文档内容
第01卷 2025届高三数学上学期开学测试卷
（综合测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的
指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 ，则复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， ， ， ， 与 的夹角为120°，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．椭圆 的两焦点分别为 ， 是椭圆 上一点，当 的面积取得最大值
时， （ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为（ ）A． B． C． D．
7．已知数列 的前 项和为 ，则（ ）
A．若 为等差数列，且 ，则
B．若 为等差数列，且 ，则
C．若 为等比数列，且 ，则
D．若 为等比数列，且 ，则
8．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项
比赛至少一位同学参加，事件 “甲参加跳高比赛”，事件 “乙参加跳高比赛”，事件 “乙参加
跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量
的样本均值 ，样本方差 .已知原品种玉米的亩产量 服从正态分布 ，假设新品
种玉米的亩产量 服从正态分布 ，则（ ）（若随机变量 服从正态分布 ，则
）
A． B．
C． D．
10．已知非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为奇函数， 为偶函数，
则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知 为双曲线 的右焦点，过 的直线 与圆 相切于点 ，
且 与 及其渐近线在第二象限的交点分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 的斜率为
B．直线 是 的一条渐近线C．若 ，则 的离心率为
D．若 ，则 的渐近线方程为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12． 的展开式中常数项为 .（用数字作答）
13．已知函数 的图象向左平移 个单位后关于 轴对称，若 在
上的最小值为-1，则 的最大值是 .
14．已知实数 满足 ，则 的最大值为 .
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求A；
(2)若∠BAC的角平分线交BC于点D，且 ，求 面积的最小值．
16．已知数列 的各项均为正数， 为 的前 项和，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记 的前 项和为 ，求证： ．
17．如图，在三棱锥 中， 为 上的动点.
(1)若 ，求证： 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角为 ，求 的长.18．已知函数 ，
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ，求 的最小值.
19．定义：若椭圆 上的两个点 ， 满足 ，则称A，B为
该椭圆的一个“共轭点对”，记作 ．已知椭圆C： 上一点 ．
(1)求“共轭点对” 中点B所在直线l的方程．
(2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且 ，（1）中的直线l与椭圆C交于两点 ．
①求点 ， 的坐标；
②设四点 ，P， ，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形 的面积小于 ．
