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函数的奇偶性、周期性和对称性
2.3
1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
2.3 函数的奇偶性、周期性和对称性................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：函数的奇偶性.....................................................2
考点2：周期性...........................................................2
考点3：对称性...........................................................2
【常用结论归纳】.........................................................2
二、分类题型................................................................4
题型一 函数的奇偶性......................................................4
命题点1 判断函数的奇偶性............................................4
命题点2 函数奇偶性的应用............................................5
题型二 函数的周期性......................................................6
题型三 函数的对称性......................................................7
三、课堂总结：知识图谱......................................................9
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................10一、主干知识
考点1：函数的奇偶性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有
偶函数 关于y轴对称
－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有
奇函数 关于原点对称
－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
考点2：周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋
T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的
最小正周期．
考点3：对称性
函数的对称性
(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．【常用结论归纳】
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调
性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称．
(3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称．二、分类题型
题型一 函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
【例题精析1】 （2023·新疆·校联考二模）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析2】 （2023·重庆·统考模拟预测）函数 的部分图象是（ ）
A． B．C． D．
【例题精析3】 （2023·浙江台州·统考二模）已知函数 同时满足性质:① ;②当
时, ,则函数 可能为( )
A． B． C． D．
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等
价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
命题点2 函数奇偶性的应用
【例题精析4】 （2023·全国·高三专题练习）函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析5】 （2023·上海金山·统考二模）已知 是定义域为 的奇函数，当 时，，则 __________.
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知
区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
【对点精练1】 （2023·福建·统考模拟预测）函数 的图象大数为（ ）
A． B．
C． D．
【对点精练2】 （2023·广西玉林·统考三模）函数 ，若 ，则
________．
【对点精练3】 （2023·云南红河·统考二模）若函数 是偶函数，则 ______．
【对点精练4】 （2023·广东湛江·统考二模）已知奇函数 则 __________．题型二 函数的周期性
【例题精析6】 已知定义在 上的函数 满足 ， 为奇函数，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例题精析7】 （2023·广西南宁·统考二模）已知函数 ， 的定义域均为 ， 为 的导函数，
且 ， ，若 为偶函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知
区间上，进而解决问题．
【对点精练5】 （2023·陕西·统考二模）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶函数且 ，
则 （ ）
A．3 B． C． D．6
【对点精练6】 （2023·重庆九龙坡·统考二模）已知 是定义在 上的偶函数且 ，
是奇函数，则 ___________.题型三 函数的对称性
【例题精析8】 （2023·陕西商洛·统考二模）已知定义在 上的函数 满足 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． 的周期为2 B． 为偶函数
C． D．
【例题精析9】 （2023·四川成都·统考二模）若奇函数 满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A． B． C．0 D．
【例题精析10】 （2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，函数
的图象关于直线 对称，且 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴
或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
【对点精练7】 （2023·广东深圳·统考二模）已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数，且，则 _________.
【对点精练8】 （2023·上海青浦·统考二模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足
， ，则 ________.
【对点精练9】 （2023·全国·模拟预测）若函数 的定义域为 ，且 ，则
______．
三、课堂总结：知识图谱四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•上海）下列函数是偶函数的是
A． B． C． D．
2．（2021•全国）下列函数中为偶函数的是
A． B．
C． D．
3．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 的定义域为 不恒为 ， 为偶函数， 为奇函
数，则
A． B． C． （2） D． （4）
4．（2021•甲卷）设 是定义域为 的奇函数，且 ．若 ，则
A． B． C． D．5．（2021•乙卷）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是
A． B． C． D．
6．（2020•新课标Ⅱ）设函数 ，则
A．是奇函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增
D．是偶函数，且在 单调递减
7．（2020•海南）若定义在 的奇函数 在 单调递减，且 （2） ，则满足 的
的取值范围是
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
8．（2020•新课标Ⅱ）设函数 ，则
A．是偶函数，且在 ， 单调递增
B．是奇函数，且在 ， 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增
D．是奇函数，且在 单调递减
9．（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是
A． B．
C． D．10．（2019•上海）已知 ，函数 ，存在常数 ，使 为偶函数，则
的值可能为
A． B． C． D．
11．（2022•全国）设 是定义域为 的奇函数， 是定义域为 的偶函数．若 ，则
（2） ．
12．（2022•乙卷）若 是奇函数，则 ， ．
13．（2021•全国）已知函数 ，且 ，则 （2） ．
14．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数 是偶函数，则 ．
16．（2020•江苏）已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是 ．
17．（2020•上海）若函数 为偶函数，则 ．
18．（2019•上海）已知函数 周期为1，且当 时， ，则 ．
19．（2019•新课标Ⅱ）已知 是奇函数，且当 时， ．若 ，则 ．
1．（2023•兴庆区校级一模）已知函数 是定义域为 且周期为 4 的奇函数，当 ， 时，
， ，则下列结论错误的是A． （4）
B．函数 的图象关于 对称
C． 的值域为 ，
D．函数 有9个零点
2．（2023•泸县校级模拟）已知函数 ，则
A． 在 上单调递增
B． 的图象关于点 对称
C． 为奇函数
D． 的图象关于直线 对称
3．（2021•丙卷模拟）已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2017•南关区校级模拟）函数 是 上的偶函数，且在 ， 上是增函数，若 （a）
（2），则实数 的取值范围是
A． B． C． D． 或
5．（2020•钦州模拟）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，函数 单调递增，则
A．B．
C．
D．
6．（多选题）（2023•建水县校级模拟）下列函数中，是奇函数且存在零点的是
A． B． C． D．
7．（多选题）（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数 ，则
A． B． 是奇函数
C． 在 上单调递增 D． 的最小值为
8．（2023•宝山区校级模拟）设定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则不等式
的解集是 ．
9．（2022•黄浦区模拟）已知函数 是奇函数，当 时， ，且 （3） ，则
．
10．（2022•乌鲁木齐模拟）已知函数 ．若 （a） ．则 ．
1．设函数 的定义域为 ，若存在非零实数 使得对于任意 ，有 ，且
，则称 为 上的 高调函数，如果定义域为 的函数 是奇函数，当 时，，且函数 为 上的1高调函数，那么实数 的取值范围为
A． B． C． D．
2．（2018•青岛二模）若直角坐标平面内两点 、 满足条件：① 、 都在函数 的图象上；② 、
关于原点对称，则对称点 是函数 的一个“友好点对”（点对 与 看作同一个“友
好点对” ．已知函数 则 的“友好点对”有 个．
3．已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数 是奇函数，给出以下四
个命题：①函数 是周期函数；②函数 的图象关于点 ， 对称；③函数 是偶函数；④函
数 在 上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）
