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3.3 指数运算及指数函数（精练）
1．（2023云南）函数 单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，设 ，则 为减函数，
求 的单调递增区间，等价于求 的单调递减区间，
因为 在 单调递减， 所以函数 的单调递增区间是 ，故选：
C．
2．（2023·河北）已知函数 ．若函数 的最大值为1，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，令 ，
则 ，当 时， ，解得 .故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）如果函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值是14，
则a的值为（ ）
A．3 B． C．-5 D．3或
【答案】D
【解析】令a＝t，则 ．当a＞1时，因为 ，所以 ，又函数y＝（t＋1）2－2在 上单调递增，所以y ＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（a＝-5舍去）．
max
当0＜a＜1时，因为 ，所以 ，又函数y＝（t＋1）2－2在 上单调递增，
则y ＝ ，解得 （ 舍去）．综上知a＝3或 ．故选：D
max
4．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 是偶函数且是增函数 B． 是偶函数且是减函数
C． 是奇函数且是增函数 D． 是奇函数且是减函数
【答案】C
【解析】函数 的定义域为R， ，即函数 是奇函
数，AB错误，
因为函数 在R上递增，则函数 在R上递减，所以函数 是增函数，D错误，C正确.
故选：C
5．（2023北京）（多选）已知函数 是 上的增函数，则实数 的值可以是
（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】CD
【解析】由函数 是 上的增函数，所以 所以 ，故选：CD．
6．（2023·浙江·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，又因为通过计算知 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 .故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ， ， ，则 ， ，
又 ， ，则 ，即 ，所以 ．故选：D．
8．（2023上海）指数函数 与 的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】因为函数 的图象是下降的，所以 ；又因为函数 的图象是上升的，所以 .
故选：C.
9．（2023天津）若方程 有两个实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 ，易知函数 是减函数，故最多有一个零点，故不成立；
当 时，令 ， ，
函数 有两个零点即转化为
与 的图像有两个交点，如下图，
由图可知，当 时， 与 的图像必有两个交点,即函数 有两个零点.故选：A.
10．（2023秋·四川凉山）函数 有两个不同的零点，则 （ 且 ）的图象
可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为函数 有两个不同的零点，所以 ，解得 或 ，
则在函数 中 ，函数 的图象是由函数 的图象向下平移 个单位得到的，
作出函数 的大致图象，如图所示，
所以 （ 且 ）的图象可能为B选项.故选：B.
11．（2023·甘肃）已知函数 （ ，且 ）的图象过定点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 （ ，且 ）的图象过定点 ，所以 为 ，
，故选：C.
12．（2023·江西萍乡）函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】函数 定义域为
是奇函数，排除选项A和C
又 ，排除选项D故选：B
13．（2023·山东青岛·统考模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】不等式 等价于 ，由 可推出 ，
由 不一定能推出 ，例如 时， ，但 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 若 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由解析式易知： 在R上递增，又 ，所以 ，则 .故选：D15．（2023·全国·高三专题练习）若直线 与函数 （ 且 ）的图象有两个公共点，则
的取值不可以是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】 的图象由 的图象向下平移一个单位，再将 轴下方的图象翻折到 轴上方得到，
分 和 两种情况分别作图.
当 时，图象如下图所示：
此时需要 ，即 ，所以 ；
当 时，图象如下图所示：
此时需满足 ， 都符合条件；
综上可知, 的取值范围为 或 ，所以 的取值不可以是D.故选：D
16．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数 的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4
个单位长度，所得函数图象与曲线 关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【解析】函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，将 的图象向下平移4个单位长度得到 的图象，
再将 的图象向左平移1个单位长度得到 的图象，
即 ，故 .故选:D.
17．（2023春·内蒙古呼和浩特）函数 的单调递增区间是______．
【答案】
【解析】由 ，即 上递增， 上递减，又 在定义域上递增，
所以 上 递增， 上 递减，故 递增区间为 .故答案为：
18．（2023·陕西渭南）若直线 与函数 （ ，且 ）的图像有且只有两个公共点，则
a的一个取值可以是________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】当 时，作出函数 的图象，要使直线 与函数 的图象有两个
公共点，则 解得 ；综上，可知 无解；
当 时，作出函数 的图象，要使直线 与函数 的图象有两个公共点，
则 ，解得 ；故答案为： （答案不唯一）19．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最大值为__________
【答案】
【解析】 , ，即 ，
，当且仅当 时等号成立.则 的最大值为 .故答案为： .
20．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知函数 是偶函数，则
__________.
【答案】
【解析】因为函数 是偶函数，
所以 ，即 ，整理得 ，
对于 ，上方等式恒成立，则 ，解得 故答案为：
21．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知函数 为奇函数，则实数 ______.
【答案】
【解析】因为函数 为奇函数，所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 .故答案为： .
22．（2023·山西运城）已知函数 是奇函数，则 __________.
【答案】【解析】因为 ，故 ，
因为 为奇函数，
故 ，
即 ，故 .故答案为： .
23．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为______．
【答案】
【解析】 ，故 ，即 ，解得： 或 ，
故值域为 故答案为：
24．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）若指数函数 的图象经过点 ，则
不等式 的解集是______________________．
【答案】
【解析】由题意设函数 （ 且 ），
因为 的图象经过点 ，所以 ，解得 ，所以 ，
因为 ，即 ，所以由 在 上递减得 ，解得 ，
故答案为：25．（2023春·云南玉溪·）若函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是
______.
【答案】
【解析】因为函数 在区间 上存在零点，
即 与 在 上有交点，
又 ， 在 上单调递增，
故 时，则 ，
设 ，则 ，
由 可得 ，
即 与 在 上有交点，则 .
故答案为：
26．（2023·浙江杭州）已知函数 ，则函数 的值域为___．
【答案】
【解析】设 ，则 ，此时 ，
当 时，即 ，函数取得最小值，此时最小值为 ；
当 时，即 ，函数取得最大值，此时最大值为 ．
故答案为： .
27（2023·单元测试）已知 在 上恒成立，则实数m的最小值是_________．【答案】 /
【解析】因为 在 上恒成立，也即 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，也即 ，
所以 ，则 ，所以实数 的最小值为 ，
故答案为： .
28．（2023·全国·高三对口高考）利用函数 的图象，作出下列各函数的图象．
(1) ；(2) (3) ；(4) ；(5) ；(6) ．
【答案】图象见详解
【解析】（1）把 的图象关于 轴对称得到 的图象，如图，
（2）保留 图象在 轴右边部分，去掉 轴左侧的，并把 轴右侧部分关于 轴对称得到 的
图象，如图，
（3）把 图象向下平移一个单位得到 的图象，如图，（4）结合（3），保留 上方部分，然后把 下方部分关于 轴翻折得到 的图象，如图，
（5）把 图象关于 轴对称得到 的图象，如图，
（6）把 的图象向右平移一个单位得到 的图象，如图，1．（2023·吉林）（多选）若函数 的图像经过点 ， 则（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． 的最大值为 81 D． 的最小值为
【答案】AC
【解析】对于 :由题意得 ， 得 ,故 正确;
对于 :令函数 ， 则该函数在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 是减函数， 所以 在 上单调递增， 在 上单调递减， 故 错误;
对于 :因为 在 上单调递增， 在 上单调递减,
所以 , 无最小值．故 正确, 错误;
故选: .
2．（2023·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 （ ）恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，又 恒成立，即 恒成立，
因为 在 上单调递减，所以 ，所以 ，即 ；
故选：B
3．（2023春·重庆永川）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）A．定义域为 B．值域为
C．在 上单调递增 D．在 上单调递减
【答案】ABD
【解析】函数 ，可得函数定义域为 ，故A正确；
设 ，
由指数函数的单调性得到，函数值域为 ，故B正确； 在 上是单调递增的，
而 在定义域内是单调递减的，
根据复合函数单调性法则，得到函数在 上单调递减，故C错误；D正确．故选:ABD．
4．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）（多选）若 ，其中 为自然对
数的底数，则下列命题正确的是（ ）
A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 中心对称
【答案】BC
【解析】因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 在定义域 上单调递增，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故A错误，B正确；
又 ，所以 为偶函数，函数图象关于 轴对称，即关于直线
对称，故C正确，D错误；
故选：BC
5．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）（多选）已知函数 ，对于任意的 ， ， ，关于 的方程 的解集可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】令 ，则方程 化为 ，
由给定的选项知，方程 有实根，设其根为 ，
函数 定义域为R，
，在 上递减，在 上递增，
且 的图象关于直线 对称， ，
当 时，方程 无解，
当 时，方程 有一解 ，
当 时，方程 有两解且和为2，
对于A，当 时，方程 有两解且和为4，
与题意矛盾，故A不符合要求；
对于B，当 时，方程 有两解且和为2，又 关于 对称，故B符合
要求；
对于C，当 时，方程 有三个解，其中一个为1，另两个的和为2，故C不
符合要求；
对于D，当 时，方程 有四个解，必满足其中两根和与另两根和都为2，又
关于 对称， 关于 对称，故D符合要求，
故选：BD.
6．（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】观察图象知，图象对应函数的定义域为R，值域为 （a为正常数），函数在R上单调递增，
其图象过原点，
对于A，函数 的定义域为R，值域为 ，不符合题意，A不是；
对于B，函数 的定义域为R，当 时， ，当且仅当 时取等号，
因此函数 在 上有最大值1，不符合题意，B不是；
对于C，函数 有意义， ，解得 ，即函数 的定义域为 ，不符合题
意，C不是；
对于D，函数 的定义域为R， ，当 时， ，
因为函数 在R上单调递增，则函数 在R上单调递减，因此 在R上单调递增，
又 ，即 ，因此 ， ，则函数 的值域为 ，
所以函数 符合题意，D是.故选：D
7．（2023秋·广东·高三统考期末）（多选）已知 是定义在 上的奇函数， 的图象关于 对称，
当 时， ，则下列判断正确的是（ ）A． 的周期为2 B．
C． 是偶函数 D． 的值域为
【答案】BC
【解析】对于A， 的图象关于 对称， ，
又函数 为奇函数， ，
， ，
即函数 的周期为4，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， 的图象关于 对称， 的图象关于 对称， 是偶函数，故C正确；
对于 ，当 时， ，
的图象关于 对称， 当 时， ，
又函数 为奇函数，则当 时， ，
当 时， ，
又 ，
综上可得， 的值域为 ，故 错误.
故选：BC.
8．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上是增函数 B． 的图象关于 轴对称C． 的图象关于点 对称 D．不等式 的解集是
【答案】BD
【解析】对于A选项，当 时， ，
所以，函数 在 上为减函数，A错；
对于B选项，对任意的 ，则 ，
所以， 的图象关于 轴对称，B对；
对于C选项，因为 ，
故函数 的图象不关于点 对称，C错；
对于D选项，由 ，可得 ，
解得 ，可得 ，解得 ，
因此，不等式 的解集是 ，D对.
故选：BD.
9．（2023·山东青岛·统考模拟预测）（多选）已知函数 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，方程 有两个解
【答案】AC
【解析】 在定义域内单调递增，
所以当 时， ，即当 时， ，
所以 ，故A正确；
当 时，要证明 ，
只需证明 ，
故考虑构造函数 ，则 ，
当 时， ，函数 在 单调递增，
所以当 时， ，即 ，所以B错误；
设 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，C正确；
取 可得，方程 等价于 ，解得 ，
即 时，方程 只有一个解，D错误.
故选：AC.
10．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）（多选）若实数 满足 ，则（ ）
A． 且 B． 的最大值为
C． 的最小值为7 D．
【答案】ABD【解析】由 ，可得 ，所以 且 ，故A正确；
由 ，可得 ，即 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故B正确；
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为9，故C错误；
因为 ，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
11．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）若实数x，y满足 ，则 的值可以是
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，又 ，
所以 ，
设 ，则 ，即 .
因为 ，
即 ，当且仅当 ，即 时等号成立，解得 ， ，所以 的取值范围是
故选：C.
12．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若 是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意， 是定义在R上的奇函数， ，
A选项，对于函数 ，
，所以函数 不是奇函数.
B选项，对于函数 ，
，所以函数 不是奇函数.
C选项，对于函数 ，
，所以函数 是奇函数.
D选项，对于函数 ，
，所以函数 不是奇函数.
故选：C
13．（2023·上海嘉定·高三校考期中）已知不等式 对于 恒成立，则实数 的取值
范围是__．
【答案】【解析】设 ，因为 ，则 ，
不等式 对于 恒成立，
等价于 ，即 在 恒成立，
设 ， ，令 ， （负舍），
则根据对勾函数的性质可知：
在 上为单调减函数，则 ，
所以 ，故实数 的取值范围是 ，
故答案为： .
14．（2023·海南）若关于 的方程 有实根，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】方程 有实根，
所以 有实根，
令 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上有解，
又因为当 时 ，
所以 ，
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，若不等式
对任意的 恒成立，则实数m的取值范围是__________．【答案】
【解析】因为函数 是定义在R上的奇函数，
所以 解得 ，
此时 ，
函数为奇函数，满足题意，
所以 ，
因为 在R上单调递增，所以 在R上单调递减，
所以 在R上单调递增，
所以由 可得，
即 ，
所以 即 在 恒成立，
令 ，即 ，
当 时， ，
不等式可化为 ，
令 ， 单调递减，所以 ，
所以 ；
当 时， ，
不等式 显然成立；
当 时， ，不等式可化为 ，
令 ， 单调递减，
所以 ，所以 ；
综上， ,
故答案为: .
