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1.5 复数考点一 复数的基本概念
【例1-1】（2024·黑龙江吉林·二模）复数 的虚部是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以复数 的虚部为 .选：C.
【例1-2】（2024山东）已知复数 的实部为3，则实数 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．5
【答案】B
【解析】由题意得， ，则其实部为 ，解得 .故选:B.
【一隅三反】
1．（2024·湖南·模拟预测）已知复数 ，则复数 的实部与虚部之和为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】因为 ，所以复数 的实部与虚部之和 ，故选:B.
2．（2024内蒙古赤峰）复数 的虚部为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】由 ，所以虚部为 2. 故选：B.
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 为虚数单位， 为实数，若 ，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D【解析】由题意 ，所以 ，解得 ，所以
.故选：D.
考点二 复数的分类
【例2-1】（2024·四川泸州·二模）已知 为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，因为 为纯虚数，所以 ，则 .
故选：A.
【例2-2】（2024·全国·一模）若复数 为纯虚数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】依题意， ，
于是 ，解得 ，所以 .故选：C
【一隅三反】
1．（2024·江苏扬州）已知复数 是纯虚数，则m=（ ）
A．1 B．1或-4 C．4 D．4或6
【答案】A
【解析】因为复数 是纯虚数，所以 ，解得 .
故选：A.
2（2023·辽宁·校联考二模）已知 ， 为纯虚数，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【解析】因为 为纯虚数，所以 ，且 ，
所以 .故选：B.
3．（2024·山西·模拟预测）已知 为实数，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由 ， 为实数， ，解得
．故选：B．
4．（2024·山西运城）已知 为虚数单位，若 为实数，则实数 （ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】B
【解析】
，
要使 为实数，需满足 ，所以 .故选：B.
考点三 复数的几何意义
【例3-1】（2024·辽宁·一模） 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】 ，在复平面内 对应的点为 ，在第四象限.故选：D.
【例3-2】（2024·广东广州·一模）已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】令 ，由 ，得 ，点 在以 为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限，故选：D
【例3-3】（2024·河北衡水）已知复数 ， ，若 在复平面上对应的点在第三象限，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
则 ，解得 ，
因为复数 在复平面上对应的点在第三象限，则 ，解得 ，
因此， .故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）已知复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知： ，所以 .故选：B.
2．（2024·河南南阳·一模）已知复数 满足 ，复数 的共轭复数为 ，则 在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第三象限.
故选:C.
3．（2024·甘肃·一模）若复数 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，对应的点为 ，在第二象限，故 ，解得 ，
故选：A.
4．（2024·全国·一模）若 ，则在复平面内复数z对应的点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】若 ，则 ，
复平面内复数z对应的点在第一象限， ，不等式无解；
复平面内复数z对应的点在第二象限， ，解得 ；
复平面内复数z对应的点在第三象限， ，解得 ；
复平面内复数z对应的点在第四象限， ，解得 ；
所以复平面内复数z对应的点不可能在第一象限.
故选：A考点四 复数的模长
【例4-1】（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】 ， .故选：A
【例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知 ，则z等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，则 ，所以 解得
所以 ．故选：A．
【一隅三反】
1．（2024·天津南开·一模）i是虚数单位，复数 ，则 的虚部为
【答案】
【解析】 .所以复数 的虚部为 .故答案为： .
2．（2023·山西·高三校联考阶段练习）复数z满足 ，则 =（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】∵ ，∴ .故选：A
3．（2024东北师大附中校联考模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】设 ， ，
所以 ，所以 ，解得： ，
所以 .故选：C
4．（2023·广东梅州·统考二模）已知复数 ， ，且 为纯虚数，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】复数 ， ，则 ，
依题意， ，解得 ，即 ，所以 .故选：C
考点五 复数与方程
【例5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知 是关于 的实系数一元二次方程 的一个根，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为 是关于 的实系数一元二次方程 的一个根，
所以 ，整理得到: 即 ，故选：D.
【例5-2】（2024·安徽芜湖·二模）已知复数 且 有实数根b，则 =
（ ）
A． B．12 C． D．20
【答案】D
【解析】由题意知 为 的实数根，
则 ，即 ，
则 ，解得 ，所以 ，所以 ，故D正确.故选：D.【一隅三反】
1.（2023·福建·统考模拟预测）已知z是方程x2-2x+2=0的一个根，则| |=（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因为方程x2-2x+2=0是实系数方程，且 ，
所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，
即 ，即 ，
故选：B
2．（2024·全国·高三专题练习）已知复数z是方程 的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于
第三象限，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】复数范围内方程 的根为 ，
因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以 ，则 ．
故选：D.
3．（2024·云南·模拟预测）若 是一元二次方程 的根，则该方程的两根之和为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【解析】设 的另一个根是 ，易知 与 一定是共轭复数，故 ，故 .
故选：A
4．（2024·全国·模拟预测）设 为实数，且 ，虚数 为方程 的一个根，则 的值为
.
【答案】1
【解析】由题意可知虚数 为方程 的一个根， 也为方程的一个根，
所以 ，设 ，则 ，
，
所以 ，
故答案为： .
考点六 复数模长相关轨迹
【例6-1】（2024湖南·阶段练习）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为z在复平面内对应的点为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，即 .故选：C．
【例6-2】．（2023·全国·模拟预测）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值为
（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】设 ，在复平面内对应的点 的坐标为 ，
由 ，得 ，即 ，
因此点 在圆 上运动，圆心 的坐标为 ，半径 ，
又 ，
于是 可以看成是点 到点 的距离，显然此点在圆 外，
所以 .
故选：D【例6-3】（2024浙江·期末）已知复数 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】复数 满足 ，
则复数z对应的点的轨迹为以 为焦点，长轴长 的椭圆，
则椭圆短半轴长为 ，椭圆方程为 ，
表示椭圆上的点到原点的距离，
当点位于椭圆长轴上的顶点时， 取值大值2；
当点位于椭圆短轴上的顶点时， 取值小值 ；
故 的取值范围为 ，
故选：D
【一隅三反】
1．（2024江苏无锡·期中） 是虚数单位，若复数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在复平面内，若复数 满足 ，则复数 对应的点 的轨迹是以 为圆心，半径为2的圆，
几何意义是点 到原点的距离， ，所以 的取值范围是 .故选：A.
2．（2023·安徽安庆·一模）设复数z满足条件|z|＝1，那么 取最大值时的复数z为（ ）
A． + i B． + i C． i D． i
【答案】A
【解析】复数 满足条件 ，它是复平面上的单位圆，那么 表示单位圆上的点到 的距离，要使此距离取最大值的复数 ，就是 和 连线和单位圆在第一象限的交点 ．
点 到原点距离是2．单位圆半径是1，又 ，所以 ．
故对应的复数为 ．
故选：A
3．（2024江苏泰州）若复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】令 ， 为实数
由 ，
所以 ，
因此当 时， 取最小值 ，
故选：B
4．（2023·江苏扬州·模拟预测）复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应点 ，则下列为
真命题的是（ ）．
A．若 ，则点 在圆上B．若 ，则点 在椭圆上
C．若 ，则点 在双曲线上
D．若 ，则点 在抛物线上
【答案】D
【解析】 表示点 与 之间的距离，
表示点 与 之间的距离，记 ， ，
对于A， ，表示点 到 、 距离相等，则点 在线段 的中垂线上，故A错误；
或由 ，整理得 ，所以点 在 ，故A错误；
对于B，由 得 ，这不符合椭圆定义，故B错误；
对于C，若 ， ，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若 ，则 ，整理得 ，为抛物线，故D正确.
故选：D.
考点七 复数运算及性质
【例7-1】（2024·广东江门·一模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A． ，
B．
C．若 ， ，则 的最小值为1
D．若 是关于x的方程 的根，则
【答案】ACD
【解析】对于A， ，设复数 ，则 ， ，
故 ，A正确；
对于B，由于 ，故 ，B错误；对于C， ，设 ，由于 ，则 ，
故 ，
由 ，得 ，则 ，
故当 时， 的最小值为1，C正确；
对于D， 是关于x的方程 的根，
故 ，即 ，
故 ，D正确，
故选：ACD
【例7-2】（2024·广东韶关·二模）（多选）已知复数 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 是非零复数，且 ，则 D．若 是非零复数，则
【答案】BC
【解析】对于A项，若 ， ，显然满足 ，但 ，故A项错误；
对于B项，设 ，则 ， ，故 而 ，
故B项正确；
对于C项，由 可得： ，因 是非零复数，故 ，即 ，故C项正
确；
对于D项，当 时， 是非零复数，但 ，故D项错误.
故选：BC.
【一隅三反】
1．（2024·山西·一模）（多选）已知复数 是 的共轭复数，则（ ）A．
B． 的虚部是
C． 在复平面内对应的点位于第二象限
D．复数 是方程 的一个根
【答案】AC
【解析】由题意可知 ，所以 ，故A正确；
易知 的虚部是 ，故B错误；
在复平面内对应的点为 ，位于第二象限，故C正确；
对于 ，
显然 不符合题意，故D错误.
故选：AC
2．（2024·云南·一模）（多选）已知 、 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 ，则
B．
C．若 ，则
D．
【答案】BD
【解析】对于A：令 、 ，则 ，显然不满足 ，故A错误；
对于C：令 、 ，则 ， ，
所以 ，但是 ，故C错误；
设 ， ，
所以 ，
则，
又 ，
所以 ，故B正确；
，又 ，
所以 ，故D正确.
故选：BD
3．（2024·吉林白山·二模）（多选）已知 为复数，则（ ）
A．若 ，则 为实数
B．
C．若 ，则
D．若 ，则复数 在复平面内所对应的点位于坐标轴上
【答案】ABD
【解析】设 ，故
为实数，故A正确； ，故B正确；
令 ，故 ，但 ，故C错误；
若 ，则 ，故 ，即 或 ，故D正确.
故选：ABD
一．单选题
1．（2024·河南信阳·一模）若 ，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．1【答案】C
【解析】依题意 ，得 ， ，
则复数z的虚部为： ，故选：C．
2．（2024·宁夏银川·一模）已知复数 表示纯虚数，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【答案】B
【解析】因为 ，若复数 表示纯虚数，则 ，解得 .
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）复数 满足 ， 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 在复平面内对应的点位于第二象限
C． 的实部为 D． 的虚部为
【答案】C
【解析】因为 ，故 ，则 ，A错误；
在复平面内对应的点为 ，位于第一象限，B错误； 的实部为 ，C正确；
的虚部为 ，D错误，故选：C．
4．（2024·内蒙古包头·一模）设复数 满足 ， ，复数 所对应的点位于第四象限,则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，所以 ，
又 ，复数 所对应的点位于第四象限，所以 ，解得 ，从而 .故选：B.
5．（2024·吉林·模拟预测）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 对应的点在（ ）A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】设 ，由 得 ，即 ，
即 对应的点为 ，在第二象限，故选：B
6．（2024·四川南充·二模）若复数 ，且z和 在复平面内所对应的点分别为P，Q，O为坐标原点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以z和 在复平面内所对应的点分别为 , ,故 , ,
.故选：D.
7．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，所以 ，
表示以 为圆心，半径为 的圆，则 ，
表示 与 之间的距离，即 与 圆上任意一点的距离，
因 ，所以 在 圆外，所以 .
故选：D
8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设 ， 为复数，则下列命题正确的是（ ）A．若 ，则
B．若 ，则 且
C．若 ，则
D．若 ，且 ，则 在复平面对应的点在一条直线上
【答案】D
【解析】设 、 ， 、 、 、 ，
对A：若 ，则有 ，
即 且 ，故A错误；
对B：取 、 ，亦有 ，故B错误；
对C：取 ， ，则有 ， ，故C错误；
对D：设 ， 、 ，若 ，
则有 ，
即有 ，
整理得 ，
由 ，故 与 不能同时成立，
故 在复平面对应的点在直线 上，
故D正确.
故选：D.
二．多选题
9．（2024·辽宁·一模）已知 满足 ，则（ ）
A．B．复平面内 对应的点在第一象限
C．
D． 的实部与虚部之积为
【答案】ACD
【解析】设 ，
则由已知得 ，即 ，
所以 解得
所以 ，则 ，故A项正确，B项错误；
， 的实部为 ，虚部为1，
所以 的实部与虚部之积为 ，故C，D项正确.
故选：ACD
10．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数 满足： (其中 为虚数单位)，则下列说法正确
的有( )
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】BC
【解析】设 ，则 ，即 ，
它表示以原点为圆心，半径为1的圆；
设 ，则由 ，得 ，
即 ，它表示一条直线；
对于选项A： ，故选项A错误；
对于选项B： ，故选项B正确；
对于选项C和D： 表示圆 上点与直线 上点的连线段的长度，该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为 ；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷
远）；
故选：BC．
11．（2024·江苏·一模）已知复数 ，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 ，则
【答案】AC
【解析】选项A， ，则 ，故A正确；
选项B，令 ，满足条件 ，但 ，且均不为 ，故B错误；
选项C，下面先证明命题“若 ，则 ，或 ”成立.
证明：设 ， ，
若 ，则有 ，
故有 ，即 ，两式相乘变形得， ，
则有 ，或 ，或 ，
①当 时， ，即 ；
②当 ，且 时，则 ，
又因为 不同时为 ，所以 ，即 ；
③当 ，且 时，则 ，同理可得 ，故 ；
综上所述，命题“若 ，则 ，或 ”成立.
下面我们应用刚证明的结论推证选项C，
， ，
，或 ，即 或 ，故C正确；选项D，令 ，
则 ，
但 ， 不为 ，故D错误.
故选： .
三．填空题
12．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数 ，则 的虚部为 .
【答案】
【解析】
，
则 的虚部为 .
故答案为： .
13．（2023·全国·高三专题练习） ____________
【答案】 /
【解析】 ， ，
.
故答案为：
14．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数 ， 满足 ， ，则 的最大值为
.
【答案】 /【解析】令复数 ， ， ，则 ，
所以 ，所以 ， ，即 .
又因为 ，即在复平面内，复数 所对应的点的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆.
又点 到点 的距离为 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
四．解答题
15．（2024河南商丘）已知复数z满足 ， 的虚部是2，z对应的点A在第一象限，
(1)求z的值；
(2)若 在复平面上对应点分别为A，B，C，求cos∠ABC.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）设 ， ，则 ，
由题意得 ，
故 ，
因为z对应的点A在第一象限，所以 ，
解得 ，故 ；
（2）由（1）知 ， ， ，
对应的复数为 ， 对应的复数为 ，
因为 ，且 的辐角为 ，所以
16（2024湖北）已知复数 满足 ，且复数 在复平面内的对应点为 ．
(1)确定点 的集合构成图形的形状；
(2)求 的最大值和最小值．
【答案】(1)点 的集合是以点 为圆心，2为半径的圆
(2)最大值为7，最小值为3
【解析】（1）设复数 在复平面内的对应点为 ，
则 ，
故点 的集合是以点 为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
（2）设复数 在复平面内的对应点为 ，则 ,如下图所示，
，
则 的最大值即 的最大值是 ；
的最小值即 的最小值是 ．
17．（2024·上海嘉定）设复数 ，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位， ，z=3+4i，复
1
数zn在复平面上对应的点为Zn.（1）求复数z，z，z 的值；
2 3 4
（2）是否存在正整数n使得 ？若存在，求出所有满足条件的 ；若不存在，请说明理由；
（3）求数列 的前 项之和.
【答案】（1）z=﹣1+7i，z=﹣8+6i，z=﹣14﹣2i；（2）存在，n=4k+1，k∈N；（3）1+2102
2 3 4
【解析】（1）z=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i， ， .
2
（2）若 ，则存在实数λ，使得 ，故 ，
即（xn，yn）=λ（x，y），
1 1
又zn =（1+i）zn，故 ，即 为实数，
+1
， ，故n﹣1为4的倍数，即n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N；
（3）因为 ，故xn =﹣4xn，yn =﹣4yn，所以xn yn =16xnyn，
+4 +4 +4 +4
又xy=12，xy=﹣7，xy=﹣48，xy=28，
1 1 2 2 3 3 4 4
xy+xy+xy+…+x y
1 1 2 2 3 3 100 100
=（xy+xy+xy+xy）+（xy+xy+xy+xy）+…+（x y +x y +x y +x y ）
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 97 97 98 98 99 99 100 100
= ，
而 ， ，
所以数列{xnyn}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102.
18．（2024山西）已知复数 ， ， 为虚数单位， .
（1）若 为实数，求 的值；
（2）若复数 、 对应的向量分别是 、 ，存在 使等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1） ，
因为 为实数，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 ；（2）因为 ， ，
所以 ，
又因为存在 使等式 成立，
所以 在 上有解，
所以 在 上有解，又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列 ，我们称
（规定 ）为无穷数列 的指数型母函数．无穷数列1，
1，…，1，…的指数型母函数记为 ，它具有性质 ．
(1)证明： ；
(2)记 ．证明： （其中i为虚数单位）；
(3)以函数 为指数型母函数生成数列 ， ．其中
称为伯努利数．证明： ．且 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）令 ，则 ．
由 ，令 ，则 ．因为 ，故 ．
（2）证明：因为 ，
，
，
，
，
所以
（3）证明：令 ，则有
，
因此
故 且 ，即 ．
