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第 2 课时 函数的定义域与值域
题型一 函数的定义域
1．函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为( )
A．(0,4) B．[0,2)∪(2,4]
C．(0,2)∪(2,4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 C
解析 要使函数有意义，
则
解得01)．解 (1)方法一 y＝＝1－，
∵2x>0，∴2x＋1>1，
∴0<<2，∴－1<1－<1，
∴函数的值域为(－1,1)．
方法二 由y＝得2x＝，
又∵2x>0，
∴>0，即(y＋1)(y－1)<0，
即－10，x＝t＋1，
∴y＝＝＝t＋＋1
≥2＋1，
当且仅当t＝即t＝时取等号，
∴函数的值域为[2＋1，＋∞)．
题型三 定义域与值域的应用
例2 (1)(2021·广州模拟)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
答案 －
解析 函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为
{x|1≤x≤2}，
所以解得
所以a＋b＝－－3＝－.
(2)已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．
解 令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y|y＝
g(x)}，即函数对应的一元二次方程的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，
解得a≥4＋2或a≤4－2，
∴a的取值范围是{a|a≥4＋2或a≤4－2}．
思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程(组)、不等式(组)，然后求解．
跟踪训练2 (1)若函数f(x)＝ln(ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 要使函数f(x)＝ln(ax－1)有意义，则ax－1>0，
即ax－1>0在(2，＋∞)上恒成立，
∴
解得a≥.
(2)已知函数f(x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________.
答案 3
解析 f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b>1，
则f(1)＝1，f(b)＝(b－1)2＋1，
∵f(x)在[1，b]上为增函数，
∴函数f(x)的值域为.
由已知得(b－1)2＋1＝b，
解得b＝3或b＝1(舍)．
课时精练
1．函数 的定义域为( )
A．(－∞，3] B．(1，＋∞)
C．(1,3] D． [3，＋∞)
答案 C
解析 依题意 ，
即 ，
∴
解得10的解集为(－∞，2)，
则∴m＝－.
4．函数y＝1＋x－的值域为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以
y≤.所以函数y＝1＋x－的值域为，故选B.
5．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B. C. D.
答案 C
解析 ∵x≥1时，f(x)＝ln x≥ln 1＝0，
又f(x)的值域为R，
故当x<1时，f(x)的值域包含(－∞，0)．
故
解得－1≤a<.
6．(多选)下列函数中值域为R的有( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg(x2－2)
C．f(x)＝ D．f(x)＝x3－1
答案 ABD
解析 A项，f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件；
B项，由x2－2>0得x>或x<－，
此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件；
C项，f(x)＝当x>2时，f(x)＝2x>4，
当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0,4]，所以f(x)≥0，
即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；
D项，f(x)＝x3－1是增函数，
函数的值域为R，满足条件．
7．(多选)已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[－1,2]，则值域也为[－1,2]的函数是( )
A．y＝2f(x)＋1 B．y＝f(2x＋1)C．y＝－f(x)＋1 D．y＝|f(x)|
答案 BC
解析 y＝f(x)，x∈R，f(x)的值域为[－1,2]，
对于A，f(x)∈[－1,2]，∴2f(x)＋1∈[－1,5]，故A不满足；
对于B，当x∈R时，2x＋1∈R，
∴f(2x＋1)∈[－1,2]，故B满足；
对于C，∵f(x)∈[－1,2]，∴－f(x)∈[－2,1]，
∴－f(x)＋1∈[－1,2]，故C满足；
对于D，f(x)∈[－1,2]，∴|f(x)|∈[0,2]，
故D不满足．
8．(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能为
( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 ABC
解析 函数y＝x2－4x－4的对称轴方程为x＝2，
当02时，最小值为－8，
而f(0)＝－4，由对称性可知，22时，sin x∈[－1,1]，∴f(x)＝3sin x∈[－3,3]．
故f(x)的值域是(－5,3]．
12．函数y＝的定义域为R，则k的取值范围是________．
答案 [0,12)
解析 依题意kx2－kx＋3≠0恒成立，
①当k＝0时3≠0恒成立，∴k＝0满足条件，
②当k≠0时Δ<0即k2－12k<0，∴00，∴1＋2x>1,0<<1，
则0<<2,1<1＋<3，即1
