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2.3 函数的周期性及对称性考点一 函数的对称性
【例1-1】（1）（2024·四川南充·二模）已知函数 ，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
（2）（2024·河北唐山·一模）已知函数 的图像关于点 对称，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
（3）（2024江苏扬州）定义在 上的函数 和 的图象关于 轴对称，且函数 是
奇函数，则函数 图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（1）（2024·云南昆明）设 是定义域为 的奇函数，且 ，当 时，
， ．
（2）（2024·广西南宁）若函数 的图象关于直线 对称，则
．
【一隅三反】
1．（2024安徽合肥）已知 是定义在 上的奇函数，满足 ， ，则
（ ）
A．0 B． C．2 D．6
2．（2024上海）若直线 过函数 图象的对称中心，则 最
小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．93．（2024·河南·模拟预测）已知定义域为R的函数 的图象关于点 成中心对称，且当 时，
，若 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
4．（2023·河北衡水·一模）（多选）已知函数 的图象的对称轴方程为 ，则函数 的解析式可以是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024江苏）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 .① 是定义域为 的奇函
数；② ；③ .
考点二 函数的周期性
【例2-1】（2023·上海嘉定·三模）函数 ， 满足 ，当 ， ，
则 .
【例2-2】．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时，
，则 .
【例2-3】（2024·陕西榆林·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，
，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．-2
【例2-4】（2024·陕西西安·一模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，则以下说法错误的是
（ ）A． B． 是周期函数，且2是其一个周期
C． D．
【一隅三反】
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 是定义在R上的偶函数，且周期 .若当 时， ，
则 （ ）
A．4 B．16 C． D．
2．（2024山东淄博市）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在 上有 ，
则
A．2 B． C． D．
3（2024广西柳州）已知 是定义域为 的奇函数，且满足 .若 ，则
_______________.
考点三 函数对称性与周期性的综合运用
【例3-1】（2022·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2023·贵州黔西·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于 对称．若
，则 （ ）
A．3 B．2 C．0 D．50【例3-3】（2024·河南·模拟预测）已知 是定义在 上的函数，满足 ，且满足 为
奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数 图象关于直线 对称 B．函数 的周期为2
C．函数 图象关于点 中心对称 D．
【一隅三反】
1．（2024海南省）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ， ，则
（ ）
A． B．0 C．3 D．6
2．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶函数且 ，则
（ ）
A． B．0 C．2 D．4
3．（2024·山东菏泽）（多选）已知函数 的定义域为R， 为奇函数，且对 ，
恒成立，则（ ）
A． 为奇函数 B． C． D．
4．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数，
，则 =（ ）
A．4036 B．4040 C．4044 D．4048
考点四 函数四大性质综合运用
【例4-1】（1）（2023·河北邯郸·一模）已知函数 为偶函数，且函数 在 上单调递增，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为R， ，且 在 上单调递减，
则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【例4-2】（1）（2024广东）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函
数，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2023·新疆·校联考二模）已知函数 ，若 ， ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024江西宜春·开学考试）已知定义在R上的函数 在 上单调递增，且 为偶函数，则
不等式 的解集为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知定义域为 的函数 在 单调递减，且 ，则使得不等式 成立的实数 的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或 .
3.（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数 在 上单调递减， ，
为偶函数，当 时， ，若 ， ， ，则a，b，c的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024湖南长沙）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上 是增函
数，令 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 .
5．（2024·四川达州·二模）已知函数 满足 ，且 在 上单调递增，当
时， ，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点五 抽象函数的性质
【例5-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知函数 的定义域为 ，设 为 的导函数，
， ， ，则（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D．
【例5-2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）（多选）若函数 的定义域为 ，且 ，
，则（ ）
A． B． 为偶函数C． 的图象关于点 对称 D．
【一隅三反】
1．（2024·河南新乡·二模）已知函数 满足 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 是奇函数 C． 是奇函数 D． 是奇函数
2．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2024·山西吕梁·一模）已知函数 满足 ，则下列结论不正
确的是（ ）
A． B．函数 关于直线 对称 C． D． 的周期为3
考点六 奇函数+常数模型
【例6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 ．
【一隅三反】
1．（2024·山西临汾）已知函数 ，若 ，则 ．
2．（2024河南省）已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
一．单选题
1．（2024江西上饶）已知 ，若 ，则 （ ）A．4042 B．2024 C． D．
2（2024·山东烟台·一模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广西·模拟预测）已知定义在 上的函数 在 上单调递减，且 为偶函数，则不等
式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山东青岛·一模） ， ， ，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
5.（2024·江苏连云港）函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则说法不正确的是
（ ）
A． 为奇函数 B． 为周期函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
6．（2024黑龙江））已知定义在R上的偶函数 满足 ，当 时 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
7.（2023·四川成都·校考三模）已知函数 ,则不等式 的解集为
（ ）A． B．
C． D．
8（2023·河南·三模）我们称 为“二阶行列式”，规定其运算为 ．已知函数 的定义域
为 ，且 ，若对定义域内的任意 都有 ，则（ ）
A． B． 是偶函数 C． 是周期函数 D． 没有极值点
二．多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 ， 均为奇函
数，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·新疆·二模）已知 是定义域为 的函数，满足 ，当
时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为4
B． 的图象只关于直线 对称
C．当 时，函数 有5个零点
D．当 时，函数 的最小值为
11．（2024·广东韶关·二模）已知定义在 R 上的函数 的导函数分别为 ，且
， ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B．C． 的周期为4 D．
三．填空题
12．（2023·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点 对称的函数的解析式 ．
13．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 ，
，且当 时 单调递减，则 的解集为 ．
14．（2024·吉林白山·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，请
写出满足条件的一个 （答案不唯一）， ．
四．解答题
15．（2024重庆·阶段练习）函数 对任意的实数a，b，都有 ，且当 时，
.
(1)求 的值；
(2)求证： 是R上的增函数；
(3)解关于实数x的不等式 .16．（2024上海·阶段练习）设函数 的定义域 ,若对任意 ，均有 成立，则称
为“无奇”函数．
(1)判断函数① 和② 是否为“无奇”函数，说明理由；
(2)若函数 是定义在 上的“无奇”函数，求实数a的取值范围；
(3)若函数 是“无奇”函数，求实数m的取值范围．
17．（2024江苏淮安·期末）已知 是定义在R上的函数，满足： ， ，且
当 时， ．
(1)求 的值；
(2)当 时，求 的表达式；
(3)若函数 在区间 （ ）上的值域为 ，求 的值．18．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数 （
）是奇函数．又已知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最
小值 ．
(1)证明： ；
(2)求 的解析式；
(3)求 在[4，9]上的解析式．
19．（2024上海·期中）已知定义在全体实数上的函数 满足：① 是偶函数；② 不是常值函数；
③对于任何实数 ，都有 ．
(1)求 和 的值；
(2)证明：对于任何实数 ，都有 ；
(3)若 还满足对 有 ，求 的值．
