比较
时， 的大小关系即可．因为： ， ；
， ．
又 ，
故 ，
则有 ．
故选： ．
6．（多选题）（2023•建水县校级模拟）下列函数中，是奇函数且存在零点的是
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，化简得 ，显然没有实数根， 错误；
时，显然 ，该函数为奇函数，且 解得 ，所以 正确；
，显然该函数为偶函数， 错误；
，则 显然为奇函数，且由 得 ， ， 对．
故选： ．
7．（多选题）（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数 ，则
A． B． 是奇函数
C． 在 上单调递增 D． 的最小值为
【解答】解： ，故 项正确，
，故 是偶函数，故 项错误，
当 时， ，故 在 上单调递增，故 项正确，
由于 在 上单调递增，且 为偶函数，故 的最小值为 ， 正确，
故选： ．
8．（2023•宝山区校级模拟）设定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则不等式
的解集是 ， ， ．
【解答】解：当 ，则 ，此时 ，
是奇函数，
， ，
即 ， ，
当 时，由 ，得 ，
当 时， 成立，
当 时，由 ，得 ，即 ，则 ，
综上 或 ，
即不等式的解集为 ， ， ，
故答案为： ， ， ，
9．（2022•黄浦区模拟）已知函数 是奇函数，当 时， ，且 （3） ，则
．
【解答】解： 是奇函数， （3）
，当 时， ，
，
，
故答案为：
10．（2022•乌鲁木齐模拟）已知函数 ．若 （a） ．则 ．
【解答】解：根据题意：
其定义域为： 关于原点对称．
又
是奇函数
（a）
故答案为：
1．设函数 的定义域为 ，若存在非零实数 使得对于任意 ，有 ，且
，则称 为 上的 高调函数，如果定义域为 的函数 是奇函数，当 时，
，且函数 为 上的1高调函数，那么实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：定义域为 的函数 是奇函数，
当 时，图象如图，
为 上的1高调函数，当 时，函数的最大值为 ，要满足 ，
1大于等于区间长度 ，
，
故选： ．
2．（2018•青岛二模）若直角坐标平面内两点 、 满足条件：① 、 都在函数 的图象上；② 、
关于原点对称，则对称点 是函数 的一个“友好点对”（点对 与 看作同一个“友
好点对” ．已知函数 则 的“友好点对”有 2 个．
【解答】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数 的图象关于原点对称的图象，
看它与函数 交点个数即可．
如图，
观察图象可得：它们的交点个数是：2．
即 的“友好点对”有：2个．
故答案为：2．
3．已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数 是奇函数，给出以下四
个命题：
①函数 是周期函数；
②函数 的图象关于点 ， 对称；
③函数 是偶函数；
④函数 在 上是单调函数．
在上述四个命题中，正确命题的序号是 ①②③ （写出所有正确命题的序号）
【解答】解：对于①： 函数 是周期函数且其周期为3．①对
对于②： 是奇函数 其图象关于原点对称
又 函数 的图象是由 向左平移 个单位长度得到．函数 的图象关于点 ， 对称，故②对．
对 于 ③ ： 由 ② 知 ， 对 于 任 意 的 ， 都 有 ， 用 换 ， 可 得 ：
对于任意的 都成立．
令 ，则 ， 函数 是偶函数，③对．
对于④： 偶函数的图象关于 轴对称， 在 上不是单调函数，④不对．
故答案为：①②③．
