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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 08 练 函数的奇偶性、周期性和对称性（精练）
1.结合具体函数，了解奇、偶函数的概念和几何意义.
2.了解函数周期性的概念和几何意义.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .故选：D.
2．（2023·天津·高考真题）已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在 上的
函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；
故选：D
3．（2023·全国·高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
故选：B.
4．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
5．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且 ．
若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值
即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
二、多选题
6．（2022·全国·高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
三、填空题
7．（2023·全国·高考真题）若 为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.
【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.
8．（2022·全国·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（2024·山东泰安·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由奇函数性质可求得 的值，结合 计算即可.
【详解】由题意得，函数 为奇函数，且定义域为 ，由奇函数的性质得， ，解得 ，经过检验符合题意，
所以当 时， ，
所以 .
故选：D.
2．（2024·江西景德镇·三模）已知函数 是奇函数，则 时， 的解析式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，利用 时， 和 可求得 的解析式.
【详解】设 ，则 ，
所以 ，
又函数 是奇函数，所以 ，即 ， .
即 .
故选：C
3．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当
时， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据 在 上的奇函数，且 ，得到 的周期为4求解.【详解】解：因为 在 上的奇函数，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，则 的周期为 ，
所以 ，
故选：A
4．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结
合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的
解析式来分析函数的图象特征．则函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和函数值的符号性分析判断.
【详解】由题意可知： 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，可知 为奇函数，排除AB，
且 ，排除D.
故选：C.
5．（2024·重庆·模拟预测）已知 是周期为 的函数，且 都有 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的周期性与对称性可得解.
【详解】由已知 ，
即 ，
令 ，可知 ，即 ，
又函数 的周期为 ，
则 ，
故选：C.
6．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）函数 在 上单调递减，且为奇函数.若 ，则
满足 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据函数是奇函数将不等式等价变形，再根据函数的单调性列出关于x的不等式即可求解.
【详解】由 为奇函数，得 ，
所以不等式 等价于 .
又因为 在 上单调递减，
所以 ，即 .
故选：A
7．（2024·河北保定·二模）若函数 是定义在R上的奇函数，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．【答案】A
【分析】根据奇函数的性质可得 ，进而可得 ， ，即可求解.
【详解】设 ，则 ，即 ，
即 ，所以 .
因为 ，所以 ， .
故选：A
8．（2024·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 ，满足 .若 ，
则 （ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】由 ，得到 的周期为2求解.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 的周期为2，
， ，则 .
又 ，所以 .
又函数 的周期为2，所以 .
故选：B.
9．（2024·山东日照·二模）已知 是定义域为 的偶函数， ， ，若
是偶函数，则 （ ）
A． B． C．4 D．6【答案】D
【分析】根据 是偶函数，得到 关于 对称，即 ，结合 和
为偶函数即可得到 周期为4，故可求出 ，则 即可.
【详解】因为 是偶函数，
所以 的图象关于直线 对称，
即 ，
即 ，
所以 .
所以 关于点 中心对称.
又 是定义域为 的偶函数，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以函数 的周期为4.
所以 ，
所以 .
故选：D.
10．（2024·山东·二模）已知 为定义在 上的奇函数，设 为 的导函数，若
，则 （ ）A．1 B． C．2 D．2023
【答案】C
【分析】根据 进行 奇偶性和周期性的推导，得到 是周期为4的偶函数，
从而算出 的值.
【详解】因为 ，所以两边求导，得 ，
即 ①
因为 为定义在 上的奇函数，则 ，
所以两边求导，得 ，所以 是定义在 上的偶函数，
所以 ，结合①式可得， ，
所以 ，两式相减得， ，
所以 是周期为4的偶函数，
所以 .
由①式，令 ，得 ，所以 .
故选：C.
11．（2024·陕西榆林·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，
，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．-2
【答案】B
【分析】根据周期性即可代入求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 是以4为周期的周期函数，
所以 .
故选：B
12．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知定义在 上的函数 ，满足 ，
，若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数的对称性可知函数 的周期为4，且 、 ，利用 和
计算求出 即可.
【详解】由 ，知函数 关于点 对称，
由 ，知函数 关于直线 对称，
所以函数 的周期为 .
又 ，所以 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：D
二、多选题
13．（2024·湖南长沙·一模）下列函数中，是奇函数的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
由奇函数定义逐一判断即可.
【详解】对于A， 的定义域为全体实数，关于原点对称，且 ，
故A满足题意；
对于B，若 ，则 ，故B不满足题意；
对于C， 的定义域为 ，它关于原点对称，且
，故C满足题意；
对于D， 的定义域为 ，它关于原点对称，且
，故D满足题意.
故选：ACD.
14．（2024·重庆·模拟预测）函数 ， ，那么（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
【答案】BC
【分析】根据函数 的奇偶性，逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可.
【详解】因为 ，所以 为偶函数，因为 ，
即 ，所以 为奇函数，
所以 为非奇非偶函数，A错误；
，所以 为奇函数，B正确；
，所以 是奇函数，C正确；
令 ， ， 为偶函数，D错误.
故选：BC．
15．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知定义在 上的偶函数 满足 ，则下列命题
成立的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B．
C．函数 为偶函数 D．函数 为奇函数
【答案】BD
【分析】由 及奇偶性可得函数的周期性与对称性，进而判断各选项.
【详解】因为函数 为偶函数，
所以函数 关于 轴对称，且 ，又 ，
所以 ，且 ，
所以函数 关于点 中心对称，且周期为 ，
所以函数 关于 对称，A选项错误；
，B选项正确；由 向右平移一个单位得到，则 关于点 对称，为奇函数，C选项错误；
由 向左平移一个单位得到，则 关于点 对称，为奇函数，D选项正确；
故选：BD.
16．（23-24高三下·山东·开学考试）函数 满足：对任意实数x,y都有 ，且当
时， ，则（ ）
A． B． 关于 对称 C． D．
为减函数
【答案】ABC
【分析】利用赋值法，结合函数单调性的定义、对称性的性质逐一判断即可.
【详解】由对于任意实数 ，
令 ，则 ，即 ,故A正确；
令 ，则 ，即 ，故B正确；
令 ， ，则 ，
即 ，故C正确；
对于任意 ，则设 ，当 时， ，
则 ，即 ，
所以 单调递增，故D错误．
故选：ABC
17．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知 是定义在 上的不恒为零的函数，对于任意 都满
足 ，且 为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为奇函数C． 关于点 对称 D．
【答案】ACD
【分析】令 ，可判定A正确；令 ，得到 ，可判定C正确，B错误；根据
题意，推得 ，得到 的周期为 ，令 ，求得 ，结合函数的周期性，
求得 ，可判定D正确．
【详解】由对于任意 都满足 ，
令 ，则 ，所以A正确；
令 ，可得 ，即 ，
所以函数 关于点 对称，所以C正确，B错误；
又由 为偶函数知 关于直线 对称，即 ，
可得 ，则 ，所以 ，
所以函数 的周期为 ，令 ，则 ，
可得 ，
，
所以 ，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题18．（2024·海南·模拟预测）若定义在 上的奇函数 满足：当 时， ，则
.
【答案】
【分析】利用奇函数的定义直接求出函数值即可.
【详解】在 上的奇函数 ，当 时， ，
所以 .
故答案为：
19．（2024·四川雅安·三模）已知函数 是偶函数，则实数 .
【答案】
【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解.
【详解】 定义域为 ，
，
所以 ，
故 ，
故答案为：
20．（2024高三·全国·专题练习）设 是定义在 上的周期为2的函数，当 时，
，则 ．
【答案】
【分析】由 的周期为2得 ，代入解析式求值即可．
【详解】由 的周期为2得， ，故答案为：1．
21．（2024·河南·二模）已知函数 是偶函数，对任意 ，均有 ，当 时，
，则函数 的零点有 个.
【答案】4
【分析】转化为函数 的图象与 的图象的交点个数即可求解.
【详解】函数 是偶函数，说明函数 的图象关于 轴对称， 说明 的周期是
2，
在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象与 的图象，如图所示：
如图所示，共有4个不同的交点，即 有4个零点.
故答案为：4.
22．（2024·福建龙岩·一模）定义在 上的函数 满足 ，且 在 上单调递减，
则不等式 的解集为 .
【答案】
【分析】根据函数对称性和单调性得到不等式，解出即可.
【详解】因为函数 满足 ，则 关于直线 对称，
又因为 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
则由 得 ，即 ，解得 ，则解集为 ，
故答案为： .
23．（2024高三·全国·专题练习）设函数f(x)＝ ，则f( )＋f( )＋…＋f( )＝ ．
【答案】1 012
【详解】
∵ f(x)＝ ，∴ f(1－x)＝ ＝ ，
∴ f(x)＋f(1－x)＝ ＋ ＝1.
S＝f( )＋f( )＋…＋f( ) ①，
S＝f( )＋f( )＋…＋f( ) ②，
①＋②，得2S＝[f( )＋f( )]＋[f( )＋f( )]＋…＋[f( )＋f( )]＝2 024，
∴ S＝ ＝1 012.
四、解答题
24．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，且 时，
．
(1)求 时，函数 的解析式；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为奇函数，求出 时的解析式；（2）先得到函数在R上单调递减，结合函数的奇偶性，得到 对任意 恒成立，只需
，求出 ，得到答案.
【详解】（1）设 ，则 ，
时， ．
，
是定义在R上的奇函数，
，
故 ， ；
（2） 等价于 ，
时， 单调递减，
又 为定义在R上的奇函数，故 在R上为减函数，
所以 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
只需 ，
， ，
，
，即实数 的取值范围是 ．
25．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知函数 .
(1)判断 的奇偶性，并证明；
(2)解不等式 .【答案】(1)偶函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用奇偶性的定义判断；
（2）利用对数函数的性质直接解不等式即可.
【详解】（1）因为 定义域为 ，
所以有 ，即 ，
所以 的定义域为 ，关于原点对称，
又因为 ，
所以函数 在定义域上为偶函数.
（2） ，所以 即
因为 所以
故只需 即 解得
所以不等式的解集为 .
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024·天津·二模）函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性判断A；验证 的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D.
【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数 为奇函数，且 ，
对于A， ，为偶函数，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，为奇函数，当 时， ，
因为 ， 在 为单调递增函数，所以 在 单调递增，故C正确；
对于D，当 时， ， ，所以 时， ，
单调递增，当 时， ， 单调递减，故D错误，
故选：C.
2．（2024·山东济南·二模）已知函数 的定义域为R，若 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A
【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，函数 的定义域为R，
所以， 是定义域为R的奇函数，所以 ， ，
所以， ，故 ，
所以 是以4为周期的周期函数，
所以 .
故选：A
3．（2024·河北石家庄·二模）设 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时，
，则 的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可.
【详解】由题意知 ，则 ，
即 ，所以 ，
即 ，所以函数的周期为 ，
所以 ，
故选：B4．（2024·贵州毕节·三模）已知函数 是奇函数，若 ，则实数a的值为
（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.
【详解】因为函数 是奇函数，
所以 ，
解得 ，
又 ，
所以当 时，函数为增函数，当 时，函数为减函数，
因为 ，
所以 ，故 .
故选：B
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】D
【分析】令 ， 或 ，分类讨论可求 ，判断A；法一：令 ，可得
，进而可求 ，判断B；法二：令 ，可求 ，判断B；
法一：由B可得 ，可判断CD；法二 令 ，可得 ，判断CD.
【详解】 A：令 ，得 ，即 ，所以 或 ．
当 时， 不恒成立，故 ，A错误．B：解法一 令 ，得 ，又 ，所以 ，
故 ，B错误．
解法二 令 ，得 ，又 ，所以 ，B错误．
C：解法一 由B选项的解法一可知 ，则 ，所以 为奇函数，C错误，D
正确．
解法二 令 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 ，结合选项得C错误，D正确．
综上可知，选D．
故选：D.
6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 ，可将 转化为 ，结
合导数可得 在 上单调递增，即可得 .
【详解】由题可得 ，
所以 ，
即有 ，即 ，
故不等式 等价于 ，
又 ，当 时， ，故 ，
当 时，
， ，故 ，
即 恒成立，故 在 上单调递增，
故由 可得 ，即 .
故选：A.
7．（2024·江苏南通·三模）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数．若
，则 （ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线 对称和关于点 对称，则得到其周期，再计算其一个
周期内的和，最后代入计算即可.
【详解】 为偶函数，则 则 关于 对称，
为奇函数，则 ，
即 ，则关于点 对称，
则由其关于 对称有 ，则 ，
则 ，作差有 ，
为周期函数，且周期为4，因为 ， ，则 ，
因为 ， ，则 ，
，则 ，， ，
故选：C.
二、多选题
8．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当
时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B．
C．当 时， 的值域是
D．当 时，
【答案】ABD
【分析】根据原式得到其对称性，结合偶函数则得到其周期性，再利用其偶函数性质并结合其 的
解析式即可判断CD.
【详解】因为 ，则 关于直线 对称，
则 ，因为函数 是定义在 上的偶函数，
则 ，则 ，则B正确，
则
则 的图象关于直线 对称，故A正确；
对C，因为函数 是定义在 上的偶函数，则当 时， 的值域与 时值域相同，
当 时， ，显然其为增函数，则 的值域为 ，即 ，故C错误；对D，当 时， ，则 ，
当 时， ，根据 的周期为4，
则 ，故D正确；
故选：ABD.
9．（2023·山东·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， ，
，且 在 上单调递减，则（ ）
A． B．
C． 在 上单调递减 D． 在 上有50个零点
【答案】ABD
【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性一一计算即可.
【详解】由函数 的定义域为 ， 为奇函数可知： ，
令 ，得 ，故A正确；
由上可知 关于 中心对称，则 ，
因为 ，则 关于 轴对称，
且 ，
所以 的一个周期为4，即 ，故B正确；
因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，
由周期性知 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，故C错误；
易知 ，且 ，
合计得 在 上有 个零点，故D正确.
故选：ABD
10．（2024·全国·二模）已知 是定义在 上不恒为0的函数， 的图象关于直线 对称，且
函数 的图象的对称中心也是 图象的一个对称中心，则（ ）
A．点 是 的图象的一个对称中心
B． 为周期函数，且4是 的一个周期
C． 为偶函数
D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，借助平移变换分析函数 的性质，再逐项推理判断得解.
【详解】由 的图象关于直线 对称，得函数 关于 对称，即 为偶函数， ，
显然函数 图象的对称中心为原点，则函数 的图象的对称中心为 ，即 ，
对于A， ，则 是 图象的一个对称中心，A正确；
对于B，由 ，得 ，即 ，
， 是周期函数，8是该函数的一个周期，
若4是 的一个周期，则 ，而 ，从而 与已知矛盾，B错误；
对于C， ，因此 为偶函数，C正确；
对于D，由 ，得 ，则 ，D错误.
故选：AC
三、填空题
11．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数 的定义域是 ， ，
，当 时， ，则 ．
【答案】
【分析】根据已知关系式可推导求得 ，利用周期性和对称性可得 ，结合已
知函数解析式可求得结果.
【详解】由 得： ，
又 ， ，
， ，
.
故答案为： .
12．（2024·山东枣庄·一模）已知 为偶函数，且 ，则 ．
【答案】
【分析】由条件结合偶函数定义可得 ，由 结合周期函数定义证明
为周期函数，利用周期性及赋值法求结论.
【详解】因为 为偶函数，
所以 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以函数 为周期函数，周期为 ，
所以 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
13．（2024·全国·模拟预测）已知 为均不等于1且不相等的正实数．若函数 是奇函
数，则 ．
【答案】
【分析】借助奇函数的性质计算可得 ，即可得解.
【详解】因为函数 是奇函数，所以 ，
即 ，
即 ，则 ．
当 时， ，
所以 ，则 ，所以 ；当 时， 恒成立．
故答案为： ．
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 是奇函数， 是偶函数，
，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合 是奇函数， 是偶函数，推得函数 是周期为12的周期函数，
进而求得 的值，得到答案.
【详解】解法一因为 是奇函数，可得 ，所以 ，
又因为 是偶函数，可得 ，即 ，
所以 ，
所以 是周期为12的周期函数，则 ．
解法二 因为 是奇函数，可得 的图象关于点 对称，
又因为 是偶函数，可得 的图象关于直线 对称，
所以 是周期为 12的周期函数，所以 ，
因为 的图象关于直线 对称，所以 ，则 ．
故答案为： .
15．（2024高一·全国·专题练习）定义 上单调递减的奇函数 满足对任意 ，若
恒成立，求 的范围 .
【答案】
【分析】根据 为R上的奇函数且为减函数，可得出 对任意的 恒成立，这样求出的最小值，从而可得出 的取值范围.
【详解】因为 是定义在R上的奇函数，所以
，
又因 在R上单调递减，
所以 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立，所以 ，
设 ，对称轴 ，
所以当 时， ，
所以 .
故答案为： .
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且满足 ，
的导函数为 ，函数 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由 得 ，对 两边求导得 ，而，即有 ，由题意可得 的图象关于点 中心对称， ，从而 的周
期为 ，从而即可进一步求解.
【详解】因为 ，则函数 的图象关于点 中心对称，且 ．
由 ， ，得 ，
所以函数 的图象关于 对称， ．
根据图象变换的规律，由 的图象关于点 中心对称，
得 的图象关于点 中心对称， ，
则 的周期为 ， ，
故 ．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：关键是得出 的周期为 ，由此即可顺利得解.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 对任意 恒有 ，且当 时，
．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：令 ，求出 ，令 ，可证得函数 是奇函数，再由单调性的定义可得
函数 在 上单调递增，进而可求出 在区间 上的最大值，则 ，解不等
式即可求出实数 的取值范围；法二：令 可得函数 的单调性，进而可求出 在区间上的最大值，则 ，解不等式即可求出实数 的取值范围.
【详解】法一：令 ，得 ，所以 ；
令 ，则有 ，即 ，则 ，
故 是定义在 上的奇函数．
设 ，则 ，又当 时， ，
则有 ，即 ，
则 ，故 在 上单调递增．
所以当 时， ．
又因为存在 ，使得 成立，
所以 ，解得 ．故选D．
法二：令 ，则 ．因为 ，
当 时， ，所以 ，即函数 在 上单调递增．
因为存在 ，使得 成立，
所以 为 在区间 上的最大值．
因为 在 上单调递增， ，所以 ，
所以 ．解得 ，即实数 的取值范围为 ．
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于由赋值法证得函数 在 上单调递增，进而可求出在区间 上的最大值，则 ，解不等式即可求出实数 的取值范围.
3．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知 ， 都是定义在 上的函数，对任意x，y满足
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C． D．若 ，则
【答案】D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取 可判断B，对于
D，通过观察选项可以推断 很可能是周期函数，结合 的特殊性及一些已经证明的结
论，想到令 和 时可构建出两个式子，两式相加即可得出 ，进一步得
出 是周期函数，从而可求 的值.
【详解】解：对于A，令 ，代入已知等式得 ，得 ，故A
错误；
对于B，取 ，满足 及 ，
因为 ，所以 的图象不关于点 对称，
所以函数 的图象不关于点 对称，故B错误；
对于C，令 ， ，代入已知等式得 ，
可得 ，结合 得 ， ，再令 ，代入已知等式得 ，
将 ， 代入上式，得 ，所以函数 为奇函数.
令 ， ，代入已知等式，得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故C错误；
对于D，分别令 和 ，代入已知等式，得以下两个等式： ，
，
两式相加易得 ，所以有 ，
即： ，
有： ，
即： ，所以 为周期函数，且周期为3，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有 的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及
利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有 双变量，需
要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
二、多选题
4．（2024·云南·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足： ，且
，则下列说法中正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 关于点 对称
C．设数列 满足 ，则 的前2024项和为0
D． 可以是
【答案】ACD
【分析】对于A：令 ，解得 ，再令 结合偶函数定义分析判断；对于B：分析可知
是以4为周期的周期函数，关于直线 对称，进而可得结果；对于C：结合周期性分析运算；对于
D：举例说明即可.
【详解】因为 ，且 的定义域为 ，关于原点对称，
对于选项A：令 ，则 ，解得 或 ，
若 ，令 时， ，
这与 矛盾，故 ，
令 ，则 ，
即 ，可知 是偶函数，故A正确；对于选项B：当 时， ，故 ，
当 时， ，
即 ，则 ，
所以 ，故 是以4为周期的周期函数，
又因为 是偶函数，可得 ，
可知 关于直线 对称，则 ，
若 关于点 对称，则 ，
这与 矛盾，故B错误；
对于选项C：若 ，则 是周期为4的周期数列，
又因为 ，
且 ，所以 的前2024项和为0，故C正确；
对于选项D：令 ，则 ，即 ，
可设 ，经检验可知原条件均成立，
此时有 ，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
三、填空题5 ． （ 2024· 新 疆 · 一 模 ） 已 知 定 义 在 上 的 函 数 ， 满 足 ，
且 ， ，则 .
【答案】
【分析】
根据所给条件推出 为偶函数且周期为 ，再求出 、 、 ，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 为偶函数，
所以 ，
所以 ，所以 的周期为 ，
又 ， ，
所以 ， ， ，则 ，
，
所以 ，又 ，
所以
.故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由题干所给条件推出 的奇偶性与周期性.
6．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数 ，则关于x的不等式
的解集是 ．
【答案】
【分析】令 ，分析可知 为定义在 上奇函数，且在 上单调递减，根据奇偶性和单调
性解不等式.
【详解】令
因为 ，即 ，可知函数 的定义域为 ，
且 ，
所以 为 上的奇函数，
因为 ，
且 在 内单调递增，
则 在 内单调递增，可知 在 内单调递减，
又因为 在定义域内单调递增，则 在 内单调递减，
由奇函数可知 在 内单调递减，所以 在 上单调递减，
综上所述： 为定义在 上奇函数，且在 上单调递减，
由 ，则 ，
可得 ，则 ，解得： ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：1.构建函数 ，并判断 的单调性和奇偶性；
2.根据奇偶性和单调性解不等式.
7．（2024·福建漳州·模拟预测）已知 是定义域为 的函数 的导函数，曲线 关于 对称，
且满足 ，则 ； .
【答案】 ； /-0.5
【分析】构造函数 ，根据已知条件判断 的奇偶性和周期性，从而求得
，进而去求 ；再结合 的周期性，从而求得 .
【详解】因为曲线 关于 对称，
所以曲线 关于坐标原点对称，即函数 为奇函数.
又因为 ，所以 ， ，所以 .
因为 ，整理得 ，
令 ，则函数 为 上的可导奇函数， ，且 .
又 ，所以 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，且12为函数 的一个周期，
所以 ，
则 .因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
又 ，所以 ，所以函数 也是以12为周期的周期函数.
因为 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性和周期性；处理问题的关键一是构造函数 ；二
是能够数量掌握函数奇偶性和周期性的判断方法；三是准确的进行求导；属综合困难题.
8．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知奇函数 及其导函数 的定义域均为 ，若
恒成立，则 ．
【答案】1
【分析】题目条件变形得到 ，构造 ，得到 ，判断
出 为奇函数，进而求出一个周期为4，得到 ，且 ，根据奇函数得到
， 两边求导后，赋值求出答案.
【详解】奇函数 及其导函数 的定义域均为 ，
变形为 ，
令 ，则 ，又 为奇函数，故 ，
故 为奇函数，故 ，
即 ，所以 ，
又 ，故 ，
所以 的一个周期为4，
则 ，且 ，
其中 ，故 ，即 ，
由于 为R上的奇函数，故 ，
两边求导得 ，
令 得 ，解得 ，
故 .
故答案为：1
