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第 02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知偶函数 的图象关于点 中心对称，当
时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】偶函数 的图象关于点 中心对称，
则 ，且 ，故 ，
，故函数为周期为 的函数，
.
故选：C
2．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数 ，若 ，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，则 ，
同理，当 时， ，则 ，
且 ，可知函数 为奇函数；
当 时， ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，即 ，即 ，
所以 在 单调递增，且 为奇函数，所以 在 上单调递增.
则 ，即 ，即 ，
可得 ，且 ，所以 ，解得 ，
所以解集为 .
故选:A
3．（2023·河南·模拟预测）已知 是定义在R上的奇函数，且满足 ，当 时，
，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】因为 是定义在R上的奇函数，且满足 ，
所以 ， ，
则 ，即 ，
则 ，
即 是以 为周期的周期函数，又 ，当 时， ，
所以 .
故选：A
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 是定义在 上的函数，且 为奇函数， 为偶函
数，当 时， ，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 为奇函数，得 ，即 ，
又由 为偶函数，得 ，即 ，
于是 ，即 ，因此 的周期为8，
又当 时， ，则 在 上单调递增，
由 ，得 的图象关于点 成中心对称，则函数 在 上单调递增，
因此函数 在 上单调递增，由 ，得 的图象关于直线 对称，
， ， ，，显然 ，即有 ，即 ，
所以a，b，c的大小关系为 .
故选：D
5．（2023·辽宁丹东·统考二模）设函数 由关系式 确定，函数 ，
则（ ）
A． 为增函数 B． 为奇函数
C． 值域为 D．函数 没有正零点
【答案】D
【解析】由题意，
在函数 中， ，
可知 画以下曲线：
， ， ．
这些曲线合并组成 图象，是两段以 为渐近线的双曲线和一段圆弧构成．
因为 作 图象在轴右侧部分包括点 关于x轴对称，
得到曲线 ，再作 关于坐标原点对称，去掉点 得到曲线 ， 与 合并组成 图象．
由 图象可知， 不是奇函数， 不是增函数， 值域为R．
当 时， 图象与 图象没有公共点，从而函数 没有正零点．
故选：D.
6．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知函数 都是定义在 上的函数， 是奇函数，
是偶函数，且 ，则 （ ）A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010
【答案】A
【解析】因为 是偶函数，所以 ,由 知，
，所以 ，则f（x）为偶函数.
由 是奇函数可知， ，所以 ，则
，则 ，
所以 ，所以 ，则 ，所以 ，
则4为f（x）的一个周期.
由 得， ，则 ，所以 ，
由 得， ，即 ，所以 ,
由 ，得 ，又 1，所以 ；
在 中，令 ，得 ，所以 .
.
故选：A.
7．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数 ， 都是定义在R上的函数， 是奇函数，
是偶函数，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 是偶函数，所以 ．由 知，
，
所以 ，则 为偶函数．由 是奇函数可知， ，
所以 ，则 ，则 ，
所以 ，所以 ，则 ，
所以 ，则4为 的一个周期．
由 得， ，则 ，
所以 ，由 得， ，即 ，
所以 ．由 ，得 ，又 1，所以 ；在 中，令 ，得 ，
所以 ．
.
故选：A．
8．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数 在 上单调递增， 是奇函数，
的图像关于直线 对称，则 （ ）
A．在 上单调递减 B．在 上单调递增
C．在 上单调递减 D．在 上单调递增
【答案】C
【解析】 是奇函数，
，即 的图象关于点 对称，
又 在 上单调递增，
在 上单调递增，即 在 上单调递增.
由 ，可得 ，
由 图像关于直线 对称可知 为偶函数，
∴ 在 上单调递减，
，
，
是周期函数，最小正周期为4，
∵ ， ，
∴ 在 上的单调性和在 上的单调性相同，
在 上单调递减.
故选：C.
9．（多选题）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知非常数函数 及其导函数 的定义域均为R，
若 为奇函数， 为偶函数，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为非常数函数 及其导函数 的定义域均为R，
若 为奇函数，则 ，则函数 关于点 成中心对称，且 ，故选项A错误；
因为 ，令 ，则 ，故选项B正确；
因为 ，即 两边同时求导，则有 ，所以函数
关于直线 对称，
因为函数 为偶函数，所以 ，即 ，
两边同时求导，则有 ，所以 关于 成中心对称，
则导函数 的周期为 ，所以 ，故选项C正确；
因为函数 关于直线 对称，且 ，所以 ，故选项D正确，
故选：BCD.
10．（多选题）（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知函数 ，且满足
，则实数 的取值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AD
【解析】令 ，则 ，因为
，
所以 为奇函数.又因为 ，所以根据单调性的性质可得 为增函数.
因为 ，所以 ，等价于 ，即
，
所以 ，即 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：AD
11．（多选题）（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上最大值为2
B． 有两个零点
C． 的图像关于点 对称
D．存在实数 ，使 的图像关于原点对称【答案】AC
【解析】对于 ， ，
在 上单调递增，
，故 正确；
对于 的零点个数即方程 的实根个数，
即方程 的实根个数，即 与 图像的交点个数.
在同一坐标系中画出 与 图像如图所示：
两个函数图像只有一个交点，故B错误；
对于 ，若 的图像关于点 对称，
则有 对任意 恒成立.
恒成立，
的图像关于点 对称，故 正确；
对于 ，若存在实数 使 的图像关于原点对称，则 为奇函数.
令 对任意 恒成立，
即 恒成立，
即 对任意 恒成立，
则 ，上述方程组无解，故 错误.
故选：AC.12．（多选题）（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 的图象关于
直线 对称， ，又 ，则（ ）
A． 为偶函数 B． 的图象关于点 中心对称
C． 是奇函数 D．
【答案】AD
【解析】由 的图象关于直线 对称，
可得 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，故 为偶函数，A正确；
又因为 ，令 等价于 ，
则 ①，令 等价于 ， ②，
②减①可得： ，故 的周期为4，
又 ，所以 ③，
令 等价于 ，则 ④，因为 为偶函数，
③减④可得： ，故 是偶函数，故C不正确；
令 中 ，可得 ，
解得： ，故B不正确；
令 中 ，可得 ，
因为 ，则 ，
令 中 ，可得 ，
因为 ，则 ，由 ，
因为 的周期为4，且 ，
则 ，
，故D正确.
故选：AD.
13．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范
围为_________．【答案】
【解析】令 ，
因为 ，所以函数 为奇函数，
由函数 都是增函数，可得 为增函数，
，
则不等式 ，
即为 ，即 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
14．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，
为奇函数，则 _________．
【答案】
【解析】 为定义域为 的奇函数， ，解得： ；
由 得： ，
是周期为 的周期函数， .
故答案为： .
15．（2023·河南·校联考模拟预测）定义在 上的函数 满足 ，则
______．
【答案】1012
【解析】由 ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以 是以4为周期的周期函数．
令 ，得 ，所以 ，令 ，则 ，所以 ，
所以 ．
故答案为：1012．
16．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数 ，若
，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为 ，定义域为 ，
由 ，可知函数 为偶函数，
函数图象关于 轴对称，又由 ，
令 ，由 可知函数 为奇函数，
又由 ， （当且仅当 时取等号），
可得函数 单调递增，且当 时 ，
由一次函数 在区间 单调递增且函数值恒为正，可知函数 在区间 单调递增，
又由函数 为偶函数，可得函数 的增区间为 ，减区间为 ，
不等式 可化为 ，
必有 ，平方后整理为 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）已知 的周期为4，且等式 对任意 均成立，判
断函数 的奇偶性．
【解析】由 ，将 代入，得 ，
由 的周期为4，得 ，
所以 ，故 为偶函数．
18．（2023·全国·高三专题练习）利用定义证明函数 在区间 上为减函数.
【解析】任取 且 ，则 ，
因为 且 ，可得 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以函数 是 上的减函数.
19．（2023·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性.
(1) ，
(2)
【解析】（1）先看函数的定义域，要满足
所以x的取值范围为： .
可以发现，定义域是关于原点对称的，接着用定义判断奇偶性，
因为 ，所以原函数为偶函数.
（2）对于函数 ，先看函数定义域，
因为 ，所以 的定义域为 ，显然关于原点对称，
设函数 ，则有 ，所以 ，
所以原函数为偶函数.
20．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）求下列情况下 的值
(1)若函数 是偶函数, 求 的值．
(2)已知 是奇函数, 且当 时, ,若 , 求 的值．
【解析】（1）因为 ,
故 ,
因为 为偶函数,
故 ,
所以 ,
整理得到 ,
故 ;
（2）因为 是奇函数,且当 时,
,
因为 ,
,
所以 ,
化简可得 ,
解得: .
21．（2023·全国·高三专题练习）设 是定义在R上的偶函数，其图象关于直线 对称，对任意 ，
，都有 ，且 ．
(1)求f ；
(2)证明 是周期函数；
(3)记 ，求 ．
【解析】（1）因为对任意的 ，都有 ，
所以 ，
又 ，
， ，
∴ .
（2）设 关于直线 对称，故 ，
即 ，又 是偶函数，
所以 ，
∴ ，将上式中 以 代换，
得 ，
则 是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
（3）由（1）知 ，
∵，
又 ，∴ .
∵ 的一个周期是2，
∴ ，因此 ．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数
（ ）是奇函数．又已知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取
得最小值 ．
(1)证明： ；
(2)求 的解析式；
(3)求 在[4，9]上的解析式．
【解析】（1）证明：∵f (x)是以 为周期的周期函数，∴ ，
又∵ 是奇函数，∴ ，∴
（2）当 时，由题意可设 ，
由 ，得 ，∴ ，
∴ .
（3）根据（2）中所求，可知 ；又 在 上是奇函数，故 ，
故当 时，设 ，则 ，解得 .
故当 时， .
又 在 上是奇函数，故当 时， .
综上，则 时， .
因为 时， .
所以当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
综上所述， .1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
2．（2021·全国·高考真题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得： ，
而 ，
故 .
故选：C.
3．（2021·全国·统考高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
4．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
5．（2020·山东·统考高考真题）已知函数 的定义域是 ，若对于任意两个不相等的实数 ， ，总
有 成立，则函数 一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【解析】对于任意两个不相等的实数 ， ，总有 成立，
等价于对于任意两个不相等的实数 ，总有 .
所以函数 一定是增函数.
故选：C
6．（2020·海南·高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
7．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A【解析】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
8．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D.
9．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
，若 ， 均为偶函数，则（ ）A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
10．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____， ______．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【解析】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
12．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______.
【答案】1
【解析】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
