文档内容
第 01 讲 集合
目录
01 模拟基础练...................................................................................................................................2
题型一：集合的表示：列举法、描述法........................................................................................2
题型二：集合元素的三大特征........................................................................................................3
题型三：元素与集合间的关系........................................................................................................4
题型四：集合与集合之间的关系....................................................................................................5
题型五：集合的交、并、补运算....................................................................................................7
题型六：集合与排列组合的密切结合............................................................................................9
题型七：容斥原理..........................................................................................................................10
题型八：集合的创新定义运算.......................................................................................................11
02 重难创新练.................................................................................................................................13
03 真题实战练.................................................................................................................................19题型一：集合的表示：列举法、描述法
1．已知集合 ，则集合B中所含元素个数为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【解析】当 时，有 ，6个元素；
当 时，有 ，5个元素；
当 时，有 ，4个元素；
当 时，有 ，3个元素；
当 时，有 ，2个元素；
当 时，有 ，1个元素，
综上，一共有21个元素．
故选：B．
2．集合 的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合 ，
所以集合 的元素个数为9个．
故选：B．
3．（2024·陕西西安·一模）定义集合 且 .已知集合 ， ，则
中元素的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．7
【答案】C
【解析】根据题意，因为 ， ，
所以 .
故选：C.
4．若集合 ， ，则 中元素的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10【答案】C
【解析】由题意，
.
故选：C
5．已知 ，集合 ， ，若 ，且 的所有元素和为12，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】集合 中的元素可能为： ， ，
因为 ， .
若 ，则 ， ，则 ，元素和不为12；
若 ，则 ， ，则 ，元素和不为12；
当 时， ，因为 中所有的元素和为12，
所以 ，解得 或 （舍去）.
综上： .
故选：A
题型二：集合元素的三大特征
6．（2024·山东枣庄·一模）若集合 中的元素是 的三边长，则 一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解析】根据集合元素的互异性，在集合 中，必有 ，
故 一定不是等腰三角形；
故选：D.
7．若集合 ， ，则B中元素的最小值为（ ）
A． B． C． D．32
【答案】A
【解析】由题意可得， ，
所以B中元素的最小值为 .
故选：A题型三：元素与集合间的关系
8．已知集合 ，且 ，则实数 为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．
【答案】B
【解析】因为 且 ，
所以 或 ，
①若 ，此时 ，不满足元素的互异性；
②若 ，解得 或3，
当 时不满足元素的互异性，当 时， 符合题意.
综上所述， .
故选：B
9．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． 或1 C．1 D．5
【答案】C
【解析】当 ，解得 或1，
当 时， ，与元素互异性矛盾，舍去；
当 时， ，满足要求，
当 时，解得 ，显然与元素互异性矛盾，舍去，
综上， .
故选：C
10．（2024·河南驻马店·一模）已知集合 ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由方程 ，解得 或 ，所以 ，
所以 ， ， .
故选：A.
11．（2024·高三·江西赣州·期中）已知 、 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C． D． 或
【答案】C【解析】由 且 ，则 ，
∴ ，于是 ，解得 或 ,
根据集合中元素的互异性可知 应舍去，
因此 ， ,
故 ．
故选：C.
12．集合 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为集合 ，
所以方程 有相等实根2，
根据根与系数的关系可知， ，
所以 ，
故选：B
13．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合 中只有一个元素，则实数 （ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
【答案】D
【解析】当 时，由 可得 ，满足题意；
当 时，由 只有一个根需满足 ，
解得 .
综上，实数 的取值为0或1.
故选：D
题型四：集合与集合之间的关系
14．（2024·浙江·二模）已知集合 ， ，若 ，则满足集合 的个数为
（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】因为 ，所以 可以是 ，共8个，
故选：D
15．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则满足条件的集合 的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由 可得 且 ，根据 为 的真子集，
可得 或 或 ，故满足条件的集合 的个数为3.
故选：A
16．（2024·山西运城·一模）已知集合 ， ，若 ，则 的最大值
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，由 可得 ，解得 ，
即 ，
又因为 ， ，则 ，解得 ，
故 的最大值为 .
故选：C.
17．已知集合 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，若把I看作全集，作出韦恩图如图所示：
∴N的补集包含M的补集.
故选：C．
18．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得 ，
因为 ，则 ，所以 ．
故选：D．
19．（2024·陕西西安·三模）设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．1 D．1或2
【答案】C
【解析】因为 ， 且 ，
所以 ，则 或 ，
解得 或 ，
当 时 ，不满足集合元素的互异性，故舍去；
当 时 ，符合题意.
综上可得 .
故选：C
20．（2024·高三·浙江宁波·期末）设全集 ，集合 ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 集合 , ， ， , ，
．
故选：B．
题型五：集合的交、并、补运算
21．（2024·宁夏银川·一模）设全集 ，则集合
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故ABD错误，故C正确；
故选：C
22．（2024·北京西城·一模）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合 ，所以 或 ，
又集合 ，所以 或 .
故选：B
23．（2024·贵州遵义·一模）已知集合 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，即 ，
，所以 .
故选：D
24．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，即 ，解得 ，故 ，
由 ，可得 ，即 或 ，故 ，
故 .
故选：B.
25．（2024·高三·陕西西安·期中）已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：D.
题型六：集合与排列组合的密切结合
26．集合 ， ， ， ，5，6， ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐
标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】第二象限的横坐标是负数，纵坐标是正数．
若 集合提供横坐标， 集合提供纵坐标，则有 ，
若 集合提供纵坐标， 集合提供横坐标，则有 ，合计 ，
即这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是6个，
故选：D.
27．（2024·高三·上海闵行·开学考试）集合 共有 个三元子集 ，若
将 的三个元素之和记为 ，则 （ ）
A．1980 B．6600 C．990 D．3300
【答案】A
【解析】由题意得， ，
而含元素1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的三元子集各有 个，
所以 ，
故选：A.
28．（2024·高三·重庆·开学考试）设集合 ，那么集合 满足条件“
”的元素个数为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【解析】若 ，则 ，即有序数对 有4种取法，同理若 ，则 ，即有序数对 有4种取法，
若 ，则 ，即有序数对 有4种取法，
综上所述，集合 满足条件“ ”的元素个数为 .
故选：D.
题型七：容斥原理
29．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在
90分以上的有38人．则两科都在90分以上的人数为 ．
【答案】8
【解析】设集合 表示数学在90分以上的学生，则集合 中有25个元素，
集合 表示语文在90分以上的学生，则集合 中有21个元素，
表示两科中至少有一科在90分以上的学生，则集合 中有38个元素，
表示两科都在90分以上的学生，由题意可知 中有 个元素，
所以两科都在90分以上的人数为8人.
故答案为：8.
30．中国健儿在杭州亚运会上取得傲人佳绩，获奖多多，为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，石室成飞
中学积极开展社团活动，每人都至少报名参加一个社团，高一（1）班参加 社团的学生有 人，参加
社团的学生有 人，参加 社团的学生有 人，同时参加 社团的学生有 人，同时参加 社团的
学生有 人，同时参加 社团的学生有 人，三个社团同时参加的学生有 人，那么高一（1）班总共有
学生人数为 ．
【答案】
【解析】由题意，用 分别表示参加 杜团、参加 杜团和参加 杜团的学生形成的集合，
则 ,
,
因此
.
所以高一（1）班总共有学生人数为 人.
故答案为： .
31．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天
售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最
少有 种.【答案】
【解析】由题意，第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种，
所以第一天售出但第二天未售出的商品有 种，
第二天售出但第一天未售出的商品有 种，
所以前两天共售出的商品有 种，
第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种，
所以第三天售出但第二天未售出的商品有 种，
因为 ，
所以这 种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值
为 .
故答案为： .
32．为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语
文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选
修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】C
【解析】画出维恩图如下：
设：只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y
人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人，
则： ， ；
故答案为：32人.
题型八：集合的创新定义运算
33．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的Venn图中， 、 是非空集合，定义集合 为阴影部分
表示的集合．若 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
，
则 , ，
由集合 的运算可知， 表示 中去掉 的部分，
所以 .
故选：D
34．（2024·高三·河北·开学考试）德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合
A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合 互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．
若全集 ，则集合A关于集合U的正交集合B的
个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【解析】结合题意：因为 ，所以 ，
解得 ，即 ，
所以全集 ，
由 可得 ，所以 ，
则集合A关于集合U的正交集合B的个数为 .
故选：B.
35．（多选题）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意 ，记 ，并称
为集合 的对称差．例如：若 ，则 ．下列命题中，为真命题
的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则C．若 且 ，则
D．存在 ，使得
【答案】AB
【解析】对于A,因为 ⊕ ，所以 ， ，
所以 ，且 中的元素不能出现在 中，因此 ，即A正确；
对于B，因为 ⊕ ，所以 ， ，
即 与 是相同的，所以 ，B正确；
对于C,因为 ⊕ ，所以 ， ，
所以 ，即C错误；
对于D由于
，
而 ，故 ，即D错误．
故选：AB．
1．已知 表示集合A中整数元素的个数，若集合 ，集合 ，以下
选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由不等式 ，解得 ，
由不等式 ，
所以集合 ，集合 ，
所以 ，故A正确；
所以 ，故B正确；，故C错误；
，故D正确；
故选：C.
2．已知集合 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】D
【解析】因为 ，可知 ，
若 ，则 ，
此时 ， ，不合题意；
若 ，则 ，
此时 ， ，符合题意；
综上所述： ， ，则 .
故ABC错误，D正确.
故选：D.
3．若集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
，所以 ，
故选：C.
4．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，有 ，即 ，所以 ；
由 令 ，根据二次函数的性质有 ，
所以 ，又因为 ，所以 ， ；所以 .
故选：D
5．（陕西省西安市第一次模拟考试文科数学试卷）设集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，解得 或 ，所以 ，
由 的值域为 ，所以 ，即 ，
所以 ，故C正确.
故选：C.
6．（多选题）（广西柳州市2024届高三第三次模拟考试）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义
了一个二元运算“*”（即对任意的 ，对于有序元素对 ，在S中有唯一确定的元素a*b与之对
应）.若对任意的 ，有 ，则对任意的 ，下列等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】根据条件“对任意的 ， ，有 ”，则：
A中，无法确定 是否一定成立，故A错误；
B中， ，一定成立，故B正确；
C中， ，一定成立，故C正确；
D中，将 看成一个整体，则 ，故 ，故D正确.
故选：BCD．
7．（多选题）（河南省新乡市2024届高三第二次模拟考试）已知 ，集合 ，
， ， ，则下列结论
一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】 表示过定点 ,且斜率为 的直线的点构成的集合，表示过定点 且斜率为 的直线的点构成的集合，
表示圆心为 ，半径为 的圆上的点构成的集合，
表示圆心为 ，半径为 的圆上的点构成的集合，
对于A，集合 中的直线平行，故 ，故A正确，
对于B，由于 ，故 在圆 内，
故经过点 的直线与圆相交， ，故B正确，
对于C，由于 ，故 在圆 外，
故当经过点 的直线与圆相离时，此时 ，故C错误，
对于D，由于 ，故两圆相交， ，D错误，
故选：AB
8．（多选题）已知 表示集合 的整数元素的个数，若集合 ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】 ，得 ，所以 ，
， ， ，所以 ，
所以 ， ， ，
，其中只有BC正确；
故选：BC
9．（多选题）（2024·全国·模拟预测）设 ， ， ， 为集合 的 个不同子集，为
了表示这些子集，作 行 列的数阵，规定第 行第 列的数为 ．则下列说法中正确的是
（ ）
A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当
B．数阵中第 列的数全是1，当且仅当C．数阵中第 行的数字和表明集合 含有几个元素
D．数阵中所有的 个数字之和不超过
【答案】ABD
【解析】选项A：数阵中第一列的数全是 ，当且仅当 ， ， ， ， ，故A正确．
选项B：数阵中第 列的数全是1，当且仅当 ， ， ， ， ，故B正确．
选项C：数阵中第 列的数字和表明集合 含有几个元素，故C错误．
选项D：当 ， ， ， 中一个为 本身，其余 个子集为 互不相同的 元子集时，
数阵中所有的 个数字之和最大，且为 ，故D正确.
故选：ABD
10．（多选题）非空集合A具有如下性质：①若 ，则 ；②若 ，则 下列判断
中，正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【解析】对于A，假设 ，则令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，不存在 ，即 ，矛盾，
∴ ，故A对；
对于B，由题， ，则
∴ ，故B对；
对于C，∵ ， ， ，
∵ 故C对；
对于D，∵ ， ，若 ，则 ，故D错误．
故选：ABC．
11．（浙江省绍兴市2024届高三4月适应性考试）已知集合 ， ，且有4个子集，则实数 的最小值是 .
【答案】 /0.5
【解析】由 有4个子集，所以 中有2个元素，
所以 ，所以 ，
所以满足 ，或 ，
综上，实数 的取值范围为 ，或 ，
故答案为：
12．（广西部分市2024届高三第二次联合模拟考试）已知集合 ， ，若 ，
则实数 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 或 ， 或 ，
又由集合中元素的互异性可知 且 且 ， 且 ，
综上 .
故答案为： .
13．（湖南省九校联盟2024届高三第二次联考）对于非空集合 ，定义函数 已知集合
，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【解析】由题知： 可取 ，
若 .则 ，
即集合 ，得 ，即 的取值范围为 .
故答案为：
14．（上海市浦东新区2024届高三3月模拟考试）已知 ，集合 ，若集合
A恰有8个子集，则n的可能值的集合为【答案】
【解析】由题意易知， ，均是集合 中的元素，
又集合 恰有8个子集，故集合 有且只有三个元素，则 ，
又 ，
当 时， ，此时集合 只有两个元素，不满足题意；
当 时， ，
此时集合 有且只有三个元素，满足题意；
当 时， ，
此时集合 有且只有三个元素，满足题意；
当 时，易知集合 中不只三个元素，不满足题意；
综上， 可取的值是4或5，即n的可能值的集合为 .
故答案为： .
1．（2024年天津高考数学真题）集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合 ， ，
所以 ，
故选：B
2．（2024年北京高考数学真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】由题意得 .
故选：C.
3．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））定义一个集合 ，集合中的元素是空间内的点集，
任取 ，存在不全为0的实数 ，使得 ．已知 ，则
的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知这三个向量 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出
，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出
，故A错误；
对C， 由空间直角坐标系易知 三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由 能推出 ，
对D，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，
则当 无法推出 ，故D错误.
故选：C．
4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意得，对于集合 中的元素 ，满足 ，
则 可能的取值为 ，即 ，
于是 .
故选：A
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或 ，选项C错误；
或 ，则 或 ，选项D错误；
故选：A.
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，则 .
故选：A.
7．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为全集 ，集合 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故选：A.
8．（2023年天津高考数学真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，而 ，
所以 .
故选：A
9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．
故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．
故选：C．
10．（2022年新高考天津数学高考真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，故 ，
故选：A.
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
故选：D.
12．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ．
故选：A.
13．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ．故选：A.
14．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意， ，所以 ,
所以 .
故选：D.
15．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
故选:
16．（2022年新高考全国I卷数学真题）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，故 ，
故选：D
