第 2 课时 函数的定义域与值域
题型一 函数的定义域
1．函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为( )
A．(0,4) B．[0,2)∪(2,4]
C．(0,2)∪(2,4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 C
解析 要使函数有意义，
则
解得0<x<4且x≠2.
2．(2021·安徽江南十校模拟)函数y＝的定义域为( )
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
答案 B
解析 要使函数有意义，x需满足
解得－1<x<0或0<x≤3，
所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．
3．若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________．
答案 [0,3)
解析 依题意有
解得0≤x<3，
∴g(x)的定义域为[0,3)．
思维升华 (1)根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数
解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
(2)求抽象函数的定义域的策略
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
(3)求函数定义域应注意的问题
①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应
该用并集符号“∪”连接．题型二 函数的值域
例1 求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(2)y＝；
(3)y＝2x－；
(4)y＝＋.
解 (1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x∈[0,3)，
再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．
(2)(分离常数法)y＝＝＝2＋，
显然≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(3)(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，
∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为.
(4)函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数，
∴y＝＋在[1，＋∞)上为单调递增函数，
∴当x＝1时，y ＝，即函数的值域为[，＋∞)．
min
思维升华 求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法；(7)导数
法．
跟踪训练1 求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝ ＋，x∈[1,2)；
(3)y＝(x>1)．解 (1)方法一 y＝＝1－，
∵2x>0，∴2x＋1>1，
∴0<<2，∴－1<1－<1，
∴函数的值域为(－1,1)．
方法二 由y＝得2x＝，
又∵2x>0，
∴>0，即(y＋1)(y－1)<0，
即－1<y<1.
∴函数的值域为(－1,1)．
(2)函数y＝ ＋在[1,2)上单调递减，
当x＝1时，y＝，当x＝2时，y＝－1＋＝－，
∴－<y≤，
∴函数的值域为.
(3)令t＝x－1，∴t>0，x＝t＋1，
∴y＝＝＝t＋＋1
≥2＋1，
当且仅当t＝即t＝时取等号，
∴函数的值域为[2＋1，＋∞)．
题型三 定义域与值域的应用
例2 (1)(2021·广州模拟)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
答案 －
解析 函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为
{x|1≤x≤2}，
所以解得
所以a＋b＝－－3＝－.
(2)已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．
解 令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y|y＝
g(x)}，即函数对应的一元二次方程的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，
解得a≥4＋2或a≤4－2，
∴a的取值范围是{a|a≥4＋2或a≤4－2}．
思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程(组)、不等式(组)，然后求解．
跟踪训练2 (1)若函数f(x)＝ln(ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 要使函数f(x)＝ln(ax－1)有意义，则ax－1>0，
即ax－1>0在(2，＋∞)上恒成立，
∴
解得a≥.
(2)已知函数f(x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________.
答案 3
解析 f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b>1，
则f(1)＝1，f(b)＝(b－1)2＋1，
∵f(x)在[1，b]上为增函数，
∴函数f(x)的值域为.
由已知得(b－1)2＋1＝b，
解得b＝3或b＝1(舍)．
课时精练
1．函数 的定义域为( )
A．(－∞，3] B．(1，＋∞)
C．(1,3] D． [3，＋∞)
答案 C
解析 依题意 ，
即 ，
∴
解得1<x≤3.
2．(2021·贵阳检测)下列函数中，定义域与值域相同的是( )
A．y＝ B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝
答案 D解析 y＝＝1＋，
函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}，故选D.
3．函数f(x)＝log (mx＋1)的定义域为(－∞，2)，则m的值为( )
a
A．－2 B．－ C. D．2
答案 B
解析 依题意mx＋1>0的解集为(－∞，2)，
则∴m＝－.
4．函数y＝1＋x－的值域为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以
y≤.所以函数y＝1＋x－的值域为，故选B.
5．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B. C. D.
答案 C
解析 ∵x≥1时，f(x)＝ln x≥ln 1＝0，
又f(x)的值域为R，
故当x<1时，f(x)的值域包含(－∞，0)．
故
解得－1≤a<.
6．(多选)下列函数中值域为R的有( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg(x2－2)
C．f(x)＝ D．f(x)＝x3－1
答案 ABD
解析 A项，f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件；
B项，由x2－2>0得x>或x<－，
此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件；
C项，f(x)＝当x>2时，f(x)＝2x>4，
当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0,4]，所以f(x)≥0，
即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；
D项，f(x)＝x3－1是增函数，
函数的值域为R，满足条件．
7．(多选)已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[－1,2]，则值域也为[－1,2]的函数是( )
A．y＝2f(x)＋1 B．y＝f(2x＋1)C．y＝－f(x)＋1 D．y＝|f(x)|
答案 BC
解析 y＝f(x)，x∈R，f(x)的值域为[－1,2]，
对于A，f(x)∈[－1,2]，∴2f(x)＋1∈[－1,5]，故A不满足；
对于B，当x∈R时，2x＋1∈R，
∴f(2x＋1)∈[－1,2]，故B满足；
对于C，∵f(x)∈[－1,2]，∴－f(x)∈[－2,1]，
∴－f(x)＋1∈[－1,2]，故C满足；
对于D，f(x)∈[－1,2]，∴|f(x)|∈[0,2]，
故D不满足．
8．(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能为
( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 ABC
解析 函数y＝x2－4x－4的对称轴方程为x＝2，
当0<m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，
当x＝0时，取最大值－4，
当x＝m时，有最小值m2－4m－4＝－8，解得m＝2.
则当m>2时，最小值为－8，
而f(0)＝－4，由对称性可知，2<m≤4.
∴实数m的值可能为2,3,4.
9．函数f(x)＝ln＋的定义域为________．
答案 (0,1]
解析 要使函数f(x)有意义，
则⇒⇒0<x≤1.
∴f(x)的定义域为(0,1]．
10．函数y＝log (x2＋4x＋5)的值域为________．
0.3
答案 (－∞，0]
解析 令t＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1，∴t≥1，
而y＝log t在[1，＋∞)上单调递减，
0.3
∴y≤log 1＝0，
0.3
故原函数的值域为(－∞，0]．
11．(2020·河北示范性高中联考)函数f(x)＝的值域为________．答案 (－5,3]
解析 当x≤2时，f(x)＝2x－5单调递增，
则－5<f(x)≤－1；
当x>2时，sin x∈[－1,1]，∴f(x)＝3sin x∈[－3,3]．
故f(x)的值域是(－5,3]．
12．函数y＝的定义域为R，则k的取值范围是________．
答案 [0,12)
解析 依题意kx2－kx＋3≠0恒成立，
①当k＝0时3≠0恒成立，∴k＝0满足条件，
②当k≠0时Δ<0即k2－12k<0，∴0<k<12，
综上有0≤k<12.
13．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名
字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函
数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
答案 D
解析 f(x)＝＝＝1＋，
∵2x>0，∴1＋2x>1,0<<1，
则0<<2,1<1＋<3，即1<f(x)<3.
当1<f(x)<2时，[ f(x)]＝1，
当2≤f(x)<3时，[ f(x)]＝2.
综上，函数y＝[ f(x)]的值域为{1,2}．
14．已知函数f(x)＝log x，g(x)＝2x＋a，若存在x，x∈，使得f(x)＝g(x)，则a的取值范围
2 1 2 1 2
是________．
答案 [－5,0]
解析 依题意f(x)的值域与g(x)的值域有交集，
x∈时，f(x)∈[－1,1]，
x∈时，g(x)∈[a＋1，a＋4]，
故或
解得－5≤a≤0.15．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函
数”，例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面
四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( )
A．y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B．y＝x＋
C．y＝－log x
3
D．y＝
答案 AD
解析 根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．
因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．
对于选项A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函
数值，故A可以构造“同值函数”；
对于选项B，y＝x＋为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B不可以构造“同值函数”；
对于选项C，y＝－log x为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C不可以构造“同值函数”；
3
对于选项D，y＝，不是定义域上的单调函数，
有不同的自变量对应同一函数值，
故D可以构造“同值函数”．
所以能够被用来构造“同值函数”的是A，D.
16．已知函数f(x)＝2＋log x，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为________．
3
答案 [6,13]
解析 f(x)的定义域为[1,9]，
∴即1≤x≤3，
故y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]，
∵y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log x)2＋2＋log x2＝(log x)2＋6log x＋6，
3 3 3 3
令t＝log x，t∈[0,1]，
3
∴y＝t2＋6t＋6＝(t＋3)2－3，t∈[0,1]，
t＝0时，y＝6，t＝1时，y＝13，
故6≤y≤13.
