文档内容
第01卷 2025届高三数学上学期开学测试卷
（综合测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由交集的定义求解.
【详解】集合 ，则 .
故选：D
2．若复数 ，则复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的运算法则，化简得复数 ，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数 ，所以复数 的虚部为 .
故选：D.
3．已知向量 ， ， ， ， 与 的夹角为120°，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】先利用数量积的定义求出 ,再根据垂直关系的向量表示列式解方程即可.
【详解】因为 ， ， 与 的夹角为 ，所以 .
由 ，
得 ，
解得 .
故选:C.
4．椭圆 的两焦点分别为 ， 是椭圆 上一点，当 的面积取得最大值
时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形面积公式得当点 位于椭圆的上下端点时， 面积最大，再利用特殊角的三角函
数即可得到答案.
【详解】c=√4−3=1，所以 ，
所以 ，则当 最大时， 面积最大，
此时点 位于椭圆的上下端点，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
5．已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除 ，得到 .再利
用两角差的正切公式展开 ，将 换成 ，化简即可得到答案.
【详解】 ，所以 ，
两边同除 ，得到 ，即 .
， .
故选：C.
6．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半
径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 ，设球
心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或
，即 或 ，解得 符合题意，所以球的表面积为
．
故选：A．7．已知数列 的前 项和为 ，则（ ）
A．若 为等差数列，且 ，则
B．若 为等差数列，且 ，则
C．若 为等比数列，且 ，则
D．若 为等比数列，且 ，则
【答案】D
【分析】根据等差数列的前 项和与等差数列的性质，判断 与 正负，判断A,B；根据等比数列的前
项和与等比数列的通项公式，分类讨论判断 与 正负，判断C,D；
【详解】设等差数列 的公差为 ，
对于A，若为等差数列，且 ，
则 ， ，
，无法判断符号，A错误；
对于B，若 ，
，则 ，
，则 ，则 ，B错误；
设等比数列 的公比为 ，
对于C，若 为等比数列，且 ，若 时，则 ，故C错误；
对于D，若 为等比数列，且 ，
当 时，则 ，
当 时，则 ；
若 时， ；
若 时， ；
若 时， ；D正确.
故选：D.
8．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项
比赛至少一位同学参加，事件 “甲参加跳高比赛”，事件 “乙参加跳高比赛”，事件 “乙参加
跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件求出 ，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公
式进行逐一判断即可
【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有 不同的安排方法，
事件 “甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有 种方法；
若跳高比赛安排1人，则有 种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有 种，
则 ，同理 ，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有
种不同的安排方法，所以 ，
因为 ，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A
与C不是互斥事件，故B错误；对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有 种，所以
，所以 ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：C
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量
的样本均值 ，样本方差 .已知原品种玉米的亩产量 服从正态分布 ，假设新品
种玉米的亩产量 服从正态分布 ，则（ ）（若随机变量 服从正态分布 ，则
）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据正态分布的性质及 原则，以及条件一一判断即可.
【详解】依题可知，
，故C正确，D错误.
因为 ，所以 ，
A正确.
因为 ，所以 0.8，B正确.
故选：ABC
10．已知非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为奇函数， 为偶函数，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据 为奇函数可求出 判断A，再由 为奇函数， 为偶函数求出可得周期，据此可判断B，根据函数 的周期可求 的周期判断CD.
【详解】因为非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，
若 为奇函数，则 ，则 的图象关于点 对称，且 ，故A错误；
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故 的周期为8，所以 ， ，在 中，令 ，得
，所以 ，故B正确；
对 两边同时求导，得 ，
所以导函数 的周期为8，所以 ，故C正确；
由 周期 ，得 ， ，对 两边同时求导，得
，令 ，得 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
11．已知 为双曲线 的右焦点，过 的直线 与圆 相切于点 ，
且 与 及其渐近线在第二象限的交点分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 的斜率为
B．直线 是 的一条渐近线
C．若 ，则 的离心率为
D．若 ，则 的渐近线方程为
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，计算斜率判断A；由 计算直线斜率判断B；求出点 的坐标计算判断
C，D.
【详解】对于A，根据题意， ，设直线 ，
又因为直线 与圆 相切于点 ，
所以 ，A正确；对于B，根据题意可知 ，可得 ，
所以直线 是 的一条渐近线，B正确；
对于C，若 ，根据题意 ，联立 ，解得 ，
同理联立 ，解得 ，
由于 ，故 ，即 ，
化简得 ，则 的离心率为 ，C错误；
对于D，设 ，依题意知 ，则 ，
故 ，得 ，
故 ，代入 ，得 ，
所以 ，则 ，
得 ，则 的渐近线方程为 ，D正确；
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系问题，解答的难点在于计算，并且基本都是有关字母
参数的运算，计算量大，很容易出错.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）12． 的展开式中常数项为 .（用数字作答）
【答案】84
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】根据通项公式 ,
令 ,解得 ,所以 ,
故答案为:84.
13．已知函数 的图象向左平移 个单位后关于 轴对称，若 在
上的最小值为-1，则 的最大值是 .
【答案】
【分析】利用三角函数图象的变化规律求得： ，利用对称性求得 ，由
时，可得 ，由正弦函数的性质列式求解即可.
【详解】函数 的图象向左平移 个单位长度后，
图象所对应解析式为： ，
因为 图象关于 轴对称，所以 ， ，
可得 ， ，又 ，所以 ，即 ，
要使 在 上的最小值为 ，则 在 上的最小值为 ，
当 时， ，又 ，
所以 ，解得 ，即 的最大值是 .
故答案为：
14．已知实数 满足 ，则 的最大值为 .【答案】1
【分析】由曲线方程画出曲线所表示的图形，将 看作曲线上的点与坐标为 的点连线的斜率，求出
最大值.
【详解】由“ ”和“ ”代入方程仍成立，所以曲线 关于x轴和y轴对称，故只需考
虑 ， 的情形，
此时方程为 ，即 ，所以 的轨迹如下图，
，表示点 和 连线 的斜率，由图可知，当 曲线第四
象限部分半圆（圆心为 ，半径为 ）相切时，斜率最大.
设 ： ，则 ，解得 或 （舍去），
所以 的最大值为1.
故答案为：1.
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求A；
(2)若∠BAC的角平分线交BC于点D，且 ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助降幂公式及正弦定理与辅助角公式计算即可得解.
（2）借助等面积法及基本不等式即可得解.
【详解】（1） ，
由正弦定理可知： ，又 ，化简得 ，
即 ，
所以， ，
即 ，因为 ，所以 ，从而 ；
（2）由题意可得： ，
且 ，即 ，
化简得 ，
而 ，解得 ，等号成立当且仅当 ，
的面积 ，等号成立当且仅当 ，
综上所述， 的面积的最小值为 .
16．已知数列 的各项均为正数， 为 的前 项和，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意知，当 时， ，代入题干表达式可得 ，通过计算
数列 的通项公式即可计算出前 项和 的表达式，最后结合公式 ，即可计算出数
列{a }的通项公式；
n
（2）由（1）计算出数列{b }的通项公式，再运用裂项相消法计算出前 项和 的表达式，最后根据不等
n
式的性质即可证明结论成立．
【详解】（1）由 ，得 ，即 ；
又 ，
所以 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 ，又{a }是正项数列，所以 ．
n
当 时， ，
又当 时， 不符合 时 的形式．
所以
（2）证明：
，
．
17．如图，在三棱锥 中， 为 上的动点.
(1)若 ，求证： 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角为 ，求 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）两次利用勾股定理分别证明 ， ，即可得证；
（2）由（1）问可知，确定空间直角坐标系的原点位置，然后建系，利用已知的二面角建立等式关系，求
出动点D的坐标，即可得出答案.
【详解】（1）在 中， ，则 ，
又 ，所以
由勾股定理可得 为直角三角形， ,
所以 ，所以
在 中，因为 ，由余弦定理可得：
则 ，所以 ，
又 ，在 中由余弦定理可得：
，
则 ，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面
（2）在 上取一点 ，使 由（1）可得 平面 ，作 ，
如图以 为坐标原点， 所在的直线分别作为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.
则点 ，
因为 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，
设平面 的一个法向量为 ，
由 可得 ，取 ，则 ，所以 ，因为 ，所以 ，解得 ，
即 ，又 ，所以 ,
所以当 时，则二面角 的大小为 .
18．已知函数 ，
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ，求 的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论 与 两种情况即可得解；
（2）利用（1）中结论，利用韦达定理得到 ， ， ，利用消元法将
表示成关于 的函数，再利用换元法和导数求得所得函数的最小值，从而得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ,
令 ，则 ，
因为 ，
当 时， ，则 ，即 ，
此时 在 上单调递增，
当 时， ，由 ，得 ，且 ，
当 或 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
所以 在 , 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 , 上单调递增，在 上单调递减，其中 .
（2）由（1）可知， 为 的两个极值点，且 ，
所以 ，且 是方程 的两不等正根，
此时 ， ， ，
所以 ， ，且有 ， ，
则
令 ，则 ，令 ，
则 ，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
所以 ，
所以 的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用韦达定理将双变量的 转化为关于单变量
的函数，从而得解.
19．定义：若椭圆 上的两个点 ， 满足 ，则称A，B为
该椭圆的一个“共轭点对”，记作 ．已知椭圆C： 上一点 ．
(1)求“共轭点对” 中点B所在直线l的方程．
(2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且 ，（1）中的直线l与椭圆C交于两点 ．
①求点 ， 的坐标；
②设四点 ，P， ，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形 的面积小于 ．【答案】(1)
(2)① ， ；②证明见解析
【分析】（1）设 ，根据“共轭点对”得直线方程为 ，化简即可；
（2）①联立直线 和椭圆的方程，解出即可；②设点 ， ，利用点差法得
，设过点P且与直线l平行的直线 的方程为 ，计算直线与椭圆相切时的 值，
再检验证明此时不满足 ，则证明出面积小于 .
【详解】（1）设 中点B的坐标为 ，
对于椭圆C： 上的点 ，由“共轭点对” 的定义，
可知直线l的方程为 ，即l： ．
（2）①联立直线l和椭圆C的方程，得 解得 或 ，
所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为 ， ．
②设点 ， ，则 ，
两式相减得 ．
又 ，所以 ，所以 ，
即 ，线段PQ被直线l平分．
设点 到直线 的距离为d，
则四边形 的面积 ．
由 ， ，得 ．
设过点P且与直线l平行的直线 的方程为 ，则当 与C相切时，d取得最大值．由 消去y得 ．
令 ，解得 ，
当 时，此时方程为 ，即 ，解得 ，
则此时点P或点Q必有一个和点 重合，不符合条件 ，
故直线 与C不可能相切，
即d小于平行直线 和 （或 ）的距离 ．
故 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点 ， ，代入椭圆方程，利用点差法证明出
线段PQ被直线l平分，再设过点P且与直线l平行的直线 的方程为 ，将其与椭圆方程联立，求
出直线与椭圆相切时的 值，即可证明面积小于 .
