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第四章 三角函数（提高卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·陕西汉中·高一期中）如图，时钟显示的时刻为12：55，将时针与分针视为两条线段，则该时刻
的时针与分针所夹的锐角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由图可知，该时刻的时针与分针所夹的锐角为 ．
故选：B.
2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文）） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
.
故选：A
3．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知角 的大小如图所示，则 （ ）A． B．5 C． D．
【答案】A
由图可知， ，
；
故选：A.
4．（2022·四川·成都实外高一阶段练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
∵ ， ， ，∴ ，
，因为 ，∴ ，所以 .
故选：B.
5．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形
的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为 ，若 ，则
（ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
【答案】B
．
故选：B．
6．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知 ，若存在
，使不等式 有解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
.
，使不等式 有解
则
当 时， 取得最小值， .
所以
解之得： 或
的取值范围是
故选：B
7．（2022·北京市第三十五中学高一阶段练习）将函数 的图像向右平移 个
长度单位后，所得到的图像关于 轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，将图像向右平移 个单位长度后，变为 ，
此时图像关于 轴对称，所以当 时， ， ，则 .
又 ，则 的最小值是 .
故选：D.
8．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））法国数学家傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768—
1830）证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数 之和，若某一乐声的
数学表达式为 ，则关于函数 有下列四个结论：
① 的一个周期为2 ；
② 的最小值为－ ；
③ 图像的一个对称中心为（ ，0）；
④ 在区间（ ， ）内为增函数．
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②④
【答案】D
因为 ，
所以2 是 的一个周期，①正确；
，
令 ，则 ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以h（t）在区间[－1，－ ）和区间（ ，1]内单调递减，
在区间（－ ， ）内单调递增，
当 时，h（t）取得极小值 ，又 ，故 ，②正确；
由于
，
即 ，所以 不是f（x）图像的一个对称中心，③错误；
当 时，由 得 ，解得 或 ，
由 得 ，解之得 ，
综合复合函数的单调性，所以 在区间[0， ），（ ， ）内单调递增，
在区间（ ， ），（ ， ]上单调递减，④正确．
故选：D．
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）设函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减 D． 在 上的最小值为0
【答案】ABC
当 时， ，所以 的图象关于点 对称，A正确；
当 时， ，所以 的图象关于直线 对称，B正确；
当 时， ， 在 上单调递减，故C正确；
当 时， ， 在 上的最小值为 ，D错误.
故选：ABC
10．（2022·辽宁·高一期中）若 ，则 的值可能为（ ）A． B． C． D．
【答案】AC
解：由题意得 ，
所以 ，
所以 的值可能为 ， ．
故选：AC
11．（2022·江西·南昌二中高一阶段练习）已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 是偶函数；
B． 的最小正周期为 ；
C． 在区间 上单调递增；
D．若方程 在 有四个不同的实根，则这四个实根之和为 或 ．
【答案】BC
函数
所以
由 ，可知A错误；
画出函数 在 的图象，如图所示：
显然有 ，结合图象 的最小正周期为 ，所以B正确；在区间 上 ， 为增函数，C正确.
当 时，四个实根之和为 ，当 时，四个实根之和为 ，
当 时，四个实根之和为 ，所以D错误.
故选：BC.
12．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知 ， ，若 在 上
恰有2个零点 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．存在 使 是奇函数 B．当 时，
C． D． 在 上单调递增
【答案】BCD
由 ， ， 不恒成立，故不存在 使 是奇函数，A不
正确；
当 时，由
得 ，或 ，又
解得 ，则B正确；
由
由 ，得 ，
若 在 上恰有2个零点 ，令 得 ，在
仅有两个解，故 ，所以 ，C正确；
由 得 ，又因为 ，
所以 ，故 在 上单调递增正确，
故选：BCD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·贵州·遵义四中高一期中）在半径为 的圆中，一条弦的长度为 ，则这条弦所对的圆心角是
__________．
【答案】 ##
若圆心角为 ，则 ，而 ，故 ，
所以圆心角为 .
故答案为：
14．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）已知 ，则 _______．
【答案】
因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，故 ，
故答案为： .
15．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既
经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量
稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车
按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当 时，盛水筒M位于点 ，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足 ，则当筒车旋转100秒时，盛水筒
M对应的点P的纵坐标为____________．
【答案】
因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，
所以 ，得 ，
所以 ，
因为当 时，盛水筒M位于点 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为 ，
故答案为：
16．（2022·辽宁·高一期中）函数 的最小值为______，此时 ______．
【答案】 49 ##0.4由题意得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故答案为：49，
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·湖北·高一阶段练习）在① ，② 这两个条件中任选一个，补充
到下面的问题中，并解答.
已知角a是第一象限角，且___________.
(1)求 的值；
(2)求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) (2)
(1)解：选①：因为 ，所以 ，所以 ，
因为角 是第一象限角，所以 ，则 .
选②：因为 ，所以 ，
解得 或 ，
因为角 是第一象限角，所以 .
(2)解：由
因为 ，所以 ，
即 .
18．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高二阶段练习）已知函数 的周期为
，图象的一个对称中心为 ，若先把函数 的图象向左平移 个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象.
(1)求函数 与 的解析式；
(2)设函数中 ，试判断 在 内的零点个数
【答案】(1) ， (2)2
(1)根据题意可得： ，则
∵图象的一个对称中心为 ，则 ，即
又∵ ，则
∴
函数 的图象向左平移 个单位长度，得到
然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
∴ ，
(2)
令 ，则 或
∵ ，则有：
若 ，则 或 ；若 ，无解
∴ 在 内有2个零点
19．（2022·江苏省镇江第一中学高一阶段练习）已知函数 ．
(1)用五点法画出函数 的大致图像，并写出 的最小正周期；
(2)写出函数 在 上的单调递减区间；(3)将 图像上所有的点向右平移 个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，得到
的图像，求 在区间 上的最值．
【答案】(1)图象见解析， ；
(2)
(3) ， ；
(1)解：因为 ，
列表如下：
0
0 2 0 0
函数图象如下：
函数 的最小正周期 ．
(2)解：令 ，
解得 ，
所以函数的单调递减区间为(3)解：将 图像上所有的点向右平移 个单位长度得到 ，
再 将横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变得到 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
当 ，即 时 ，当 ，即 时 ；
20．（2022·云南·昆明一中高一期中）已知平面向量 ， ， ，
其中 ．
(1)求函数 的单调增区间；
(2)将函数 的图象所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的 （纵坐标
不变），再向下平移1个单位得到 的图象，若 在 上恰有2个解，求m的取值范
围．
【答案】(1) (2)
(1)解：因为 ， 且 ，
所以 ，
，
即 ，
令 ， ，解得 ， ，
又因为 ，
所以函数 的单调增区间为： ．(2)解：因为 ，
所以将函数 的图象所有的点向右平移 个单位得到
，
将所得图象上各点横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变）再向下平移 个单位得到 ，
又因为 ，所以 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
作出 图像可得：
所以 的取值范围 ．
21．（2022·山东省青岛第十九中学高一期中）已知函数 ．
(1)若不等式 对任意 恒成立，求整数m的最大值；
(2)若函数 ，将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位，得到函数 的图象，若关于x的方程 在 上有2个不同实
数解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)4；
(2) .
(1)当 时， ，则当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
，于是得 ， ，
依题意，任意 ， ，因此有 ，
所以整数m的最大值是4.
(2)依题意， ，则 ，
当 时， ，当 ，即 时，
函数 在 上单调递增，函数值从 递增到1，
当 ，即 时，函数 在 上单调递减，函数值从1递减到 ，如
图，
方程 在 上有2个不同实数解，等价于函数 在 上的图象与直线
有两个公共点，
观察图象知，当 时，函数 在 上的图象与直线 有两个公共点，所以实数k的
取值范围是 .22．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数 ．
(1)若 为奇函数，求实数 的值；
(2)若对任意 ，总存在 ，使 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)若 为奇函数，因为 的定义域为 ，所以 ，则 .
(2) ， ，所以 ，
设 在 的值域为 在 上的值域为 ，则 ．
当 时， 在 单调递减， ， （舍）
当 时， ，即 ，
若 在 单调递减，只需 ；
若 ， 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，只需
得 ；
若 ， ，所以只需 ，即
综上，实数 的取值范围为 ．
