文档内容
第 04 讲 拓展一：非线性经验回归方程
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：指数型
题型二：对数型
题型三：幂函数型
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：非线性经验回归
当经验回归方程并非形如 ( ）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线
性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总
结如下：
曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式
建立非线性经验回归模型的基本步骤
1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；
2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；
3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性
经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；
4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；
5.消去新元，得到非线性经验回归方程；
6.得出结果后分析残差图是否有异常 ．知识点二：非线性经验回归类型
非线性回归方程主要分为三大类，指数型，对数型，幂函数型，做题关键在于变量之间的转换
1、指数型：
①类型一， ，处理方式是对方程两边取对数（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数
用的较多），比如 e为底数，取 ln，则现在方程变为 ，，将 进行换元，
，则非线性回归方程变成线性回归直线方程 ；
② 类 型 二 ， ， 此 为 类 型 一 的 变 式 ， 多 了 常 数 项 部 分 ， 常 见 的 变 化 形 式 为
（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数用的较多），令
，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
2、对数型：
①类型一，形如 ，则令 ，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
②类型二， ，两边同时消掉对数，（取什么底数判断方法同上）取 ，令 ，则
非线性回归方程变成线性回归直线方程
3、幂函数型：
①类型一， ， ， 等等，处理方式是将方程中幂函数部分换成一个新变量，
比如 ， ， ，然后将非线性回归方程变成线性回归直线方程
②类型二， ，做法同指数型，变化方式为两边取对数（底数判断方式同上） ，令
，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：指数型
典型例题
例题1．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）用模型 拟合一组数 ，若
， ，设 ，得变换后的线性回归方程为 ，则
（ ）
A．12 B． C． D．7
【答案】B【详解】由已知， ，所以 ，
， ，所以
，
由题意， 满足线性回归方程为 ，所以 ，所以 ，
此时线性回归方程为 ，即 ，
可将此式子化为指数形式 ，即为 ，
因为模型为模型 ，所以 ， ，
所以 .
故选：B.
例题2．（2022·广西桂林·模拟预测（文））一只红铃虫产卵数 和温度 有关，现测得一组数据
，可用模型 拟合，设 ，其变换后的线性回归方程为 ，若
， ， 为自然常数，则 ________.
【答案】
【详解】 经过 变换后，得到 ，根据题意 ，故 ，又
，故 ， ，故 ，于是回归方程
为 一定经过 ，故 ，解得 ，即 ，于是 .
故答案为： .
例题3．（2022·河南商丘·高二期末（文）） 网络是指第五代移动网络通讯技术，它的主要特点是传输
速度快，峰值传输速度可达每秒钟数十 .作为新一代移动通讯技术，它将要支持的设备远不止智能手机，
而是会扩展到未来的智能家居，智能穿戴等设备.某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内
逐月攀升，该公司1月份至6月份的经济收入 （单位：万元）关于月份 的数据如下表所示，并根据数
据绘制了如图所示的散点图.
月份 1 2 3 4 5 6
3
收入 6 11 23 72 124
7(1)根据散点图判断， 与 （ 均为常数）哪一个更适合作为经济收入 关于月份
的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？
(2)根据（1）的结果及表中数据，求出 关于 的回归方程（结果保留两位小数）；
(3)根据（2）所求得的回归方程，预测该公司7月份的经济收入（结果保留两位小数）.
参考公式及参考数据：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式为：
， ；
3.5 45.5 3.34 17.5 393.5 10.63 239.85
其中 ， （ ）.
【答案】(1) 更适合
(2)
(3)239.85万元
（1）由散点图可知， 更适合作为经济收入y关于月份x的回归方程类型.
（2） 的两边取自然对数，得 .因为 ， ， ，
，所以 ，
，所以 ，所以经济收入y关于月份x的回归方程为
.
（3）当 时， .预测该公司7月份的经济收入约为239.85万元.
例题4．（2022·福建三明·高二期末）在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量
高速增长．已知某地区2014年底到2021年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：201 201
年份（年） 2014 2016 2017 2019 2020 2021
5 8
年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8
保有量 /千辆 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70
(1)根据统计表中的数据判断， 与 哪一个更适合作为 关于 的经验回归方程（给出判断
即可，不必说明理由），并根据你的判断结果建立 关于 的经验回归方程；
(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比
相同．若2021年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2026年底传统能源汽车保有量将下降
10%．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．
参考数据：
， ， ，其中 ， ， ，
．
参考公式：
对于一组数据（ ， ），（ ， ），…，（ ， ），其经验回归直线 的斜率和截距的
最小二乘估计公式分别为 ；
【答案】(1) ，
(2)2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车
(1)根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是
令 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，
．
所以 ．
(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，
依题意得， ，解得 ，
设从2021年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y千辆，则有 ，
设从2021年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有
．
所以 ，
解得
故从2021年底起经过7年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二期末）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千
元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量 数据作了初步处理，
得到下面的散点图：
由此散点图可得，下面四个回归方程类型中最适宜作为年销售量y与年宣传费x的回归方程类型是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】从散点图看出，样本点分布在开口向右的抛物线（上支）附近,上升的趋势比较平缓，
因此对于A，图象是直线，不适合；
对于B， 时对应曲线是开口向上的抛物线，右侧部分上升趋势较快，不适合；
对于C， 时对应曲线是开口向右的抛物线，上支部分上升趋势较平缓，适合题意；
对于D,对应曲线是指数型曲线， 时上升趋势是越来越快，不适合，
故选：C．
2．（2022·全国·高二课时练习）一组数据如下表所示：
1 2 3 4
已知变量 关于 的回归方程为 ，若 ，则预测 的值可能为A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将式子两边取对数，得到 ，令 ，得到 ，
根据已知表格数据，得到 的取值对照表如下：
由上述表格可知：
， ，
利用回归直线过样本中心点，即可得 ，
求得 ，则 ，
进而得到 ，将 代入，
解得 .
故选：C.
3．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高二阶段练习）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车
活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某
线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用 表示活动推出的天数， 表示每
天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
表1：
1 2 3 4 5 6 7
1 3
6 21 66 101 196
1 4
根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.
参考数据：62.14 1.54 2535 50.12 3.47
其中
参考公式：
对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
(1)根据散点图判断，在推广期内， 与 ( 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付
的人次 关于活动推出天数 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表1中的数据，求 关于 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的
人次；
【答案】(1) 适宜
(2) ，3470
(3)1.66元
(1)根据散点图判断， 适宜作为扫码支付的人数 关于活动推出天数 的回归方程类型;
(2)∵ ，两边同时取常用对数得: ;
设
，
，
把样本中心点 代入 ，得: ，
，
关于 的回归方程式: ;
把 代入上式: ;
活动推出第8天使用扫码支付的人次为 ;
4．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收
集数据如下：天数x/天 1 2 3 4 5 6
4
繁殖个数y/个 6 12 25 95 190
9
(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量， 与y= 哪一个作为繁殖的个数y关于时间x变
化的回归方程类型为最佳？（给出判断即可，不必说明理由）
62
3.5 ． 3.53 17.5 596.505 12.04
83
其中 ；
(2)根据（1）的判断最佳结果及表中的数据，建立y关于x 的回归方程．
参考公式： ，
【答案】(1)选y=
(2)
(1)
由散点图看出样本点分布在曲线周围，不是直线周围，于是选择y=
(2)由（1）可知y=
令 ，则则
，则
则有
题型二：对数型
典型例题
例题1．（2022·河南郑州·高二期末（文））目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领
导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．为了应对最新型的奥密克戎病毒，各大药物企
业积极投身到新疫苗的研发中．某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实
验，结果显示临床疗效评价指标 的数量 与连续用药天数 具有相关关系．刚开始用药时，指标 的数
量 变化明显，随着天数增加， 的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据 ，
， 表示连续用药 天， 表示相应的临床疗效评价指标 的数值．该药企为了进一步
研究药物的临床效果，建立了 关于 的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得 与 的线性回归方程： ；
模型②：由样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线： 的附近，令 ，则有
， ， ， ．
(1)根据所给的统计量，求模型②中 关于 的回归方程；
(2)根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠；
(3)根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，临床疗效评价指标 相对于用药半个月的变化情
况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．
回归模型 模型① 模型②
残差平方和 102.28 36.19
参考数据： ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33
(1)解：由题意，知 ， ，
所以 ， ，又由 ，
，
则 ，
所以，模型②中y关于x的回归方程 ；
(2)由表格中的数据，可得 ，
即 ，
所以模型①的 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好；
(3)根据模型②，当连续用药30天后， ，
连续用药15天后， ，
∵ ，
∴用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33．
例题2．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））受北京冬奥会的影响，更多人开始关注滑雪运动，但由
于室外滑雪场需要特殊的气候环境，为了满足日益增长的消费需求，国内出现了越来越多的室内滑雪场.某
投资商抓住商机，在某大学城附近开了一家室内滑雪场.经过6个季度的经营，统计该室内滑雪场的季利润
数据如下：
第 个季度 1 2 3 4 5 6
季利润 （万元） 2.2 3.6 4.3 4.9 5.3 5.5
根据上面的数据得到的一些统计量如下：
4.3 0.5 101.4 14.1 1.8
表中 ， .
(1)若用方程 拟合该室内滑雪场的季利润 与季度 的关系，试根据所给数据求出该方程；
(2)利用（1）中得到的方程预测该室内滑雪场从第几个季度开始季利润超过6.5万元；
附：线性回归方程 中， ， .参考数据：【答案】(1) ；
(2)第12个；
(3)分布列见解析，期望为2.
（1）由 ，先求y关于u的线性回归方程 .由已知数据得
，故 ，所以y关于u的回归方程为
，故y关于x的回归方程为 ；
（2）令 ，得 ，所以 ，故预测从第12个季度开始季利润
超过6.5万元；
同类题型归类练
1．（2022·福建省尤溪第一中学高二期末）目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领
导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．
汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价
指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系．刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增
加，y的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据 ， ，2，3，4，5，…，10，
表示连续用药i天， 表示相应的临床疗效评价指标A的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，
建立了y关于x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程： ；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线： 的附近，令 ，则有
， ， ， ．
(1)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；
(2)根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．
(3)根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一
个月以30天计，结果保留两位小数）．
回归模型 模型① 模型②
残差平方和
102.28 36.19附：样本 （ ，2，…，n）的最小二乘估计公式为 ， ；相关指数
，参考数据： ．
【答案】(1)
(2)回归模型②刻画的拟合效果更好
(3)17.33
(1)由题意，知 ， ，可得 ， ，又由
，则 ，所以，
模型②中y关于x的回归方程 ；
(2)由表格中的数据，可得 ，即 ，所以模型①的 小于模型②，说
明回归模型②刻画的拟合效果更好；
(3)根据模型②，当连续用药30天后， ，连续用药15天后， ，∵
，
∴用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33．
2．（2022·全国·高二课时练习）发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村
不仅找准了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地．通过种植黄精，华溪村村民的收入逐
年递增．以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：
201 201
年份 2015 2016 2017 2019 2020
4 8
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
每户平均可支配收入 （千元） 4 15 22 26 29 31 32
根据以上数据，绘制如图所示的散点图：(1)根据散点图判断， 与 哪一个更适宜作为每户平均可支配收入 （千元）关于年份
代码 的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并建立 关于 的回归方程（结果保留1位小
数）；
(2)根据（1）建立的回归方程，试预测要到哪一年华溪村的每户平均可支配收入才能超过35（千元）；
参考数据：
22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2
其中 ， ．
参考公式：线性回归方程 中， ， ．
【答案】(1) 更适宜作为每户平均可支配收入 （千元）关于年份代码 的回归方程模型，
；
(2)到2022年每户平均可支配收入才能超过35（千元）；
(3) .
(1)解：根据题中散点图，得 更适宜作为每户平均可支配收入 （千元）关于年份代码 的回归
方程模型．由已知数据，得 ，
故 ，故 关于 的回归方程为
(2)
解：由题知，令 ，整理，得 ，即 ．
故当 时，即到2022年每户平均可支配收入才能超过35（千元）．
题型三：幂函数型
典型例题
例题1．（2022·全国·高二期末）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 (单位：
千元)对年销售量 (单位：t)的影响，对近8年的年宣传费 和年销售量 数据作了初步处
理，得到下面的散点图：
由此散点图可得，下面四个回归方程类型中最适宜作为年销售量 与年宣传费 的回归方程类型是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】从散点图看出，样本点分布在开口向右的抛物线（上支）附近,上升的趋势比较平缓，
因此对于A，图象是直线，不适合；
对于B， 时对应曲线是开口向上的抛物线，右侧部分上升趋势较快，不适合；
对于C， 时对应曲线是开口向右的抛物线，上支部分上升趋势较平缓，适合题意；
对于D,对应曲线是指数型曲线， 时上升趋势是越来越快，不适合，
故选：C．
例题2．（2022·河南信阳·高二期末（文））设关于某产品的明星代言费 （百万元）和其销售额 （千万
元），有如下表的统计表格：
1 2 3 4 5 合计（百万元） 1.26 1.44 1.59 1.71 1.82 7.82
（百万元） 2.00 2.99 4.02 5.00 6.03 20.04
（百万元） 3.20 4.80 6.50 7.50 8.00 30.00
， ， ， ， ， ，
表中 ．
(1)在坐标系中，作出销售额y关于广告费x的回归方程的散点图；
(2)根据散点图指出： ， 哪一个适合作销售额 关于明星代言费 的回归方程（不需
要说明理由），并求出此回归方程．
附：对于一组数据 ， ，……， ，其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为： ， ．
【答案】(1)答案见解析
(2) 适合，（1）解：散点图如下：
（2）根据散点图可知， 适合作销售额y关于明星代言费x的回归类方程；令 ，则
是y关于w的线性回归方程，由已知条件得， ， ，
所以 ，故回归方程为：
例题3．（2022·四川雅安·高二期末（理））某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，
第x天的高度为y cm，测得一些数据如下表所示：
2
第x天 1 4 9 16 36 49
5
1
高度y/cm 0 4 7 9 12 13
1
作出这组数的散点图如下
(1)请根据散点图判断， 与 中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第196天这株幼苗的高度（结果保
留整数）．附： ， 参考数据：
140 28 56 283
【答案】(1) 更适宜
(2) ；预测第196天幼苗的高度大约为29cm
(1)根据散点图， 更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；
(2)令 ，则 构造新的成对数据，如下表所示：
x 1 4 9 16 25 36 49
1 2 3 4 5 6 7
y 0 4 7 9 11 12 13
容易计算， ， ．通过上表计算可得：
因此
∵回归直线 过点 ，∴ ，
故y关于 的回归直线方程为
从而可得：y关于x的回归方程为
令 ，则 ，所以预测第196天幼苗的高度大约为29cm．
例题4．（2022·辽宁·高二阶段练习）某企业积极响应“碳达峰”号召，研发出一款性能优越的新能源汽车，
备受消费者青睐.该企业为了研究新能源汽车在某地区每月销售量 （单位：千辆）与月份 的关系，统计
了今年前5个月该地区的销售量，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中 .
(1)根据散点图判断两变量 的关系用 与 哪一个比较合适？（给出判断即可，不必说
明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程（ 的值精确到 ），并预测从今年几
月份起该地区的月销售量不低于 万辆？
附：对于一组数据 ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘法估计
分别为 .
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(1) 比较合适(散点图中点的分布不是一条直线,相邻两点的纵坐标的差值是增大趋势,所以
比较合适)
(2)设 ,则 ，
先建立y关于t的回归方程
则
所以y关于t的回归方程为 ，因此y关于x的回归方程为
令 ，解得 或 （舍去），
故估计从今年8月份起该地区的月销售量不低于 万辆.
同类题型归类练
1．（2022·山东聊城·高二期末）网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我
们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心APP”推出
后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计，该地区网
络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据.
x（个） 1 2 3 4 5 6 7
y（件） 891 888 351 220 200 138 112
(1)根据以上数据，判断 与 哪一个适宜作为回归方程模型？根据判断结果，求
出y关于x的回归方程；
(2)分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下.
参考数据（其中 ， ， ， ， .
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二
乘估计公式分别为： ， .
【答案】(1)
(2)两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下
(1)由表中数据可得 更适宜.
，
令 ，设y关于t的线性回归方程为 ，
则
则 ，
故y关于x的回归方程为(2)由回归方程 可知，随x的增大，y逐渐减少，
当 时， ，
故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下.
2．（2022·湖北·高二期末）快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈．某快递网点需了解一天中收发一
件快递的平均成本 （单位：元）与当天揽收的快递件数即揽件量 （单位：千件）之间的关系，对该网
点近 天的每日揽件量 （单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本 （单位：元）（
）的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值．
表中 ， ．
(1)根据散点图判断 与 哪一个更适宜作为 关于 的经验回归方程类型？并根据判断结果
及表中数据求出 关于 的经验回归方程；
(2)已知该网点每天的揽件量 （单位：千件）与单件快递的平均价格 （单位：元）之间的关系是
，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的
经验回归方程解决以下问题：
①预测该网点某天揽件量为 千件时可获得的总利润；
②单件快递的平均价格 为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？
附：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率和截距的最
小二乘估计分别为 ， ．
【答案】(1) 更适宜作为 关于 的经验回归方程类型，
(2)① 元；②单件快递的平均价格 元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大.(1)由散点图可知： 更适宜作为 关于 的经验回归方程类型；
令 ，则 ， ，
关于 的经验回归方程为： .
(2)设收发 千件快递获利 千元，则 ；
①当 时， ，即该网点某天揽收 件快递可获得的总利润约为 元．
② ，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，此时 ；
单件快递的平均价格 元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大.
3．（2022·河北承德·高二阶段练习）某制造企业从生产的产品中随机抽查了1000件，经检验，其中一等
品有800件，二等品有150件，次品有50件.若销售1件该产品，一等品的利润为200元，二等品的利润为
100元，次品直接销毁，亏损200元.
(1)用样本估计总体，估计该制造企业随机销售1件产品的利润的期望值.
(2)根据统计，该制造企业在2021年12月至2022年5月的产量 （万件）与月份编号（记2021年12月，
2022年1月， 编号分别为 近似满足关系式 ，相关统计量的值如下：
.根据所给的统计量，求 关于 的
回归方程，并估计该制造企业2022年8月份的利润为多少万元.（结果精确到 ）
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
【答案】(1)165元
(2) ，估计该制造企业2022年8月份的利润为 万元
(1)因为该制造企业生产的产品中一等品､二等品和次品的频率分别为 ，所以该制造企业随机销售1件产品的利润 的分布列为
200 100
所以 ，
即估计该制造企业随机销售1件产品的利润的期望值为165元.
(2)因为 ，所以 .
令 ，则 .
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以回归方程为 .
当 时， ，
故估计该制造企业2022年8月份的利润为 万元.
4．（2022·海南中学高三阶段练习）设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为 ，测得的一些数据如下
表所示：
第x天 1 4 9 16 25 36 49
高度 0 4 7 9 11 12 13
作出这组数据的散点图发现： 与x（天）之间近似满足关系式 ，其中a，b均为大于0的
常数．
(1)在这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于 的点的个数
为 ，其中 为表格中所给的幼苗高度的平均数，求 的分布列和数学期望；
(2)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出y关于x的经验回归方程．附：线性回归方程 中， ，其中 为样本平均量．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
(1) ，
7天中幼苗高度大于 的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3
天，所以这3个点中幼苗的高度大于 的点的个数 的取值为0，1，2，3，
； ； ； ；
所以随机变量 的分布列为：
随机变量 的期望值 .
(2)令 ，则 ，根据已知数据表得到如下表：
x
y
，
通过上表计算可得： ，
因为回归直线 过点 ，所以 ，
故y关于 的回归方程 .
