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4.1 导数的概念及其意义、导数的运算（精练）
1．（2023河南）已知函数 的导函数为 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】D
【解析】由导数定义和 ，得
.故选：D.
2．（2023·辽宁）已知函数 ，则
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】 ；故选：B.
3．（2023·上海·高三专题练习） ， 在 处切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知， ，令 ，
∴ ＝ ，解 ，
∴ 在 处切线方程为 ，即 ．
故选：B．
4．（2023春·河南·）设函数 的图像在 处的切线为 ，则 在 轴上的截距为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 的方程为 ，
即 ,令 ，解得 ,则 在 轴上的截距为 .故选：B
5．（2022秋·山东济宁·高三统考期末）已知函数 在点 处的切线与直线
垂直，则 （ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】 ，故 ，故图象在点 处的切线的斜率为 ，
所以 即 ，故选：B
6．（2023春·北京）若直线 是函数 切线，则实数 的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由题意设切点为 ，则 ，由 ，得 ，故 ，故
，
故 ，故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）曲线 在点 处的切线方程为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】由切点 在曲线上，得 ①；由切点 在切线上，得 ②；
对曲线求导得 ，∴ ，即 ③，
联立①②③ ，解之得 故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）设点 是函数 图象上的任意一点，点 处切线的
倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，
， ， ， ， .
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为 ， .
， .故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是曲线 上一动点，当曲线在 处的切线斜
率取得最小值时，该切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】根据题意得， ，所以 ，当且仅当
时成立，所以该切线的倾斜角为： .故选：D.
10．（2023·福建）已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ，则函数 的图
象在点 处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 是奇函数，
恒成立，所以 ，
， ，
所以 ， ，即 ，
．
故选：A．
11（2023·内蒙古通辽·校考二模）曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）
A．－ B． C．－ D．
【答案】B
【解析】 把 代入得导数值为 ，即为所求切线的
斜率．故选：B
12．（2023·黑龙江）已知点P在曲线 上， 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，由于 ，所以 ，
根据导数的几何意义可知： ,所以 ，故选：D.
13．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数 在 处的切线如图所示，则
（ ）
A．0 B． C． D．-
【答案】A
【解析】因为切线过 和 ，所以 ，所以切线方程为 ，
令 ，则 ，所以 ，所以 .故选：A.
14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设点P是函数 图象
上的任意一点，点P处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】 ，
， ， ， ， .
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为 ， .
， .故选：B.
15．（2023·吉林）曲线f(x)＝xln x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ；所以 ，所以曲线在点 处的切线的斜率是 ，设曲线在点
处的切线的倾斜角是 ，则 ，因为 ，所以 ，故选B.
16．（2022秋·安徽）过坐标原点且与曲线 相切的直线斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，设切点为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，
所以切线方程的斜率为 .
故选：B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】17．（2023·河南郑州·统考二模）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则
（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．0
【答案】C
【解析】由题意可得 ，
根据导数的几何意义可知，在点 处的切线斜率为 ，解得 ；
所以切点为 ，代入切线方程可得 ，解得 .
故选：C
18．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线 为曲线 的一条切线，则实数k的值
是（ ）
A．e B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，
因为 ，所以 ，所以切线斜率 ，
所以曲线 在 点的切线方程为 ，
又 ，所以切线方程为 ，又切线方程为 ，
所以 ，解得 ， ，故A，B，C错误.
故选：D.
19．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知函数
.若曲线 和 在公共点 处有相同的切线，则a，b的值分
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，由题意， 解得
故选:A.
20．（2023·广西）曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记 ，则 ，
，又 ，
曲线 在 处的切线方程为： ，即 ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ；
该切线与坐标轴围成的三角形面积为 .
故选：A.
21．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知函数 是定义在 上的奇函数，则函数 的
图像在点 处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以函数 的图像在点 处的切线的斜率为 .故选：D.
22．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知函数 ，则 在 处的
切线方程为___________.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ， ，
所以 ，切线方程为 ， 即 .故答案为： .
23．（2022秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知函数 ，且
，则函数 在 处的切线方程是___________.
【答案】
【解析】由 ，得 ，
而 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 .
故答案为： .
24．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，其导函数为 ，则曲线 过点
的切线方程为______．
【答案】 或
【解析】设切点为 ，由 ，得 ，
∴ ，得 ，∴ ， ，
∴切点 为 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴曲线 在点M处的切线方程为 ①，
又∵该切线过点 ，∴ ，解得 或 ．
将 代入①得切线方程为 ；
将 代入①得切线方程为 ，即 ．
∴曲线 过点 的切线方程为 或 ．
故答案为： 或
25．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）过点 与曲线 相切的直线方程为
______．
【答案】
【解析】设切点坐标为 ， ， .
则切线方程为 ，因为 在切线上，
所以 ，即
又 ，所以 ，
令 ， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以方程 只有唯一解为 .
即切点坐标为 ，故所求切线方程为 ，即 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】26．（2023·福建莆田·统考二模）直线l经过点 ，且与曲线 相切，写出l的一个方程
_______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为 ，所以 ，
不妨设直线l与 的切点为 ，斜率为 ，
则 ，解得 或 或 ，
当 时，直线l为 ；
当 时，直线l为 ，即 ；
当 时，直线l为 ，即 ；
综上：直线l的方程为 或 或 .
故答案为： （答案不唯一）.
27．（2023·云南·统考模拟预测）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范
围为_____.
【答案】
【解析】设切点坐标为： ，所以切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，整理得 ，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，所以 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，所以实数a的取值范围为 .故答案为： .
28．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）若曲线 与曲线 有一条过原点的公切线，
则m的值为__________．
【答案】8或
【解析】因为过原点斜率不存在的直线为 ，该直线与曲线 不相切，
所以设曲线 的过原点的切线的方程为 ，切点为 ，则 ， ，
，
所以 ，当 时， ，
所以直线 与曲线 相切，设切点为 ，则 ， ，
，
所以 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
则 ， ， ，
满足方程 的解不存在，故 不存在.
所以 或 ，
故答案为：8或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】29．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为
______.
【答案】
【解析】设切点坐标为： ， ，
所以切线斜率为 ，
即切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，
整理得 ，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，
所以 ，解得
故答案为：
30．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 ，若存在实数 ，使得曲线
在点 处的切线与直线 垂直，则实数 的最大值是_______
【答案】
【解析】由 ，得 ，
则 在点 处的切线斜率为 ，
由二次函数性质知 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，所以 ，
因为切线与直线 垂直，所以 且 ，
所以 ，即实数 的最大值是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
31．（2023·四川南充·统考二模）已知直线 与曲线 相切，则m的值为______．
【答案】1
【解析】由题意 ，可得 ，
直线 与曲线 相切，设切点为 ，
则 ，则 ，
即切点为 ，将该点坐标代入 ，可得 ，
故答案为：1
32．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若直线 与曲线 和 均相切，
则 __________.
【答案】
【解析】设直线 与 相切于点 ， ，
因为直线 与 相切，所以 ，且 ；解得 ；
因为直线 与曲线 相切，联立得 ， 且 ，即 .
故答案为： .
33．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数 ， ， 若
曲线 与曲线 在公共点处的切线相同，则实数 ______.
【答案】1
【解析】 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设公共点为 ，则 ，即 ，消 得
，
令 ，
∴ 在 上单调递增，又 ，∴ ， ．.
故答案为：1.
1．（2023·全国·模拟预测）已知直线 为曲线 在 处的切线，则点 到直线 的距离为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数 ，可得 ，则 ，即切线的斜率为 ，
又由 时，求得 ，即切点坐标为 ，
所以切线方程为 ，即 ，
由点到直线的距离公式，可得点 到直线 的距离 .
故选：D．
2．（2023春·河南郑州）设点 是函数 图象上的任意一点，点 处切线的倾
斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】D
【解析】 ,则 ，所以 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，即 ，所以
.
故选：D.
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若过点 可作曲线 的两条切线，则点
可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切点坐标为 ，对函数 求导可得 ，
所以，切线斜率为 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
将点 的坐标代入切线方程可得 ，即 ，
因为过点 可作曲线 的两条切线，则关于 的方程 有两个不等的实数解，
所以， ，即 ，即 ，
对于点 ， ，A不满足；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于点 ， ，B不满足；
对于点 ， ，C满足；
对于点 ， ，D不满足.
故选：C.
4．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若过点 可以作曲线
的两条切线，切点分别为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设切点 ，
则切线方程为 ，
又切线过 ，则 ，
有两个不相等实根 ，
其中 或 ，
令 或 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，当 时， ，
所以 ，
即 .
故选：D.
5．（2023·山西·统考模拟预测）已知函数 ， ，若存在直线 ，使 是曲线
的切线，也是曲线 的切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设直线 为曲线 在点 处的切线， ，所以 ，即
；
设直线 为曲线 在点 处的切线， ，
所以 ，即 ，
由题意知 ，因为 ，
由 可得 ，将其代入 可得：
，显然 ，整理得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】记 且 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，则 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
故选： .
6（2021·全国·统考高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .
故选：D.
7．（2023春·安徽合肥·）（多选）下列函数在 处的切线倾斜角是锐角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由 可得 ，则 ，
故 在 处的切线倾斜角是钝角，A错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 可得 ，则 ，
故 在 处的切线倾斜角是锐角，B正确；
由 可得 ，则 ，
故 在 处的切线倾斜角是锐角，C正确；
由 可得 ，则 ，
故 在 处的切线倾斜角是钝角，D正确；
故选：BC
8．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知曲线 及点 ，则过点 且与曲线 相
切的直线可能有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】BC
【解析】因为 ，所以 ，
设切点 ， 在点 处的导数为 ，
根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有：
整理得 ，所以 ，
①当 时， 可化为 ，
由函数定义域知分母不为0， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以只能解得 ，因此过 只能找到一条与曲线相切的直线；
②当 时， 可化为 ，
是关于 的二次方程， ，且两根之积为 ，
所以所求根之中一定不含0，此时对任意 能够找到两个 满足条件.
综上所述，过点 且与曲线 相切的直线可能有1或2条.
故选：BC.
9．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）（多选）已知函数 ，过点 作曲线 的切线，
下列说法正确的是（ ）
A．当 ， 时，有且仅有一条切线
B．当 时，可作三条切线，则
C．当 ， 时，可作两条切线
D．当 时，可作两条切线，则b的取值范围为 或
【答案】AD
【解析】A：当 时，点 在 上， ，
若 为切点，则切线斜率为 ，所以切线方程为 ，
若 不为切点，设切点坐标为 ，所以 ，
切线斜率为 ，所以 ， ，即切点为原点，所以 时，有且仅有一条切线，正确；
B：设切点坐标为 ，所以 ， ，
则切线的斜率为 ，切线方程为 ，
当 时， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 时 有极小值，为 ， 时 有极大值，为 ，
时 ，画出 的图象，
当 时，若有三条切线，则 与 有3个交点，由图得 ，错误；
C：当 时，由切线方程得 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 单调递减，且 ，
如图，
所以当 ， 时， 与 有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D：当 时，由切线方程为 得 ，则 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以当 时 ， 单调递增，
所以当 时 ， 单调递减，
所以当 时 ， 单调递减，
时， 有极小值为 ，
时， 有极大值为 ，
的图象为
若有两条切线，则 的取值为 或 ，正确.
故选：AD.
10．（2023春·江苏南京·高三校联考期末）（多选）已知函数 ，则（ ）
A．点 是曲线 的对称中心
B．当 时，函数 有两个极值点
C．当 时，函数 有三个零点
D．过原点可作曲线 的切线有且仅有两条
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】AB
【解析】选项A：因为 ,所以点 是曲线 的对称中心,
故A正确；
选项B：因为 ,所以
令 解得 或 ，令 解得 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值， 故B正确；
选项C： 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
,解得 时, 函数 有三个零点, ，故C错误；
选项D： ，设切点为 ，
所以在点 处的切线方程为： ，
又因为切线过点 ，所以，
解得 ， ，
即过点 可以作曲线 的1条切线，故D错误；
故选：AB
11．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）（多选）已知O为坐标原点，曲线 在点 处的切
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】线与曲线 相切于点 ，则（ ）
A． B．
C． 的最大值为0 D．当 时，
【答案】AB
【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
切线： ，即 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
切线： ，即 ，
由题意切线重合，所以 ，所以 ，即 ，A正确；
当 时，两切线不重合，不合题意，
所以 ， ， ，
所以 ， ，B正确；
，
当 时， ， ，则 ，当 时， ， ，
则 ， ，所以 ，C错误；
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，∴ ，
记 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，则 ，所以 ，D错误.
故选：AB
12．（2023·安徽·统考一模）若过点 有3条直线与函数 的图象相切，则 的取值
范围是__________.
【答案】
【解析】由题意可得 ，
设切点坐标为 ，则切线斜率 ，
所以切线方程为 ，
将 代入得 .
因为存在三条切线，即方程 有三个不等实数根，
则方程 有三个不等实数根等价于函数 的图像有三个交点，
设 ，则 ，
当 时， 单调递增；
在 和 上， 单调递减， ，
当 或 时， ，
画出 的图象如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】要使函数 的图像有三个交点，需 ，
即 ，即 的取值范围是 ，
故答案为：
13．（2022·全国·统考高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
________________．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
14．（2023·全国·模拟预测）若曲线 只有一条经过点 的切线，则 的值可以为
______，此时切线方程为______．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 0或4 或4
【解析】设切点坐标为 ．
由 ，得 ，
所以切线方程为 ．
将点 的坐标代入，得 ．整理，得 ．
由题意可知，方程有两个相等的实数根，则 ，解得 或 ．
当 时， ，此时切线方程为 ，即 ；
当 时， ，此时切线方程为 ，即 ．
故答案为：0或4； 或4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
