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1.1 集合考点一 集合中元素的互异性
【例1-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意 .故选：D.
【例1-2】（2024江苏宿迁）若 ，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 时，则 ，符合题意，
当 时，有 或 ，已知当 时符合题意，
当 时，则 ，符合题意，
故 的取值集合为 .
故选：C.
【例1-3】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合 中只有一个元素，则实数 （ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
【答案】D
【解析】当 时，由 可得 ，满足题意；
当 时，由 只有一个根需满足 ，解得 .
综上，实数 的取值为0或1.故选：D
【一隅三反】
1．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合 ，若 ，则实数m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
【答案】C【解析】设集合 ，若 ，
， 或 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
所以 或 .故选：C
2.（202,4·北京）已知集合 ，且 ，则a可以为（ ）
A．－2 B．－1 C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
可知 ，故A、C、D错误； ，故B正确.故选：B
3.（2024浙江）已知 ， ，若集合 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时，不满足集合元素的互异性，故 ， ， ，故选：B.
考点二 集合间的关系（无参型）
【例2-1】（2023·北京）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
⫋
【答案】A
【解析】 ， ，则 .故选：A.
⫋
【例2-2】（2024·广东·一模）已知集合 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由集合 ， ，得 .故选：D
【一隅三反】
1．（2024·福建福州）已知集合 ，则下列关系中，正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合 ，
对于A，因为 ，故选项A错误；
对于B， 是一个集合，且 ，故选项B错误；
对于C，因为集合 ，所以集合 与集合 不存在包含关系，故选项C错误；
对于D，因为集合 ，任何集合都是它本身的子集，所以 ，故选项D正确，
故选：D.
2．（2023·宁夏银川）下列集合关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A：集合 为点集，含有元素 ，集合 含有两个元素 ， ，
所以 不包含于 ，故A错误；
对于B： ，故B正确；
对于C： ，故C正确；
对于D：因为 ，所以 ，故D正确；故选：A
考点三 集合间的运算（无参型）
【例 3-1】（2023·全国·高考真题）设全集 ，集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，则 .故选：A.
【例3-2】（2023·北京·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ， ，
根据交集的运算可知， .故选：A
【例3-3】（2023·全国·高考真题）设全集 ,集合 ，
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为整数集 ， ，所以，
．故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高考真题）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为全集 ，集合 ，所以 ，又 ，所以 ，故选：A.
2．（2024·陕西西安·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解不等式 得 ，解不等式 得 ，所以 .故选： .
3．（2023·全国·高考真题）设集合 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或 ，选项C错误；
或 ，则 或 ，选项D错误；
故选：A.
4．（2024·四川成都·二模）如图，已知集合 ，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ， ，
即阴影部分表示的集合为 ，故选：B5．（2024·辽宁·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，所以 ，故选：B
考点四 子集的个数
【例4-1】（2024·四川·模拟预测）已知集合 ，则集合 的子集有（ ）个
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】 ，故集合 的子集有
个.故选：D
【例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则满足条件的集合 的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由 可得 且 ，根据 为 的真子集，
可得 或 或 ，故满足条件的集合 的个数为3.
故选：A
【例4-3】（2024·湖南邵阳·二模）若集合 ，集合 ，则 的真子集
个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．31
【答案】B
【解析】由 ,得 ，故 ；由 ，得 ，故 ，则 ，故 的真子集个数为 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2024内蒙古鄂尔多斯）已知集合 ，则集合 的真子集个数为（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】C
【解析】由 ，解得 ， ，所以集合A的真子集有
个.
故选：C.
2．（2024广东广州）设集合 ，则 的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】令 ，解得 或 ，故 ，则 的子集个数是 个.
故选：D
3．（2024·重庆·一模）已知集合 ， ，则 的真子集个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
，则 ，
所以， 的真子集个数为 .故选：C.
4．（2023·山东·模拟预测）满足条件 的集合 有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【解析】∵ ，∴ 或 或 或 ，共4个．故选：C．
考点五 集合间的关系求参
【例5-1】（2024辽宁）已知集合 ，若 ，则由实数 的所有可能的取值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ,满足题意.当 时， ，
若 ，则 或 ，即 或 综上所述， 的所有取值为 故选：D
【例5-2】（2023·全国·高考真题）设集合 ， ，若 ，则 （ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
【例5-3】（2024·辽宁抚顺·一模）已知集合 ， ，若 ，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，即 ，解得 ，所以 ，
又 且 ，所以 或 ，故符合题意的只有B选项.选：B
【例5-4】（2024·江西鹰潭·一模）已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， 或 ，因为集合 ， ，所以 ，故选：A.
【例5-5】（2023·江苏镇江·模拟预测）若集合 ,则能使 成立的
所有 组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时,即 , 时成立;
当 时,满足 ,解得 ;综上所述: .故选:C.
【一隅三反】
1．（2023·四川绵阳·一模）集合 ， ，且 ，实数 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
【答案】D
【解析】由集合 ，且 ，又由 ，可得 ，
当 时，此时集合 ，满足 ；
当 时，可得 ，要使得 ，则满足 或 ，解得 或 ，
综上可得，实数 的值为 或 或 .故选：D.
2．（2024·广东广州·一模）设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，即 ，此时 ，
由 ，得 ，而 ，所以 .故选：A
3．（2024·黑龙江·二模）已知 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】因为 ， ，
又 ，所以 ，故 .故选：A.
4．（2024·安徽阜阳·一模）设集合 或 ，集合 ，且 ，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 或 ， ，且 ，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .故选：B．
5．（2024陕西）已知集合 或 ， ，若 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】】当 时， 无解，此时 ，满足题意；
当 时， 有解，即 ，
若 ，则 ，所以要使 ，需满足 ，解得 ；
若 ，则 ，所以要使 ，需满足 ，解得 .
综上，实数a的取值范围为 .故选：A.
考点六 函数集合
【例6】（2024·广东·一模）已知集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，有 ，即 ，所以 ；
由 令 ，根据二次函数的性质有 ，
所以 ，又因为 ，所以 ， ；所以 .故选：D
【一隅三反】
1．（2024·河南·一模）集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．R
【答案】C
【解析】因函数 的定义域为R，值域为 ，故 ， ，故 .故选：C.
2．（2024·江西·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知 因为 ，所以 ，故
，故 .选：A.
3．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要使函数 有意义，则有 ，解得 或 ，所以 或 ，
由 ，得 ，所以 ．故选：D.4.（2024湖南）设集合A＝ ，集合B＝ .则A B＝
（ ）
A． B． C． D．R
【答案】D
【解析】由 得 ，所以 ，
， 时， ，
， ，由勾形函数知 在 上递减，在 上递增，
时， ， 时， ， 时， ，所以 ，
所以 ，即 ， ，所以 ．故选：D．
考点七 点集
【例7-1】（2024·陕西榆林·二模）若集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对A：依题意可得 ，故A错误；
对B： 即为 与 的交点，即 ，解得 或 ，即 ，故B错误；
对C： ，故C正确.对D： ，故D错误；故选：C.
【例7-2】（2023·广东广州·模拟预测）已知集合 ，则集合
的子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】集合B中圆的半径为1，圆心 到集合A中直线的距离 ，所以直线与圆相交，有两个交点，所以集合 中有两个元素，其子集个数为4.故选：A.
【例7-3】（2024湖北黄冈）已知集合 ， .若
，则实数 （ ）
A．3 B． C．3或 D． 或1
【答案】A
【解析】因为 ，所以直线 与直线 没有交点，
所以直线 与直线 互相平行，
所以 ，解得 或 ，
当 时，两直线为： ， ，此时两直线重合，不满足，
当 时，两直线为： ， ，此时两直线平行，满足，所以 的值为 ，故选：A.
【一隅三反】
1．（2024安徽合肥）已知集合 ， .若 ，则实数
（ ）
A．-3 B． C． D．3
【答案】B
【解析】因为 ，所以直线 与直线 平行，
所以 所以 . 经检验，当 时，两直线平行.故选：B.
2（2024·上海）已知 ，则 （ ）
A．0 B．2 C． D．0或2
【答案】B
【解析】当 时，由 知， ，又 ，所以 ，不满足集合元素的互异
性；
当 时，由 知， ，又 ，无解；
当 时，由 知， ，又 ，无解；
当 时，由 知， ，又 ，所以 ，所以 ；
综上，则 2.故选：B3（2023·安徽合肥·三模）已知集合 ，集合 ，则集合 的真子集个数
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立 可得 ，因为 ，解得 ，
所以，方程组 的解为 或 ，所以， ，
所以，集合 的真子集个数为 .故选：C.
4．（2024·内蒙古通辽）已知集合 ，则集合 的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合 ，
所以集合 中的元素个数为9，故其真子集的个数为 个，故选:
5．（2024·河南新乡·二模）（多选）已知 ，集合 ， ，
， ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】 表示过定点 ,且斜率为 的直线的点构成的集合，
表示过定点 且斜率为 的直线的点构成的集合，
表示圆心为 ，半径为 的圆上的点构成的集合，表示圆心为 ，半径为 的圆上的点构成的集合，
对于A，集合 中的直线平行，故 ，故A正确，
对于B，由于 ，故 在圆 内，
故经过点 的直线与圆相交， ，故B正确，
对于C，由于 ，故 在圆 外，
故当经过点 的直线与圆相离时，此时 ，故C错误，
对于D，由于 ，故两圆相交， ，D错误，故选：AB
考点八 集合与其他知识综合
【例8-1】（2023·全国·高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列 中， ，
显 然 函 数 的 周 期 为 3 ， 而 ， 即 最 多 3 个 不 同 取 值 ， 又
，
则在 中， 或 ，
于是有 ，即有 ，解得 ，
所以 ， .
故选：B
【例8-2】（2024河南信阳）点集 表示的曲线总长度等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知： ，解得 ，
因为 ，则 或 ，
若 ，且 ，表示以 为端点的线段，
此时表示的曲线总长度为 ；
若 ，整理得 ，表示以 为圆心，半径为1的上半圆，
此时表示的曲线总长度为 ；
综上所述：点集 表示的曲线总长度等于 .故选：C.
【一隅三反】
1．（2024·河南开封·二模）已知集合 ， 则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ， 对A： ，故错误；
对B： ，故正确；对C： ，故错误；对D： ，故错误；故选：B
2．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点集 ，则点集
所表示的区域的面积为 ．
【答案】
【解析】由 可得 ，
因为 ，所以 ，
即点集 所表示的区域是以 为圆心，半径为1的圆及其内部，其面积为 .故答案为：
3（2024广西）已知 是虚数单位，集合 （整数集）和 的关系韦恩图如图所示，则阴
影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷个
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以集合 ，
因为阴影部分所示的集合为 ， ，
所以 ，阴影部分所示的集合的元素共有 个，故选B．
4（2024北京）已知函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象向右平
移 个单位长度，得到函数 的图象，若集合 ，集合 ，则
______．
【答案】
【解析】由图可知 周期 ，∴ ．
由 得 ，∴ ， ，∵ ，∴k取0， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ﹒
考点九 集合的新定义
【例9-1】（2024河北）德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集
U的子集，且无公共元素，则称集合 互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集
，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为（
）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【解析】结合题意：因为 ，所以 ，
解得 ，即 ，
所以全集 ，
由 可得 ，所以 ，
则集合A关于集合U的正交集合B的个数为 .
故选：B.
【例9-2】（2023·全国·模拟预测）定义：若集合 满足 ，存在 且 ，且存在 且，则称集合 为嵌套集合．已知集合 且 ， ，
若集合 为嵌套集合，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所有 ，由 ，得 ，如图，作出函数 的图象，
由图可知，不等式 的解集为 ，所以 且 ，
由 ，得 ，
当 ，即 时，则 ，不符题意；
当 ，即 时，则 ，由 ，得 ，根据嵌套集合得定义可得 ，解得
；
当 ，即 时，则 ，由 ，得 ，根据嵌套集合得定义可得 ，无解，
综上所述，实数 的取值范围为 .故选：A.
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）定义 ，若集合 ，则A中元素的个数为
（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】由题知y的可能取值有 ， ， ，0，1，2，3，则集合A中有7个元素.
故选：B.
2．（2024广东佛山 ）（多选）设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意 ，都有
，且若 ，则 ，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是
（ ）
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集 ，则数集M一定是数域
D．数域中有无限多个元素
【答案】AD
【解析】因为P是一个数集，且至少含有两个数，可知P中必有一个非零实数，
对于选项A：当 时， 、 ，故A正确；
对于选项B：例如 ， ，但 ，不满足条件，故B错误；
对于选项C：例如 ，取 ， ，但 ，所以数集M不是一个数域，故C错误；
对于选项D：由选项A可知：数域必含有0，1两个数，
根据数域的性质可知：数域必含有 ，必为无限集，故可知D正确．故选：AD.
3.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设 表示不超过 的正整数集合， 表示k个元素的有限
集， 表示集合A中所有元素的和，集合 ，则 ；若 ，
则m的最大值为 ．
【答案】 22
【解析】当 时， 表示有2个元素的集合， ，
因为 ，且 有2个元素，所以 或 或 ，所以 ；由 题 中 定 义 可 知 ： ， 于 是 由
，
而 ，即 ，又因为 ，所以m的最大值为
，
故答案为： ；
一．单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：因为 ，而 ，所以 ．
故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．故选：C．
2．（2024·全国·一模）已知集合 ， ，则 子集的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由 ，得 ，解得 ，所以 ，所以 ，
所以 子集的个数为 .故选：D3．（2024·江苏·一模）已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为 .故选：A
4．（2024·河南·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【解析】因为 或 ， ，
所以 .故选：C.
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合 ， ，则 的真子
集的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【解析】由题意 ，
，故 ，故 ，则 的真子集的个数为
，故选：C
6．（2024辽宁沈阳）已知集合 满足 ，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】因为 ，所以集合 可以为： ，共8个，故选：C.
7．（2024河南濮阳）已知集合 ，则集合 的子集个数为
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由已知集合 ，
联立 和 ，可得 或 或 ，则 ，
故集合 的子集个数为 个，故选：D
8．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知集合 ， ，若 中有且仅有三个整数，则
正数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ， ，
若 中有且仅有三个整数，则只能是 ，
故 ，解得 ，故选：B．
二．多选题
9．（2024山东）已知集合 ，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有
（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BCD
【解析】因为集合 仅有 个子集，所以集合 中仅有一个元素，
当 时， ，所以 ，所以 ，满足要求；
当 时，因为集合 中仅有一个元素，所以 ，所以 ，此时 或 ，满足要
求，故选：BCD.
10（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若 ，则 ；②若 ，则 下列判断中，正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【解析】对于A，假设 ，则令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，不存在 ，即 ，矛盾，
∴ ，故A对；
对于B，由题， ，则
∴ ，故B对；
对于C，∵ ， ， ，
∵ 故C对；
对于D，∵ ， ，若 ，则 ，故D错误．
故选：ABC．
11．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由题意得 ，
故 ， ，A错误，B正确；
由于 ，故 ，则 ，C正确；若 ，则 能取到所有的正数，
即 ，则 或 ，
即 ，D正确，
故选：BCD
三．填空题
12．（2024·山东青岛·一模）已知集合 ， ，则 的所有元素之和为 ．
【答案】0
【解析】由题知， ，所以 ，所以 的所有元素之和为 .
故答案为：0
13．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知集合 ， ，则 的
子集个数为 .
【答案】4
【解析】集合 表示直线 上点的集合，集合 表示圆 上点的集合.
圆 的圆心坐标为 ，半径为3，点 到直线 的距离为
,
所以直线 与圆 相交，所以 共有2个元素，所以 的子集个数为 .
故答案为：4.
14．（2024上海·阶段练习）已知 ，集合 ，若集合A恰有8个子集，则n的可
能值的集合为
【答案】
【解析】由题意易知， ，均是集合 中的元素，
又集合 恰有8个子集，故集合 有且只有三个元素，则 ，又 ，
当 时， ，此时集合 只有两个元素，不满足题意；
当 时， ，
此时集合 有且只有三个元素，满足题意；
当 时， ，
此时集合 有且只有三个元素，满足题意；
当 时，易知集合 中不只三个元素，不满足题意；
综上， 可取的值是4或5，即n的可能值的集合为 .
故答案为： .
四．解答题
15（2024北京东城·期末）已知集合 ， .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围；
(3)若将题干中的集合 改为 ，是否有可能使命题 ：“ ，都有 ”为真命
题，请说明理由.
【答案】(1)
(2) 或
(3)不可能，理由见解析
【解析】（1）若 ，则 ，
又 ，
所以 ，
解得 ；
（2）因为 ，所以 或 ，
解得 或 ；
（3）若 ， ，
对 ，都有 ，则 ，
所以 ，该不等式无解，
故命题 ：“ ，都有 ”为真命题不可能.
16．（2023北京）已知函数 的定义域为集合 ，又集合
，且 .
(1)试确定 的值；
(2)求参数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由已知得集合 ，集合 ，
因为 ， ，
所以 ， 或 ，
且 ，则 ，
故 .
（2）由题可知 .
①当 时， ；
②当 时， ，所以 ，因为 ，
所以 矛盾，不合题意；
③当 时， ，因此要 ，
只需 ，满足题意.
综上所述，可知 的取值范围为 .
17．（2024辽宁·阶段练习）已知集合 .
(1)求 ；
(2)若对任意的 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，
由 ，得 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）当 时，因为 单调递减，所以 ，
因为对任意的 恒成立，
所以当 时，则 恒成立，即 ，即 ，因为 ，所以解得 ；
当 时，则 恒成立，即 ，
因为 ，所以解得 .
综上， 的取值范围是 .
18．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合 ，将集合A中的元素按
由小到大的顺序排列成数列 ，即 ， ，数列 的前n项和为 ．
(1)求 ， ， ；
(2)判断672，2024是否是 中的项；
(3)求 ， ．
【答案】(1) ， ，
(2)672是数列 的项，2024不是 中的项
(3) ，
【解析】（1） ，
，
．
（2） ，
故 ，则672是数列 的项；
．
令 ，则 ，故 ，故2024不是 中的项．
（3）当 时在集合A中有 个元素，
当 时在集合A中有 个元素，
……
当 时在集合A中有 个元素，
则集合A一共有 个元素，
故 有 项，
当 时在集合A中的 个元素中最小的元素是 ，
最大元素是 （ ），
故 的元素在 中最大项是 （ ），最小项是 ；
令 ，则 共有 项，
则 恰好是 的元素在 中的最大项，
则 ；
令 ，则一共有 项，
记 表示集合A中 的元素之和，则 ，
因为集合A中 的元素有 个，
这些元素中含 的个数是 ，含 的个数都是 ，
故 ，则：
，
，，
，
，
故 ．
故 ， ．
19．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组 表示，在三维空间中点的坐
标可用三个有序数组 表示，一般地在 维空间中点A的坐标可用n个有序数组
表示，并定义n维空间中两点 ， 间的“距离” ．
(1)若 ， ，求 ；
(2)设集合 ．元素个数为2的集合M为 的子集，且满足对于任意
，都存在唯一的 使得 ，则称M为“ 的优集”．证明：“ 的优集”M存在，且M
中两不同点的“距离”是7．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】（1）解：因为 ， ， ，则 ，
所以 .
（2）证明：定义：对任意 ，规定 ，
对任意 ， ，由于 ， ， ，容易得 ，
所以 ，得结论： ， ，
构造 有2个元素，由 为整数，
当 时，则满足M为“ 的优集”的定义，
当 时，则 ，满足M为“ 的优集”的定义，
所以存在 为“ 的优集”，
若M中的两个点 ， 有一个位置相同，不妨设为第一个位置，
则设 ， ，
则取 ，则有 ， ，显然矛盾，
所以M中的两个点每一个位置均不同，即 ，显然 ，
即“ 的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是 .
