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专题 10 三角函数求 w 范围归类
目录
题型一：求w基础1：图像与与解析式
题型二：求w基础2：五点图像平移（异名平移）
题型三：求w基础：恒等变形型平移
题型四：平移图像重合求w
题型五：平移后是奇函数，求w最小值
题型六：单调性型求w
题型七：存在对称轴型求w
题型八：存在对称中心型求w
题型九：对称轴最多（少）型
题型十：零点最多（少）型
题型十一：没有最值型
题型十二：零点和对称轴型
题型十三：不单调型
题型十四：极值点最多（少）型
题型十五：正整数型
题型十六：综合应用型
题型一：求 w 基础 1：图像与与解析式
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 与函数 的部分图象如图所示，
且
函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到，则 （ ）
A． B．1 C． D．【答案】C
【分析】根据函数平移，利用图象上已知条件求函数解析式，求函数值，可得答案.
【详解】由题意可知，将函数 图象上的点 向右平移 个单位长度，
可得 的图象与 轴负半轴的第一个交点为 ，
因为 的图象与 轴正半轴的第一个交点为 ，
所以 ，得 ，则 ，
又 ，所以 ，由 知， ，
则 ， ，故 .
故选：C.
2．（2023高三上·湖南·专题练习）函数 （ 且 ）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可将函数化简为 ，从而可求解.
【详解】由题意 ， ，化简得 ，
根据函数 的图象和性质，
可得 在 内为增函数且 为正值，
在 内为增函数且 为负值，在 内为减函数且 为负值，故C正确.
故选：C.
3．（23-24高三山东青岛·阶段练习）设函数 的部分图象如
图所示，若 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由图象得出函数解析式再利用三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】由图象可知： ，
结合五点法作图可得 ，故 ．
如果 ，且 ，
则 ，
由正弦函数的对称性可知 ，
所以 .故选：C．
4．（22-23高三全国·阶段练习）已知函数 的部分图象如图
所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 为偶函数
B． 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C． 图象的对称中心为 ，
D． 在区间 上的最小值为
【答案】A
【分析】根据函数最大值和最小正周期可得 ，由 可得 ，从而得到 解析式；由
可确定奇偶性，知A正确；根据三角函数平移变换原则可得B错误；利用整体代换法，令 可求得对称中心，知C错误；由 ，结合正弦函数性质可确定最
小值为 ，知D错误.
【详解】 ， ， ；
由图象可知： 最小正周期 ， ，
又 ， ，解得： ，
又 ， ， ；
对于A， ，
， 为偶函数，A正确；
对于B， ，B错误；
对于C，令 ，解得： ，
的对称中心为 ，C错误；
对于D，当 时， ，
当 ，即 时， ，D错误.
故选：A.
5．（22-23三·全国·课后作业）已知函数 的部分图象如图所示，下
列关于函数 的表述正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 在 上递减
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 的图象上所有点向左平移 个单位得到函数 的图象
【答案】B
【分析】根据图象依次求得 的值，从而求得 ，结合函数的单调性、单调性、三角函数图象变换的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】根据函数 的部分图象知，
最小正周期为 ， ；又 ， ， ， ；
又 ，故 ； ， 函数 ； 时，
， 的图象不关于点 对称，故A错误；
当 时， ， 在 上单调递减，故B正确；
当 时， ， 的图象不关于直线 对称，故C错误；
的图象上所有点向左平移 个单位，得 的图象，
不是函数 的图象，故D错误．故选：B
题型二：求 w 基础 2：五点图像平移（异名平移）
6．（21-22高三·全国·课后作业）把函数 y＝cos 的图象适当变换就可以得到y＝sin(－3x)的图
象，这种变换可以是（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】D
【分析】根据图象变换的规则及三角公式先将 变成 ，再提取系数3，由平移的
规则研究即可．
【详解】 ，
函数 的图象向左平移 可以得到 的图象
故选：D．
7．（20-21高三·全国·课后作业）为了得到 的图象，只需把函数 的图象
（ ）A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】结合诱导公式，将 转化为 ，结合平移法则即可求解.
【详解】 ，设函数 平移 个单位后得到 ，
则
∵
有 ，即 ， ， 为了得到 的图
∴
象，只需把函数 的图象向右平移 个单位长度.
故选：D．
8．（21-22高三上·浙江·）已知函数 ，为了得到函数 的图象只需将
的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】A
【分析】利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解.
【详解】解：因为
所以 ，只需将f(x)的图象向左平移 个单位，
故选：A.
9．（21-22高三上·湖北武汉·开学考试）要得到函数 的图象，可以将函数
的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式将平移前的函数化简得到 ，进而结合平移变换即可求出结果.
【详解】因为 ，
而 ，故将函数 的图象向右平移 个单位长度即可，
故选：A.
10．（20-21高三上·宁夏·阶段练习）若将函数 ( )的图象向左平移 个单位长度后，与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】先得到平移后的解析式，再由题中条件，列出等式，求出 ，即可得出结果.
【详解】将函数 ( )的图象向左平移 个单位长度后，得到函数
的图象，
又平移后的图象与函数 的图象重合，
而 ，
所以 （ ），则 （ ），
又 ，所以为使 取得最小值，只需 ，此时 .
故选：D.
题型三：求 w 基础：恒等变形型平移
11．（22-23高三下·四川成都·）要得到函数 的图象，需将
的图象（ ）.
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】C
【解析】把两个函数都由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，然后由三角函数的图象变换得出
结论．
【详解】
，又 .
.故选：C．
12．（20-21高三·上海·课后作业）函数 的图像可由 向右平移的单位个数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式将函数 化为 ， 化为，再利用平移变换的即可得出答案.
【详解】解：将函数 化为 ，
化为 ，
所以函数 向右平移 个单位即可的出 ，
即函数 的图像可由 向右平移的单位个数为 .
故选：B.
13．（22-23高三下·安徽合肥）若将函数 图象上所有点的横坐标伸长为原
来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简 的解析式，再根据 的图象变换规律求得 的解
析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数 的单调递减区间.
【详解】解：将函数
的图象上所有的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，令 ，求得 ，
可得 的单调递减区间为 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的单调性，属于基础题.
14．（19-20高三·广东揭阳·阶段练习）要得到 （ ）的图象，只需把
（ ）的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】A
【解析】根据同角三角函数关系式及二倍角公式化简 ，由诱导公式化简 ，即可由三角函数图象
平移变得解.
【详解】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简可得
而 ，
所以将 的图象向左平移 个单位得到 的图象，
故选：A；
【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角公式在三角函数式化简中的应用，三角函数图象平移变换的应用，属于基础题.
15．（22-23高三上·天津）已知函数 ，现给出下列四
个结论，其中正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的最大值为2
C．函数 在 上单调递增
D．将函数 的图象向右平移 个单位长度；所得图象对应的解析式为
【答案】C
【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项
【详解】对于A和B，
，
所以 的最小正周期为 ， 的最大值为1，故A错误，B错误，
对于C，当 时， ，
因为 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，故C正确；
对于D，将函数 的图像向右平移 个单位长度，所得图像对应的函数解析式为
，故D不正确，
故选：C
题型四：平移图像重合求 w
16．（21-22高三·天津河西·阶段练习）已知将函数 的图象向右平移 个
单位之后与 的图象重合，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题先求出最小正周期 ，再建立方程 （ ），最后根据范围求 的值即可.
【详解】解：因为函数 ，所以最小正周期 ，
因为函数 的图象向右平移 个单位之后与 的图象重合，所以
（ ），解得： ，又因为 ，所以 .故选：B
【点睛】本题考查根据三角函数图象的变换求参数，是基础题.
17．（23-24高三·河南南阳·）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，与函数
的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，函数 的图象与 的图象重合，可得
，从而得解.
【详解】将 的图象向左平移 个单位长度，
得到 ，
其图象与 的图象重合，
则 ，所以 ，
又 ，所以 的最小值为3.
故选：B
18．（2023·陕西榆林·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位，到得函数
的图象，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据平移理论结合已知条件得 ，再利用诱导公式得
，进而得到 ，从而求出 ，再结合已知条件即可求
出 的最小值.
【详解】由题意得 ，
又
所以 ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 的最小值为 .
故选：A.
19．（23-24高三·广东广州·）将函数 的图象向左平移 个单位后，与函数
的图象重合，则 的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【分析】由函数 的图象与 的图象重合，得 即可求
得答案.
【详解】将 的图象向左平移 个单位长度，
得 ，其图象与 的图象重合，
则 ，解得 ， 的值不可能为1，3，4，可以为2.
故选：B
20．（2023·陕西榆林·模拟预测）将函数 的图像分别向左､向右各平移 个单位长
度后，所得的两个图像的对称轴重合，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】利用函数 的图象变换规律，正弦函数的周期性，求出 的最小值．．
【详解】 将函数 的图像分别向左、向右各平移 个单位长度后，
∵
所得的两个函数图像的对称轴重合，故当 最小时，有 ，解得： ，
故选：D．
题型五：平移后是奇函数，求 w 最小值
21．（23-24高三·陕西咸阳·阶段练习）已知函数 的图象向左平移 后所得的
函数为奇函数，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】平移后的解析式为奇函数得到 ，求出 的最小值.
【详解】因为 为奇函数，则 ，
所以 ，又 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 时， 取得最小值，最小值为8.
故选：D
22．（23-24高三·江苏盐城·阶段练习）将函数 的图象向左平移 个单位长度后
得到的函数为奇函数，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得 ，再由 为奇函数，求得
，进而得到 取得最小值.
【详解】由函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数 ，
又由 为奇函数，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 .
故选： .
23．（2021高三·全国·专题练习）把函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数
的图象，若 为奇函数，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据题意得 ，再得到 ，计算求解即可.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位后，
得
因为 为奇函数，所以 ， ；
因此， ，结合 ，取 得 的最小值为2.
故选：A.
24．（多选）（2024·山东济宁·一模）已知函数 ，则下列说法中正确的是
（ ）
A．若 和 为函数 图象的两条相邻的对称轴，则
B．若 ，则函数 在 上的值域为
C．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 为奇函数，则 的最
小值为
D．若函数 在 上恰有一个零点，则
【答案】ACD
【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的值域可判断B选项；利用三角函数
图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项.
【详解】对于A选项，若 和 为函数 图象的两条相邻的对称轴，
则函数 的最小正周期为 ，则 ，
所以， ，此时， ，合乎题意，A对；对于B选项，若 ，则 ，
当 时，则 ，所以， ，
故当 时，则函数 在 上的值域为 ，B错；
对于C选项，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，
则 为奇函数，
所以， ，解得 ，
因为 ，当 时， 取最小值 ，C对；
对于D选项，因为 ，当 时， ，
因为函数 在 上恰有一个零点，则 ，解得 ，D对.
故选：ACD.
25．（23-24高三·江西南昌·阶段练习）已知函数 ，将函数 的图象向左
平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若 为奇函数，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得 ，再由 为奇函数，求得
，进而得到 取得最小值.
【详解】由函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数 ，
又由 为奇函数，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 .
故答案为： .
题型六：单调性型求 w26．（23-24高三·河南新乡·）若函数 在 上单调递减，则满足条件的
的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对 分不同情况进行讨论，得出当 时不满足条件，当 或 时满足条件，当
时不满足条件，即得到所求的全部 为 和 ，从而得到答案.
【详解】若 ，则 ，故 不满足条件；
若 或 ，则对 有 ，或 .
所以 ，根据复合函数单调性知 在 上单调递减，满足条件；
若 ，则 ，故 不满足条件；
若 ，则由 可知，存在正整数 满足 .
此时 ， ，从而 在 上存在极值
点，不可能单调递减，不满足条件.
综上，满足条件的有 和 .
故选：C.
27．（23-24高三·山东济宁·）设函数 （ 、 、 都是常数， ， ），若
在区间 上具有单调性，且 ，则 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记函数 的最小正周期为 ，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得.
【详解】记函数 的最小正周期为 ，则 ，可得 ．
又 ，且 ，又 ，所以函数 的一个对称中心为 ，函数 的一条对称轴为 ，又 ， ，解得 ．
故选：B．
28．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递
减， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 在区间 上单调递减，用周期公式，缩小 范围 ．
，得 ①，
，得出对称中心 ，进而得到 ②，
两式相减，得到 ，因为 ，求出 ．
代入①，根据 ，解出 即可．
【详解】 在区间 上单调递减， ，
由 ，得 ①.
又 ， 图象关于点 对称，
即 ②.由②-①得 ，由于 ，
则 ，代入①，即 ，
由于 ，则 ，则 ．
故选：C.
29．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 在 上单调递减，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ，求得单调递减区间，进而可得 ，求解即可.
【详解】 ；
令 ， 则 ，所以 在 是减函数，
因为 在区间 单调递减，所以有 ，
即 ，又 ，所以 ， ．
故选：B．
30．（23-24高三·广东佛山·）已知函数 ，若函数 在 上单调递减，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用 的性质，得到 且 ，即可求出结果.
【详解】由 ，得到 ，
又因为 在 上单调递减，所以 ，
得到 ，又 ， ，即 ，令 ，得到 ，故选：D.
题型七：存在对称轴型求 w
31．（23-24高三·浙江丽水·）已知函数 ，若 的图象的任意一条对称
轴与 轴交点的横坐标均不属于区间 ，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知得 ， ，且 ，解之讨论 ，可得选项.
【详解】因为 的图像的任何一条对称轴与 轴交点的横坐标均不属于区间 ，
所以 ，所以 ，
又 ，且 ，解得 ，又因 ，
所以 ，解得 ，当 时， 符合题意，
当 时， ，符合题意，所以 .故选：D.
32．（2024·江西鹰潭·三模）已知函数 ，若 且 ，则
的最小值为（ ）
A．11 B．5 C．9 D．7
【答案】D
【分析】根据 可知函数 的一条对称轴为 ，可得 ，求得 ，再根
据
正弦函数在 处取得最小值，列出方程可求得结论.
【详解】由 可知， 在 取得最小值，所以函数 的一条对称轴为 ，
又 ，因此 ，即 ；
所以 ，
又 在 取得最小值，可知 ，
解得 ，
又 ，所以 时， 取得最小值为7.
故选：D
33．（2024·黑龙江·三模）已知函数 在区间 内恰有3条对称轴，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件得到 ，利用 的图象与性质，再结合条件，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，又函数 在区间 恰有3条对称轴，
所以 ，解得 ，
故选：D.
34．（2024·山东·二模）已知函数 ，若将 的图象向左平移 个单位后所得的
函数图象与曲线 关于 对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】求出函数 的图象平移后所得函数的解析式，再利用对称列式计算即得.
【详解】函数 ， 的图象向左平移 个单位后所得函数
，
函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则 ，
于是 对任意实数 恒成立，
即 对任意实数 恒成立，
因此 ，解得 ，而 ，则 ，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：A
35．（23-24高三上海·阶段练习）已知函数 的初始相位为 ，若 在区间
上有且只有三条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据x的取值范围，确定 ，结合 在区间 上有且只有三条对称轴，列
出不等式，即可求得答案.
【详解】由于函数 的初始相位为 ，即 ，
当 时， ，
由于 在区间 上有且只有三条对称轴，故 ，
解得 ，故选：D
题型八：存在对称中心型求 w36．（2024高三·浙江绍兴·学业考试）若存在 ，使函数 的图象关于
对称，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由对称中心知 ，讨论 的取值，找出正整数 的最小值.
【详解】因为函数 的图象关于 对称，
所以 ，所以 ，所以 ，
当 时不满足，
当 时， ，所以 ，因为 ，此时 的最小值为3；
当 时， ，所以 ，因为 ，此时 的最小值为6；
一般的： ，所以 ，
当正整数 增大时， 的最小值也越来越大，故 的最小值为3；
故选：C
37．（2024·河北·模拟预测）已知函数 ，若 ， ，则
的最小值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由 求出 的取值，再根据 ，分 是函数 的一个对称中心与
不是对称中心两种情况讨论，分别求出 的最小值，即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，则 或 ，
又 ， ，当 是函数 的一个对称中心时， ，
若 ，则 ，所以 ，则
，又 ，所以当 时 ；若 ，则
，所以 ，则 ，又 ，所以当 时 ；
当 不是函数 的一个对称中心时，因为 ，即 ，
所以 ，所以 ，又 ，所以当 时 ，
综上所述： .故选：C
38．（2024·江西·模拟预测）已知函数 的图象关于点 中心对称，则
（ ）
A．3或 B．2或 C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】根据题意整理可得 ，其中 ， ，结合正弦函数对称性可
得 ， ，分类讨论 的奇偶性，结合诱导公式分析求解.
【详解】由题意可知： ，其中 ，
．
因为 的图象关于点 中心对称，则 ，
整理可得 ，则 ，解得 ， ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
综上所述： 或 ．故选：A．
39．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 的最小正周期为 ，在区
间 上单调递减，且在区间 上存在零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定周期求得 ，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式
组，然后结合已知求出范围.
【详解】由函数 的最小正周期为 ，得 ，而 ，解得 ，
则 ，由 ，
得 ，又 在 上单调递减，
因此 ，且 ，解得 ①，由余弦函数的零点，得 ，即 ，
而 在 上存在零点，则 ，
于是 ②，又 ，联立①②解得 ，
所以 的取值范围是 .故选：B
40．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递减，且
在区间 上只有1个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合余弦函数的单调性与零点列式计算即可得.
【详解】当 时， ， 则 ，
当 时， ，则 ，
即有 ，解得 .故选：C.
题型九：对称轴最多（少）型
41．（23-24高三 ·云南德宏·）已知函数 在区间 上恰有两条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到 ，从而得到 ，再解不等式即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 恰有两条对称轴，所以 ，解得 .
故选：A
42．（23-24高三安徽六安·阶段练习）已知函数 在区间 恰有两条对称轴，
则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到 ，从而得到 ，再解不等式即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 恰有两条对称轴，
所以 ，解得 .故选：B
43．（21-22高三·陕西咸阳·阶段练习）已知函数 的图象在区间 上有且仅
有两条对称轴，则 在以下区间上一定单调的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出对称轴方程，由已知可得 ，进而可得 ，分别研究 ， ，
， 时各对称轴的范围与选项中的区间的关系依次判断即可.
【详解】令 ，即 ，所以 ， ，解得 ， ，
分别取 得 ， ， ，
因为 的图象在区间 上有且仅有两条对称轴，
所以 ， ，解得 ，
对于A项，当 时， 的一个对称轴为 ，且 ，
，故A项不成立；
对于B项，当 时， 的一个对称轴为 ，且 ，
，故B项不成立；
对于C项，当 时， 的一个对称轴为 ，且 ，
，故C项不成立；
对于D项，当 时， 的一个对称轴为 ，且 ，由C项知，当 时， 的一个对称轴为 ，且 ，
所以 介于 和 时的相邻的对称轴之间，
故 在 上一定单调，故D项正确.故选：D.
44．（2022·山西运城·模拟预测）已知函数 的图象在区间 上有且仅有两条
对称轴，则 在以下区间上一定单调的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的对称轴方程求得 ，解得 ，结合在区间 上有且仅有两
条对称轴，求得 ，由此依次取 求得函数图象相应的对称轴的范围，比较和四个选
项中区间的关系，即可判断答案.
【详解】令 ，即 ，所以 ， ，
所以 ， ;分别取 ，得 ，
所以 ，得 ;
当 时，得对称轴方程为 ，且 ；
当 时，得对称轴方程为 ，且 , ,
故 不是函数的单调区间，C错误；
当 时，得对称轴方程为 ，且 ， ，
故 不是函数的单调区间，B错误；
当 时，得对称轴方程为 ，且 ， ，故A错误，
由以上分析可以看到， 介于 和 时的相邻的对称轴之间，
故 在区间 上一定单调，故选：D
45．（21-22高三·四川宜宾·阶段练习）已知函数 在 上单调递增，直线 是
图象的一条对称轴，两条对称轴之间的距离不大于3，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意以及正弦函数的周期性和对称性即可判断.
【详解】因为在 是单调递增的，所以在 内不存在对称轴，
若在 有对称轴 ，则 ，但区间 与区间 不对称，故不存在；又因为两条对称轴的距离不大于3，
所以另一条对称轴必为x=-1，故周期 ；
故选：D.
题型十：零点最多（少）型
46．（广东省高州市2023届高三二模数学试题）已知函数 ，若 ，且
在 上恰有1个零点，则 的最小值为（ ）
A．11 B．29 C．35 D．47
【答案】B
【分析】利用图象分析 在区间 内只有一个零点的条件，结合 可解.
【详解】因为 ，且 在 上恰有1个零点，
所以 ，所以 ，所以 ，又 ，所以
，即 所以 ，解得 ，当 时， 有最小值29.
故选：B
47．（23-24高三江苏南京·）已知函数 的最小正周期为
，若 在区间 上恰有8个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据题意得到曲线 的一条对称轴为 ，设零点从小到大依次为
，从而得到 ，从而得到 ，得到答案.
【详解】因为 的最小正周期为 ，
所以曲线 的一条对称轴为 ，所以 ，
设零点从小到大依次为 ，其中 ，
有 ，即 ，解得 ，所以 的取值范围是 ．故选：A．
48．（23-24高三·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 （ ），若 在 上有两
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出 的范围，结合三角函数的性质得到关于 的范围，从而得解．
【详解】因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上有2个零点，
所以 ，解得 ，即 的取值范围是 故选：A.
49．（2024·江苏泰州·模拟预测）设函数 在 上至少有两个不同零点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先令 得 ，并得到 ，从小到大将 的正根写出，因为
，所以 ，从而分情况，得到不等式，求出答案.
【详解】令 得 ，因为 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，从小到大将 的正根写出如下：
， ， ， ， ， ……，因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ，解得 ，此时无解，当 ，即 时， ，解得 ，此时无解，
当 ，即 时， ，解得 ，故 ，
当 ，即 时， ，解得 ，故 ，
当 时， ，此时 在 上至少有两个不同零点，
综上， 的取值范围是 .故选：A
50．（23-24高三·湖南长沙·开学考试）设函数 ，若对于任意实数 ，函数
在区间 上至少有2个零点，至多有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，将问题转化为研究 在任意一个长度为 的区间上的零点问题，分别求
得相邻三个零点之间的距离，相邻四个零点之间的最小距离，从而得到关于 的不等式组，解之即可得
解.
【详解】因为 为任意实数，故函数 的图象可以任意平移，
从而研究函数 在区间 上的零点问题，
即研究函数 在任意一个长度为 的区间上的零点问题，
令 ，得 ，则它在 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为 ， ， ，
， ， ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为 ， ， ， ， ，
故相邻三个零点之间的距离为 ，相邻四个零点之间的最小距离为 ，
所以要使函数 在区间 上至少有2个零点，至多有3个零点，
则需相邻三个零点之间的距离不大于 ，相邻四个零点之间的最小距离大于 ，
即 ，解得 ，即 .故选：B
【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的 以及区间 是干扰
因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.
题型十一：没有最值型51．（23-24高三辽宁·阶段练习）已知函数 （ ， ），若 为奇函数，
为偶函数，且 在 上没有最小值，则 的最大值是（ ）
A．14 B．10 C．7 D．6
【答案】D
【分析】根据给定的奇偶性求出 的值，再按 的值分类讨论求出 的表达式，结合 在 上没有
最小值求出 最大值.
【详解】依题意， ，由 为奇函数，得
，
，由 为偶函数，得 ，
两式相加得 ，而 ，则 或 ，
当 时， ，且 ，
则 ，且 ，而 ，因此 ，
当 时， ，由 在 上没有最小值，
得 ， ，此时 ， ；
当 时， ，且 ，
则 ，且 ，而 ，因此 ，
当 时， ，由 在 上没有最小值，
得 ， ，此时 ， ，
所以 的最大值是6.
故选：D
52．（2021高三江苏·专题练习）若函数 在区间 内没有最值，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由在区间 没有最值得 在区间 上单调，求出 整体的范围，分单调递增和
单调递减分别解不等式，最后取并集即可.
【详解】由 在区间 内没有最值，知 在区间 上单调，由 可得
，
当 在区间 上单增时，可得 ，解得
，时无解，令 ，得 ，又 ，故 ；
当 在区间 上单减时，可得 ，解得
，
时无解，令 ，得 ，综上 .故选：B.
53．（20-21高三·四川泸州·阶段练习）已知 ，函数 在区间 内没有最值，
则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正弦函数的最值可得，当 ， 时， 取得最值，所以问题转化为对任意
，都有 ，而当 时，存在 使得 不成立，所以 ，排
除选项 ，当 时，存在 使得 ，排除选项 ,可得选项 正确.
【详解】由 ， ，得 ， ，
因为函数 在区间 内没有最值，
所以对任意 ，都有 ，
当 ， 时， ，故选项 不正确；
当 时，存在 使得 ，故选 不正确.
故选：C.
【点睛】本题考查了正弦函数的最值，属于基础题.
54．（2018·河北衡水·一模）若函数 在区间 内没有最值,则 的取值范围
是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得函数 在区间 内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间
为单调区间的子集得到关于 的不等式组，解不等式组可得所求．
【详解】函数 的单调区间为 ，由 ，
得 ． 函数 在区间 内没有最值，
∵函数 在区间 内单调， ， ，解得
∴ ∴ ∴
．由 ，得 ．当 时，得 ；
当 时，得 ，又 ，故 ．综上得 的取值范围是 ．故选B．
【点睛】解答本题的关键有两个：一是对“函数 在区间 内没有最值”的理解，由此可得函数在
该
区间内单调；二是求出函数 的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再转
化为不等式组求解，根据集合的包含关系得到不等式组时要注意不等号中要含有等号．
55．（23-24高三湖南长沙·开学考试）若函数 在区间 内没有最值，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数 ，由函数 在 上单调列式求解作答.
【详解】依题意， ，函数 的单调区间为 ，
由 ，而 ，得 ，
因此函数 在区间 上单调，
因为函数 在区间 内没有最值，则函数 在区间 内单调，
于是 ，则 ，解得 ，
由 ，且 ，解得 ，又 ，从而 或 ，
当 时，得 ，又 ，即有 ，当 时，得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
题型十二：零点和对称轴型56．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数 ，若 在区间 内有且仅有4
个零点和4条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简函数 ，再结合正弦函数的零点及对称性列式求解即得.
【详解】函数 ，当 时， ，
由 在区间 内有且仅有4个零点，得 ，解得 ，
由 在区间 内有且仅有4条对称轴，得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C
57．（22-23高三·浙江杭州·）已知函数 ，则 在区间 上有且仅
有 个零点和 条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为 ，由 可求得 的取值范
围，结合已知条件可得出关于实数 的不等式，解之即可.
【详解】因为 ，
因为 ，当 时， ，
因为函数 在区间 上有且仅有 个零点和 条对称轴，
则 ，解得 ，
故选：A.58．（2023·浙江杭州·一模）已知函数 （ω＞0），若f（x）在区间 上有且
仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据三角函数恒等变换将三角函数化简成余弦型函数，根据自变量 的取值范围求解出
的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得 的取值范围
【详解】函数 ，
因为 ，所以 ，由于函数 在区间 上有且仅有3个零点和2条对
称轴，根据函数的图像：
所以 ，整理得： ．
故选：D．
59．（22-23高三·江苏盐城·）设函数 在区间 恰有三条对称轴､两个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求得 ，结合函数 在区间 恰有三条对称轴､两个零点，得出
不等式 ，即可求解.
【详解】由函数 ，其中 ，可得 ，
因为函数 在区间 恰有三条对称轴､两个零点，
则满足 ，解得 ，所以 的取值范围为 .
故选：C.
60．（23-24高三·浙江·开学考试）已知函数 （ ），若 在区间 内有且
仅有3个零点和3条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】函数 ．当 时，令 ，则 ，若 在 有且仅有3个零点和3条对称轴，则 在 有且仅有3个零点和3条对
称轴，则 ，解得 .故选：A．
题型十三：不单调型
61．（2023·福建福州·模拟预测）函数 在 上单调递增，且对
任意的实数 ， 在 上不单调，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 ，由题意利用正弦函
数
的单调性可得 ，所以 ，利用正弦函数的周期性可求 的周期 ，解得
，即可得解．
【详解】因为
，又因为 ，且 ，则 ，
若 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
因为对任意的实数 ， 在 上不单调，
所以 的周期 ，所以 ，所以 ．故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实数 ， 在
上不单调与周期间的关系.
62．（22-23高三·安徽马鞍山·）已知函数 （ ）的图象经过点 和 ，
且 在 内不单调，则 的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【解析】由图象经过点 和 列方程组，可得 ，再讨论 可得 ，进而可得
和 的解析式，再检验单调性可得答案.【详解】依题意得 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，消去 得 ，
令 ，则 ，所以 ，因为 ，所以 ，
当 时， ，此时 ， ， ，
此时 在 上为递增函数，不合题意，应该舍去，
当 时， ，此时 ，
，
此时， 在 上递减，在 上递增，符合题意，所以 的最小值为 .故选：B
【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性，根据题意得到 是解题关键，属于中档题.
63．（22-34高三湖南岳阳·）已知函数 ，图象关于y轴对
称，且在区间 上不单调，则 的可能值有
A．7个 B．8个 C．9 个 D．10个
【答案】C
【分析】先求出 ，再根据诱导公式，余弦函数的单调性求出 的范围，可得结论．
【详解】函数 ，图象关于y轴对称，
， ． 在区间 上不单调，则 ，
， ，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共计10个，
经过检验， 不满足条件，故满足条件的 有9个，故选C．
【点睛】本题主要考查正弦函数的奇偶性、以及图象的对称性，余弦函数的单调性，属于中档题．
64．（2022·河南·三模）若直线 是曲线 的一条对称轴，且函数
在区间 上不单调，则 的最小值为（ ）
A．9 B．15 C．21 D．33
【答案】C
【分析】先由 在区间 上不单调，求出 ；由直线 是曲线
的一条对称轴，求出 ，即可得到 的最小值.
【详解】当 时，因为 ，所以 ，又 在区间 上
不单调，所以 ，即 ．
因为直线 是曲线 的一条对称轴，所以 ，即
，故 的最小值为21．故选：C
65．（2024高三全国·专题练习）已知函数 （ ， ， ）的图象关
于 轴对称，且 在区间 上不单调，则 的可能取值有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【答案】C
【分析】根据题意，得到 ，此时 ，结合函数 在区间 上不单调，求得
，即可求解.
【详解】由函数 的图像关于 轴对称，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，又由 ，可得 ，
当 时，可得 ，可得 在 上单调递减，不符合题意；
当 时，可得 ，可得 在 上单调递减，不符合题意；
当 时，可得 ，可得 在 上不单调，符合题意；
当 时，可得 ，可得 在 上单调递增，不符合题意；
当 时，则函数 的最小正周期为 ，此时 ，
所以函数 在 上不是单调函数，符合题意，
所以 ，所以满足条件的 有9个.故选：C.
题型十四：极值点最多（少）型
66．（2024·重庆开州·模拟预测）已知函数 ，则“ ”是“ 的图象在区间
上只有一个极值点”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】先求出 的图象在区间 上只有一个极值点时满足的条件，求出相应 的范围，即可
判断充分必要性．
【详解】当 时，又 ，所以 ，
若 的图象在区间 上只有一个极值点，则 ，解得 ，
因为 真包含于 ，所以 是 的图象在区间 上只有一个极值点的充分不必
要条件．故选：A
67．（2024·河南·模拟预测）已知函数 在 处取得最值，且 在 上
恰有两个极值点，则 （ ）
A．4 B．10 C． D．
【答案】C【分析】根据题意求出 与 的关系式，根据 的范围求出 的范围，当 时同理即可求解.
【详解】由题意可知， ， ，解得 ， ，当 时，
由 ，得 ，由题意，得 ，解得 ，所以 不存在，
当 时，由 ，得 ，由题意，
得 ，解得 ，所以 .故选：C.
68．（23-24高三宁夏石嘴山·阶段练习）设函数 在 内恰有3个极值
点、2个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先作出正弦函数的图像，然后根据极值点个数得到 的取值范围，再根据零点个数得到 的取
值范围，最后综合取得 的取值范围即可.
【详解】如图所示，作出函数 的图像， ，
当 时 ，因为 在 内恰有3个极值点，
所以 ，解得 ；因为 在 内有2个零点，
即方程 在 内有两个解，所以 ，解得 ，
综上可知 ，故选：B
【点睛】关键点睛： 的取值范围问题解题关键在于将给的区间代入，然后根据正弦函数或者余弦函数
的图像去寻找符合要求的区间，最后解不等式即可.
69．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 在 上恰有5个极
值点，则当 取得最小值时， 图象的对称中心的横坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦函数的性质求出 的极值点，根据极值点的个数列出关于 的不等式求出最小值，再
根据正弦函数的性质求出对称中心横坐标即可.
【详解】令 ，故 ，由于在 上恰有5个极值点，故
，解得 ，故当 取得最小值时， ，令 ，则 ，当 时， ，而其他选项不合题意.故选：B．
70．（2023·江西鹰潭·一模）设函数 在区间 恰有3个极值点，2个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，利用余弦函数的图象和性质，求得 的取值范围.
【详解】函数 在区间 恰有3极值点，2个零点，
在 恰有3个零点，又函数 在区间 恰有2零点，
由于 ，则 ，故问题转化为 在 上有3个零点，
在 上有2个零点，结合正余弦函数图象可得： ，故 .
故选：C. . .
题型十五：正整数型
71．（2022·全国·模拟预测）已知函数 的一个对称中心为 ， 在区
间 上不单调，则 的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意可得 ，所以 ， ，由 在区间
上不单调可得 在区间 上有解，所以 ，在区间
上有解，最终可得 ， ，取值即可得解.
【详解】由函数 的一个对称中心为 ，
可得 ，所以 ， ， ， ，
，
由 在区间 上不单调，所以 在区间 上有解，所以 ，在区间 上有解，所以 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
所以 ，当 时， ，此时 的最小正整数为 .故选：B
72．（22-23高三·广东·阶段练习）已知函数 的图象的一条对称轴为 ，
在区间 上不单调，则 的最小正整数值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据余弦型函数的对称性，结合导数的性质、余弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】由函数 的一条对称轴为 ，
可得 ，所以 ， ， ， ，
，由 在区间 上不单调，所以 在区间 上
有解，所以 ，在区间 上有解，所以 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，此时 的最小正整数为5．故选：B
【点睛】关键点睛：利用导数研究原函数的单调性是解题的关键.
73．（2023·河北·模拟预测）已知函数 在区间 上不单调，
则
的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由二倍角公式以及辅助角公式化简 ，进而根据 为正整数，由
的范围，即可结合正弦函数的单调区间进行求解.
【详解】 ，
由于 为正整数，
当 时， ，此时
故此时 在 上单调， 时不符合，当 时， ，此时 且
故此时 在 先增后减，因此不单调， 符合，
当 时， ，此时 ，
而 的周期为 ，此时 在 上不单调， 符合，但不是最小的正整数，同理 要
求符合，但不是最小的正整数，
故选：B
74．（2024·山东烟台·三模）若函数 在 上有且只有一条对称轴和一个对称中心，
则正整数 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先得出 ，然后结合已知列出关于 的不等式组，结合 是正整数即可得解.
【详解】由题意 且 是整数，
若 ，则 ，
若函数 在 上有且只有一条对称轴和一个对称中心，
所以 ，解得 ，即 .
故选：C.
75．（20-21高三·陕西渭南·）已知函数 在区间 上的最小值小于零，则 可
取的最小正整数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】分别对4个选项中 的值进行验证，利用余弦函数的图象与性质判断是否符合题意即可求出结
果.
【详解】A： ，所以 ，则 不存在最小值，不合题意，故A错
误；
B： ，所以 ，则 不存在最小值，不合题意，故B错误；
C： ，所以 ，则 不存在最小值，不合题意，故C错误；
D： ，所以 ，当 时， ，符合题意，故D正确；
故选：D.
题型十六：综合应用型
76．（23-24高三 ·辽宁大连·）已知函数 （ ， ， ），对任意实数x
都有 ， ，且 在 上单调，则 的最大值为 .
【答案】15【分析】根据题意中的两个等式可得 的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调
性求得 且 ，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 的一个对称中心为 ，
因为 ，所以 ，所以 的对称轴方程 ，
有 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 在 上单调，且求 的最大值，所以 ，解得
，因为 ， ，所以 的最大值为15.
故答案为：15
77．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，对于任意的 ，
， ，且函数 在区间 上单调递增，则 的值为
．
【答案】3
【分析】根据函数 在区间 上单调递增得到 的大致取值范围，再根据
，
得到函数 图象的对称性，利用正弦函数的图象与性质分情况求解 的值并验
证，即可得解.
【详解】设函数 的最小正周期为 ，因为函数 在区间 上单调递增，
所以 ，得 ，因此 ．
由 知 的图象关于直线 对称，
由 知 的图象关于点 对称．
①由 ，得 ，即 ，
解得 ，又 ，故 ，
当 时，所以 ，则 ，即 ，又 ，所以
，
故 ， ，满足函数 在区间 上单调递增；
②由 ，得 ，即 ，
解得 ，又 ，故 ，当 时，所以 ，则 ，
即 ，又 ，求得 ，故 ，
因为 ，不满足函数 在区间 上单调递增．
故 ．
故答案为：3.
【点睛】关键点睛：本题解题关键是根据 ， 得到函数 图
象关于直线 对称，关于点 对称．利用正弦函数的图象与性质分 和
两种情况讨论，求解 的值并验证.
78．（23-24高三 江西景德镇·）设函数 ，若 为函数 的零点，
为函数 的图象的对称轴，且 在区间 上单调，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】根据函数的零点和对称轴得到 ，从而得到 ；再根据函
数 在区间 上单调得到 ，从而得到 ；进而可得 然后再验证
时函数 在区间 上不单调，从而得到 .
【详解】因为 为函数 的一个零点，且 是函数f（x）图象的一条对称轴，
所以 ，所以 ，所以 ；
因为函数 在区间 上单调，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以
当 时， ， ， ，
又因为 ，则 所以 ，
又 ，则 ，
所以函数 在区间 上不单调，所以 舍去；
当 时， ， ， ， ，又因为 ，则 所以 .
又 ， ，
所以函数 在区间 上单调，所以 .
故答案为： .
79．（23-24高三 ·广东深圳·）已知函数 （其中 ）. 为 的最小正周
期，且满足 .若函数 在区间 上恰有一个最大值一个最小值， 的取值范围是
.
【答案】 .
【分析】根据题意可得 为 的一条对称轴，即可求得 ，再以 为整体分析可得
，计算可得.
【详解】由题意可得： 的最小正周期 ， ，且
，
∵
则 为 的一条对称轴， ，解得
∴
，
又 ，则 ， ，故 ， ，则 ，
∵ ∵
若函数 在区间 上恰有一个最大值一个最小值，则 ，解得 ，
故 的取值范围是 .故答案为： .
80．（23-24高三 ·浙江温州·）已知函数 ，对 都有 ，且在
上单调，则 的取值集合为
【答案】
【分析】根据 ，得到 ，结合在 上单调可得 或 ，检
验可得答案.
【详解】因为对 都有 ，
所以 ，可得 ，
， ，又 在 上单调， ， ，
即 ，由 可得 ，或 ，
当 时， ， ， 都有 ，
且当 时， ，即函数 在 上单调递增，因此 符合题意；
当 时， ， ， 都有 ，
且当 时， ，即函数 在 上单调递减，因此 符合题
意，
所以 的取值集合为 .
故答案为： .
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出
相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.
