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第 02 讲 排列、组合
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算................................................................................2
题型二：直接法....................................................................................................................................3
题型三：间接法....................................................................................................................................5
题型四：捆绑法....................................................................................................................................6
题型五：插空法....................................................................................................................................8
题型六：定序问题（先选后排）........................................................................................................9
题型七：列举法..................................................................................................................................10
题型八：多面手问题..........................................................................................................................12
题型九：错位排列..............................................................................................................................13
题型十：涂色问题..............................................................................................................................14
题型十一：分组问题..........................................................................................................................16
题型十二：分配问题..........................................................................................................................18
题型十三：隔板法..............................................................................................................................19
题型十四：数字排列..........................................................................................................................20
题型十五：几何问题..........................................................................................................................21
题型十六：分解法模型与最短路径问题..........................................................................................23
题型十七：排队问题..........................................................................................................................25
题型十八：构造法模型和递推模型..................................................................................................26
题型十九：环排问题..........................................................................................................................27
02 重难创新练....................................................................................................................................29
03 真题实战练....................................................................................................................................36题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算
1．已知 ，则x等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
【答案】A
【解析】由题意得 ，
化简可得 ，解得 或6，
因为 ，所以 且 ，故 .
故选：A.
2．已知 ，则 （ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】因为 ，
则 ，
整理可得 ，
解得 ，经检验，满足题意．
故选：C.
3．下列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，故A错误；，C正确；
，B正确；
，D正确.
故选：A.
题型二：直接法
4．沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—
8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1
个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设
没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（ ）
A．51 B．42 C．39 D．36
【答案】D
【解析】先进行单循环赛，有 场，
胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，
6支球队打3场，决出最后胜出的三个班，
最后3个班再进行单循环赛，由 场.
所以共打了 场.
故选：D.
5．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在50件产品中含有3件次品,所以有47件不是次品,
任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有 .
故选:A.
6．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）2022年9月3日贵阳市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫
情防控工作，组织6名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸.由
于高三年级学生人数较多，要求高三教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学
楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240 B．150 C．690 D．180
【答案】A
【解析】第一种：当高三的志愿者有3人时，其他两个年级有1个年级1人，有1个年级2人，则有种；
第二种：当高三的志愿者有2人时，其他两个年级也分别有2人，则有 种；
第三种：当高三的志愿者有4人时，其他两个年级分别有1人，则有 种，
所以不同的分配方法有： 种，
故选：A.
7．（多选题）2022年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组织预测2022年到2026年间，
有93%的概率平均气温会超过2016年，达到历史上最高气温纪录．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全
球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（ ）
A．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
【答案】AD
【解析】选取的4名学生都是女生的不同选法共有 种，故A正确；
恰有2名女生的不同选法共有 种，故B错误；
至少有1名女生的不同选法共有 种，故C错误；
选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有 种，故D正确.
故选：AD．
8．（多选题）新高考按照“ ”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考
生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长
兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【答案】ABC
【解析】对选项A：若任意选科，选法总数为 ，正确；
对选项B：若化学必选，选法总数为 ，正确；
对选项C：若政治和地理至多选一门，选政治或地理有 种方法，政治地理都不选有 种方法，
故共有选法总数为 ，正确；
对选项D：若物理必选，化学、生物选一门有 种，化学、生物都选有1种方法，故共有选法总数为，D错误.
故选：ABC
题型三：间接法
9．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；
“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”
讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，
则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种
【答案】A
【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为 ，
其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为 ，
于是得 ，
所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.
故选：A
10．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；
“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”
讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六
艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．480种 B．336种 C．144种 D．96种
【答案】B
【解析】依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数有： ，
“数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有： ，
所以所求“六艺”讲座不同的次序数共有： .
故选：B
11．红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，
共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗诵类节目，1个戏曲类节目．演出
时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】所有演出方案有 种，
歌舞类相邻有 种，小品类相邻有 种，
歌舞与小品均相邻有 种，
所以总数有 种.
故选：C.
12．2022年6月17日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水．现要给“福建舰”进行航母编队配置科学
试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种
舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（ ）
A．72 B．324 C．648 D．1296
【答案】D
【解析】由题意，2艘攻击型核潜艇一前一后，分配方案有 种，
3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，任意分配有 种，
同侧的是同种舰艇的分配方案有 种，
故符合题意要求的舰艇分配方案的方法数为 ,
故选：D
题型四：捆绑法
13．A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为（ ）
A．240 B．120 C．96 D．60
【答案】A
【解析】将 捆绑在一起，然后进行全排列，
故共有 种排法.
故选：A
14．（2024·高三·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一
个寝室6位同学 慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求 相邻， 在
的左边，则不同的站法共有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．60种
【答案】C
【解析】 站在一起有 种，
将 看成一个整体与 进行全排列，共有 种，
同时要求 在 的左边，共有 种．故选： .
15．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，
“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行
学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．192种 B．168种 C．72种 D．144种
【答案】A
【解析】根据题意，分两步进行分析：
第一步，先从4个视频中选3个，有 种方法；2篇文章全选，有 种方法；
第二步，2篇文章要相邻，则可以先“捆绑”看成一个元素，内部排列，有 种方法；
第三步，将“捆绑”元素与3个视频进行全排列，有 种方法.
故满足题意的学法有 种.
故选：A.
16．北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车
难的问题．现有3辆车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同
的泊车方案有（ ）种．
A．16 B．18 C．24 D．32
【答案】C
【解析】从7个车位里选择4个相邻的车位，共有4种方式，
停放的3个车辆，有 种方式，
则不同的泊车方案有 种．
故选：C.
17．（2024·江西九江·三模）考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自然数1到6
依次相乘，得 ，
，结果是同样的数字，只是调换了位置.若将这组神秘数字
“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为（ ）
A．24 B．36 C．72 D．144
【答案】D
【解析】第一步：将三个偶数看成一个整体，与三个奇数进行全排列共 种排法；第二步：将三个偶数进行全排列共 ；
根据分步乘法计数原理可得： 将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为
.
故选：D.
题型五：插空法
18．（2024·内蒙古包头·三模）一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类
节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（ ）
A．44种 B．48种 C．72种 D．80种
【答案】B
【解析】依题意五个节目全排列有 种排法；
若独唱类节目相邻，则有 种排法；
若歌舞类节目相邻，则有 种排法；
若独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻，则有 种排法；
综上可得同类节目不相邻的安排方式共有 种.
故选：B
19．一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺
序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（ ）
A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种
【答案】C
【解析】先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有 种不同的演出顺序；
再排2个小品节目，共有 种不同的演出顺序.
根据分步乘法计数原理可知，共有 2400种不同的演出顺序.
故选：C.
20．某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相
声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种
A．36 B．40 C．32 D．42
【答案】A
【解析】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有 种情况，
3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，还剩3个空，小品选其一，有 种，
所以共有 种排法.
故选：A21．（2024·江西新余·二模）两个大人和4个小孩站成一排合影，若两个大人之间至少有1个小孩，则不
同的站法有（ ）种.
A．240 B．360 C．420 D．480
【答案】D
【解析】若两个大人之间至少有1个小孩，即两个大人不相邻，
故共有 种.
故选：D.
题型六：定序问题（先选后排）
22．某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共
有多少种站法（ ）
A．36 B．90 C．360 D．720
【答案】B
【解析】6个高矮互不相同的人站成两排，
后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为 ，
故选：B
23．由高矮不同的3名女生和4名男生站成一排，要求女生按从高到低的顺序排列，则不同的排列方法有
（ ）
A．720 B．840 C．1120 D．1440
【答案】B
【解析】由于女生按从高到低的顺序排列，故只需将4名男生从7个位置中选取4个位置排好，
即有 种排列方法，
故选：B.
24．元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（ ）．
A．32种 B．70种 C．90种 D．280种
【答案】B
【解析】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有 种．
故选：B
25．贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，
可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若 盏灯笼任意挂，不同的挂法由 种，
又因为左右两边 盏灯顺序一定，故有 种，
故选：D
26．如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最
上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是
A．6 B．10 C．12 D．24
【答案】B
【解析】将左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两种情况讨论: 若
先取1,则有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6种情况;
若先取4,则有45123,41235,41523,41253,共4种情况,故共有6+4=10种情况.
题型七：列举法
27．定义：“各位数字之和为7的四位数叫幸运数”，比如“1006，2023”，则所有“幸运数”的个数为（
）
A．20 B．56 C．84 D．120
【答案】C
【解析】因为各位数字之和为7的四位数叫幸运数,所以按首位数字分别计算
当首位数字为 ,则剩余三位数分别是 ,共有 个幸运数;
当首位数字为 ,则剩余三位数分别是 ,共有 个幸运数;
当首位数字为 ,则剩余三位数分别是 ,共有 个幸运数;
当首位数字为 ,则剩余三位数分别是 ,共有 个幸运数;
当首位数字为 ,则剩余三位数分别是 ,共有 个幸运数;当首位数字为 ,则剩余三位数分别是 ,共有 个幸运数;
当首位数字为 ,则剩余三位数分别是 ,共有
个幸运数;
则共有 个幸运数;
故选: .
28．设 ， ， ，那么满足 的所有有序数组 的组数为（ ）
A．45 B．46 C．47 D．48
【答案】C
【解析】①当 时， ，则 ，共1组；
②当 时， ，则 ， 不同时为2，共 组；
③当 时， ，则 ， 为 中任一元素，共 组；
④当 时， ，则 ， 不同时为0，共 组．
故满足题意的有序数组共有47组．
故选：C.
29．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这
个数为“奇和数”.那么，所有的三位数中，奇和数有（ ）个.
A．100 B．120 C．160 D．200
【答案】A
【解析】设三位奇和数百位、十位、各位上的数字分别为 ， ， ，
则颠倒顺序后的数与原数相加为 ．
如果此数的每一位都为奇数，那么 必为奇数，
由于 定为偶数，所以如果让十位数为奇数，那么 必须大于10．
又当 时，百位上进1，那么百位必为偶数，
所以 ，则 可取0，1，2，3，4．
由于 为奇数，且 ，
所以满足条件的有：
当 时， ．
当 时， ．
当 时， ，9．
当 时， ，8．
当 时， ，7，9．
当 时， ，6，8．
当 时， ，5，7，9．当 时， ，4，6，8．
共有20种情况，由于 可取0，1，2，3，4．
故 ，共有100个三位奇和数．
故选：A．
题型八：多面手问题
30．在 名工人中,有 人只当钳工, 人只当车工,另外 人既会钳工又会车工，现从 人中选出 人当钳工,
人当车工,则共有（ ）种不同的选法.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】按即会钳工又会车工的2人分类：
2人都不选的情况有 种，
只选1人且当钳工的情况有 种，
只选1人且当车工的情况有 种，
选2人其中1人钳工1人车工的情况有 种，
选2人都当钳工的情况有 种，
选2人都当车工的情况有 种，
由分类加法原理得选法有 种.
故选：D.
31．某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大
人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为
A．36种 B．33种 C．27种 D．21种
【答案】C
【解析】第一类， 船两大人一小孩， 船一大人一小孩：有 种方法.
第二类， 船一大人两小孩， 船两大人：有 种方法.
第三类， 船一大人两小孩， 船一大人， 船一大人：有 种方法.
第四类， 船一大人一小孩， 船一大人一小孩， 船一大人：有 种方法.
根据分类加法计数原理，共有 种不同的方法. 故选C.
考点：排列、组合、分类加法计数原理.
32．有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，
1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为A．18 B．15 C．16 D．25
【答案】B
【解析】 名会唱歌的从中选出两个有 种, 名会跳舞的选出 名有 种选法,但其中一名既会唱歌又会
跳舞的有一个,两组不能同时用他, 共有 种，故选B.
33．我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其
余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有______种不同的选法
【答案】216
【解析】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.
第一类：2个只会跳舞的都不选，有 种;
第二类：2个只会跳舞的有1人入选，有 种;
第三类：2个只会跳舞的全入选，有 种,
所以共有216种不同的选法,
故答案为：216.
题型九：错位排列
34．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱
子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ）
A．20 B．90 C．15 D．45
【答案】D
【解析】根据题意，分2步分析：
①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有 种选法，
②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片
的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，
所以不同的拿卡片的方法有 种.
故选： .
35．5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（ ）
A．42 B．44 C．46 D．48
【答案】B
【解析】由题意，设五人分别为 ，重新站队时，可从 开始，其中 有 种不同的选
择，
比如 占据了 的位置，可再由 选取位置，可分为两类，
1类： 占据了 的位置，则后面的重站，共有 种站法；2类： 没有占据 的位置，则 有 种站法，后面的重站，共有 种站法，
所以共有 种不同的站法.
故选：B.
36．若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有（
）
A．45种 B．40种 C．55种 D．60种
【答案】A
【解析】先从5个人中选出站在自己原来的位置的有 种选法
设剩下的4个人为 .则他们都不站自己原来的位置，分下列几步完成:
(1)假设先安排 ，则有 种选法.
(2)当 站好后， 站的位置原来站的是谁，接下来就安排这个人来选位置，有 种选法.
(3)接下来，剩下的两个人和两个位置中,至少有1人，他原来站的位置留下来了，都不站原来的位置，
则只有1种站法.
所以共有 种选法.
故选：A
37．若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同
的站法.
A．4 B．8 C．12 D．24
【答案】B
【解析】根据题意，分2步分析：
①先从4个人里选1人，其位置不变，其他三人的都不在自己原来的位置，有 种选法；
②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位
置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法．
故不同的调换方法有 ，
故选：B．
题型十：涂色问题
38．（2024·陕西宝鸡·一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包
括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独
一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有 种.【答案】
【解析】由题意，一共4种颜色，板块 需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色.
又板块 两两有公共边不能同色，故板块 必定涂不同颜色.
①当板块 与板块 同色时，则板块 与板块 或板块 分别同色，共2种情况；
②当板块 与板块 同色时，则板块 只能与 同色，板块 只能与 同色，共1种情况.
又板块 颜色可排列，故共 种.
故答案为：
39．用4种不同颜色给一个正四面体涂色，每个面涂一种颜色，4个颜色都要用到，共有 种涂
色的方法．
【答案】2
【解析】不妨先规定其中一种颜色为底面（固定），其它面可以旋转，正四面体展开图如下：
此时再涂其他三种颜色，共有 种方法.
故答案为：2.
40．（2024·高三·安徽合肥·期末）如图所示的 按照下列要求涂色，若恰好用3种不同颜色给
个区域涂色，且相邻区域不同色，共有 种不同的涂色方案？
【答案】18【解析】恰好用3种不同颜色涂四个区域，则 区域或 区域或 区域必同色，
当 同色时，有 种，同理 、 分别同色时各有6种，
由分类加法计数原理得恰好用3种不同颜色涂四个区域共 种不同涂色的方案.
故答案为：18
41．有三种不同颜色供选择，给图中六个格子涂色，相邻格子颜色不能相同，共有 种不同的
涂色方案.
【答案】96
【解析】将格子自左向右编号为1，2，3，4，5,6
格子1，2有 种选法，
当格子3与格子1相同时，此时格子4，5，6都有2种选法，
当格子3与格子1不同时，此时格子3有1种选法，格子4，5，6都有2种选法，
所以当格子1和2颜色确定后，格子4，5，6共有 种选法，
所以不同的涂色方法有 种，
故答案为：96
题型十一：分组问题
42．按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选 本有 种选法;再从余下的 本中选 本有 种选法;最后余下的
本全选有 种选法.故共有 (种)选法.
（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在 题的基础上,还应考虑再分配,共有
.
（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是 种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为 , , , ,
, ,若第一步取了 ,第二步取了 ,第三步取了 ,记该种分法为( , , ),则 种分法中还
有( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),共有 种情况,而这 种情况仅是 , , 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有 .
（4）有序均匀分组问题.在 题的基础上再分配给 个人,共有分配方式 (种).
（5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法.
（6）有序部分均匀分组问题.在 题的基础上再分配给 个人,共有分配方式 (种).
（7）直接分配问题.甲选 本有 种选法,乙从余下 本中选 本有 种选法,余下 本留给丙有 种选法,共
有 (种)选法.
43．将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：
(1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
(2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
(3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少
种不同的放法？
【解析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为 （种）；
（2）先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，
由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为 （种）；
（3）考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，
那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，
因此，所求放法种数为 （种）；
（4）按两步进行，空盒编号有4种情况，
然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，
则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，
由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为 （种）.
44．设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子
内．
(1)只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？
(2)没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
(3)每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？
【解析】（1）首先选定两个不同的球，作为一组，选法有 种，
再将 组排到 个盒子，有 种投放法． 共计 种方法；（2）没有一个盒子空着，相当于 个元素排列在 个位置上，有 种，
而球的编号与盒子编号全相同只有1种，
所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有 种．
（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种；
第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种；
第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法： 种；
第四类，两个球的编号与盒子编号相同的放法： 种．
所以满足条件的放法数为： 种．
题型十二：分配问题
45．（2024·安徽·一模）树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去
两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ）
A．20种 B．40种 C．60种 D．80种
【答案】C
【解析】由题意可知两名男生必须分开在两组，则有1女1男一组，余下一组；
2女1男一组，余下一组；3女1男一组，余下一组；4女1男一组，余下一组；
所以分配方法为 .
故选：C
46．（2024·安徽安庆·三模）A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、
丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙
地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．60种
【答案】B
【解析】①A校去乙地有 种；
②A校与另一所学校去丙地有 种，
③A校单独去丙地有 种，
所以共有 种，
故选：B．
47．将5本不同的书分给3位同学，则每位同学至少有1本书的不同分配方式共有（ ）种.
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题可先将5本不同的书分成三份，共有 种方法，
再将分好的三份书籍分发给3位同学的方法数有 种，
所以将5本不同的书分给3位同学共有 种分法.
故选：C.
48．（2024·高三·山西·开学考试）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战
略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算
术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系
每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修
课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）．
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】A
【解析】先将五门课程分成3,1,1和2,2,1这样两种情况，再安排到三个学年中，
则共有 种选修方式
故选：A
题型十三：隔板法
49．现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为 .
【答案】
【解析】将6个三好学生名额分到三个班级，有3种类型：
第一种是只有一个班分到名额，有3种情况；
第二种是恰好有两个班分到名额，由隔板法得有 种情况，
第三种是三个班都分到了名额，由隔板法得有 种情况，
则恰有两个班分到三好学生名额的概率为 ．
故答案为： ．
50．以 表示把 件相同的物件分给 个人的不同方法数，则 .
【答案】
【解析】设第 个人分得 件物件，则 且 ，
等于不定方程 的非负整数解的个数， .故答案为： .
51．已知集合 ，则A中的元素的个数为 .
【答案】
【解析】
，
可转化为将102个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，
每人至少分1个，利用隔板法可得分配的方案数为 ，
所以 中的元素的个数为 .
故答案为： .
52．各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为 （请用数字作答）．
【答案】56
【解析】设 ， ， ， 对应个位到千位上的数字，则 ，
且 ，相当于6个相同的球排成一排，每个球表示1，
先拿一个球装入 ，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个球用3个隔板分成4组（各组不
可为空），
故共有 种．
故答案为：56．
题型十四：数字排列
53．（2024·上海·三模）用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇
数共有 个
【答案】840
【解析】1~9这九个数字中由5个奇数和4个偶数，
要使四位数满足各个数位上数字和为偶数的奇数，则个位数字必须为奇数，
前三位数字由1个奇数和2个偶数或3个奇数组成，
所以， .
故答案为： .
54．（2024·陕西·模拟预测）各位数字之积为8的三位数的个数为 .
【答案】10
【解析】满足题意的三位数有： ，共10个.
故答案为：1055．（2024·河北石家庄·二模）各位数字之和为 的三位正整数的个数为 .
【答案】
【解析】因为 或 或 或 ，
所以各位数字之和为 的三位数有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 个.
故答案为：
题型十五：几何问题
56．若一个正方体绕着某直线 旋转不到一周后能与自身重合，那么这样的直线 的条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若正方体绕着直线 旋转不到一周能与自身重合，则 必过正方体中心，否则，正方体绕着直线
旋转不到一周后，中心不能回到原来的位置；共有三种情况：如图所示；
当 过正方体的对角线两顶点时，把正方体绕 旋转 ，正方体回到原来的位置，此时的直线共有 条；
当 过正方体两相对棱中点时，把正方体绕 旋转 ，正方体回到原来的位置，此时直线共有 条；
当 过正方体对面中心时，把正方体绕 旋转 ，正方体回到原来的位置，此时直线共有 条；
综上，符合条件的直线 有 条.
故选：D.
57．正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有 种不同选法
【答案】12
【解析】从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况，
所以，所有共面的情况有8×3=24种，而每条棱均重复计数一次，
综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有 种.
故答案为：12
58．以三棱柱的顶点为顶点共可组成________个不同的三棱锥？
【答案】12
【解析】
从 个顶点中选出 个的方法数有 种，
其中共面的有 种（即 个侧面），
故可以构成不同三棱锥的方法数有 种.
故答案为：12
59．在如图所示的 的方格纸上（每个小方格均为正方形），共有 个矩形、 个正方形．
【答案】 280 60
【解析】根据题意，7×4的方格纸上，有5条水平方向的线，8条竖直方向的线，
在5条水平方向的线中任选2条，在8条竖直方向的线中任选2条，就可以组成一个矩形，
则可以组成 个矩形；
设方格纸上的小方格的边长为1，
当正方形的边长为1时，有7×4=28个正方形，
当正方形的边长为2时，有6×3=18个正方形，
当正方形的边长为3时，有5×2=10个正方形，
当正方形的边长为4时，有4×1=4个正方形，
则有28+18+10+4=60个正方形；故答案为：280，60.
题型十六：分解法模型与最短路径问题
60．某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（ ）
A．6种 B．8种
C．9种 D．10种
【答案】C
【解析】由题意，从点 到点 ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有 种走法；
从点 到点 ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有 种走法，
由分步计数原理，可得共有 种不同的走法.
故选：C.
61．如图为 的网格图，甲、乙两人均从 出发去 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何
一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为
、 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得从 到 需要走 格，向上、向右分别走 格，
因此甲只需在 次选择中 次选择向右走，剩下的 次选择向上走即可， ，
乙只能在对角线 下方（包括 ）走，
所以，乙的走法的所有可能情况为：
（右上右上右上）、（右上右右上上）、（右右上上右上）、（右右上右上上）、（右右右上上上），即
，则 ，故选：C.
62．（多选题）在某城市中，A，B两地之间有如图所示的道路网．甲随机沿路网选择一条最短路径，从A
地出发去往B地．下列结论正确的有（ ）
A．不同的路径共有31条
B．不同的路径共有61条
C．若甲途经C地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有9条
【答案】ACD
【解析】由图可知，从A地出发去往B地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中，
至少有1步向上，则不同的路径共有 条．
若甲途经C地，则不同的路径共有 条．若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有
条．
故选：ACD．
63． 5400的正约数有______个
【答案】48
【解析】由 ，所以5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，
设正约数为 ，其中 取值为0，1，2，3共有4种； 取值为0，1，2，3共有4种； 取值为0，
1，2共有3种；
所以正约数个数为 ．
故答案为：48
题型十七：排队问题
64．随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外，现有3个完全相同的“雪容融”，甲､乙､
丙3位运动员要与这3个“雪容融”站成一排拍照留念，则有且只有2个“雪容融”相邻的排队方法数为
．
【答案】
【解析】由题意，甲、乙、丙3位运动员站成一排，有 种不同的排法；
在三位运动员形成的4个空隙中选两个，一个插入2个“雪容融”，一个插入1个“雪容融”，共有种排法.
故答案为： .
65．某医院对9个人进行核酸检测，为了防止排队密集，将9人分成两组，第一组5人，排队等候，由于
甲、乙两人不熟悉流程，故无论在哪一组，排队都不在第一位，则第一组的不同排法种数为 .
（用数字作答）
【答案】11760
【解析】第一组的第一位排法种数为7，后4位的排法种数 ，故所有排法种数为 .
故答案为：11760．
66．甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有 两支正在等待检测的队伍，则甲、
乙、丙三人不同的排队方案共有 种.
【答案】24
【解析】先进行分类：①3人到 队伍检测，考虑三人在 队的排队顺序，此时有 种方案；
②2人到 队伍检测，同样要考虑两人在 队的排队顺序，此时有 种方案；
③1人到 队伍检测，要考虑两人在 队的排队顺序，此时有 种方案；
④0人到 队伍检测，要考虑两人在 队的排队顺序，此时有 种方案；
所以，甲、乙、丙三人不同的排队方案共有24种.
故答案为：24
67．（2024·四川广元·三模）有 名男生、 名女生排队照相， 个人排成一排．①如果 名男生必须连排
在一起，那么有 种不同排法；②如果 名女生按确定的某种顺序，那么有 种不同的排法；③如果女
生不能站在两端，那么有 种不同排法；④如果 名女生中任何两名不能排在一起，那么有 种不同
排法；则以上说法正确的有 ．
【答案】②③④
【解析】 名男生必须连排在一起，则这4名男生当成一个元素，共有 ，①不正确；
名女生按确定的某种顺序，只占3名女生的排列中的一种，共有 ，②正确；
女生不能站在两端，先让两名男生站两端，共有 ，③正确；
名女生中任何两名不能排在一起，先排男生，将女生插空，共有 ，④正确.
故答案为：②③④
68．有七名同学排队进行核酸检测，其中小王站在正中间，并且小李､小张两位同学要站在一起，则不同
的排队法有 种.
【答案】192
【解析】当小李和小张在小王的左侧时共有 （种）排列方法，
同理，当小李和小张在小王的右侧时也有96种排列方法，∴共有192种排列方法.
故答案为：192
题型十八：构造法模型和递推模型
69．（2024·浙江·模拟预测）从1，2，3，…，15中选取三个不同的数组成三元数组 ，且满足
， ，则这样的数组共有______个.（用数字作答）
【答案】56
【解析】由 ， ，得 ， ， ，
当 时， 可取 中任一数，共有6种取法，则此时共有 种取法；
当 时， 可取 中的任一数，共有5种取法，则此时共有 种取法；
同理当 取 时，对应的 分别有10，6，3，1种取法.
综上，这样的数组共有 （个）.
故答案为：56.
70．（2024·上海长宁·高三海市延安中学校考开学考试）从集合 中选出4个数组成的子集，使
得这4个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集个数是________.
【答案】
【解析】将和等于11放在一组：
1和10，2和9，3和8，4和7，5和6．
从每一小组中取一个，
共有 ，
故答案为：80．
71．16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不
同的选法种数为______________.
【答案】72
【解析】从16人中选出2人，共有 种选法，
若选出的2人既不在同一行又不在同一列，
则共有 种选法.
故答案为：72.
72． 个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有
___________种不同的选法.
【答案】
【解析】从第 行中选取一个代表，选法有 种，从第 行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有 种，
从第 行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有 种，
从第 行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有 种，
由分步乘法计数原理可知，不同的选法数有： ，
故答案为： .
73．某活动中，有42人排成6行7列，现从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也
不同列，则不同的选法种数为_____（用数字作答）．
【答案】4200
【解析】先按顺序依次选三人共有 ，
再去掉顺序数：
故答案为：4200.
题型十九：环排问题
74．8人围桌而坐，共有______种坐法.
【答案】5040
【解析】围桌而坐与坐成一排不同，围桌而坐没有首尾之分，
因此固定一人并从此位置把圆形展成直线，则其余7人共有 （种）排法.
故答案为：5040
75．5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）．
【答案】86400
【解析】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起，
先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有 (种)，
把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有 种分法，
最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有 种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2
种站法，
所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有 (种).
故答案为：86400
76．10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为__________
【答案】
【解析】因为10位男生全排列有 种排法，因为是围成一圈，所以不分头尾，所以10位男生围成一圈有 种，
再把10位女生插入男生间的空隙中共有 种方法，
所以10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，不同的排列数为 .
故答案为： .
77．4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相
对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答)
【答案】1440
【解析】因为甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，
则甲、乙两人不能同时坐在1 与8位置或2 与7位置或3 与6位置或4 与5，
所以共有 种不同的作法.
故答案为：1440.
1．将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的
高，则不同的种植方法共有（ ）
A．20种 B．40种 C．80种 D．160种
【答案】C
【解析】一侧的种植方法有 种排法，
另一侧的种植方法有 种排法
再由分步计数原理得不同的种植方法共有 种排法，
故选:C.2．（2024·高三·重庆涪陵·开学考试）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到
第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你
和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为
（ ）
A．44 B．46 C．48 D．54
【答案】B
【解析】解法一：多重限制的排列问题：
甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是最后一名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计
数，
甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：
①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有 种排法，则有 ；
②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有 种排法，则有 ；
③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有 种排
法，则有 ；
综上，该5名同学可能的名次排情况种数为 种.
解法二：间接法：
甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有 种排法，共有
种不同的情况；
但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有 种排法，
故共有 种不同的情况；
从而该5名同学可能的名次排情况种数为 种.
故选：B.
3．（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的
不同的排列方式共有（ ）种.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】采用间接法，先5人全排有 种，去掉甲在中间的有 种，乙排最左端的有 种，
然后加上甲在中间和乙在最左端的有 种，
则共有 种排法.
故选：D.
4．下列命题不正确的是（ ）
A．正十二边形的对角线的条数是54；
B．身高各不相同的六位同学，三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法；C．有5个元素的集合的子集共有32个；
D．6名同学被邀请参加晚会（至少一人参加），其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，共有32
种去法.
【答案】D
【解析】对于A，正十二边形的对角线的条数为 ，故A正确；
对于B，身高各不相同的六位同学，三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，
共有 ，故B正确；
对于C，有5个元素的集合的子集共有 个即 个，故C正确；
对于D，6名同学被邀请参加晚会，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，
甲乙共有 中去法，而其余4位同学共有 种，
故共有不同的去法 种（去除都不去的一种），故D错误.
故选：D.
5．（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自
己的六位数字的银行卡密码，若两个2不相邻，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
【答案】B
【解析】由题意知可将 当成一个整体来计算，和 总计有 种排法，
再根据插空法可得总排法有 .
故选：B
6．（2024·四川德阳·模拟预测）甲乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲乙两名同学中间
恰有1人，则不同的站法数为（ ）
A．144 B．192 C．360 D．480
【答案】B
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①在其他4人中，选出1人，安排在甲乙之间，有 种情况；
②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，有 种排法；
则有 种不同的站法．
故选：B
7．（2024·高三·广东深圳·开学考试）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙
开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（ ）
A．6种 B．10种 C．11种 D．12种
【答案】B
【解析】设在第 次传球后有 种情况球在丙手中，即经过n次传球后球又被传回给丙，在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有 种传球方法，
故在第n次传球后，球不在丙手中的情况有 （种），即球在甲或乙手中，
只有在这些情况时，在第n+1次传球后，球才会被传回给丙，
即 ，由题意可得 ，则 ，
，
故选：B
8．北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利
打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．
随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，唐
胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ）
A．144种 B．204种 C．156种 D．240种
【答案】C
【解析】第一步，唐胜杰、江新林2人相邻，有 种排法；
第二步，分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论
第一种情况：景海鹏站最右边，共有 种排法；
第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有 种排法，
故总共有 种排法.
故选：C.
9．（多选题）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工
作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同安排方案的种数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
【答案】BD
【解析】对A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为 ，故A错误；
对B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，
则不同安排方案的种数为 ，故B正确；
对C，先将5人分为3组，有 种分组方法，
将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有 种情况，则不同安排方案的种数是 ，故C错误；
对D，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组，
安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为 ；
第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作，
再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作，
则不同安排方案的种数为 .所以不同安排方案的种数是 ，故D正确.
故选：BD.
10．（多选题）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列
的方法数计为 .圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以
.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（ ）
A．共有 种排法 B．若两名女生相邻，则有 种排法
C．若两名女生不相邻，共有 种排法 D．若男生甲位置固定，则有 种排法
【答案】ABD
【解析】对于A：现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有 种排法，A选项正确；
对于B：若两名女生相邻，则有 种排法，B选项正确；
对于C：若两名女生不相邻，共有 种排法，C选项错误；
对于D：若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有 种排法，D选项正确.
故选：ABD.
11．（多选题）临沂动植物园举行花卉展览，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其
中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将全部去 展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展
馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若 展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B．若“绿水晶”去 展馆，有7种安排方法
C．若“绿水晶”不去 展馆，有6种安排方法
D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有8种安排方法
【答案】ABD
【解析】对于 ,若 展馆需要 3 种花卉, 4 种精品花卉选 3 种安排在 展馆即可，有 种安排方法,
正确;对于 , 若“绿水晶”去 展馆, 将剩下3 种花卉分到 展馆即可, 展馆必有一种,则有
种安排方法, 正确;
对于 , 若“绿水晶”不去 展馆, 则其必须去 展馆，同理 选项，有7 种安排方法， 错误;
对于 , 若 2 种三角梅不能去往同一个展馆, 则其分别在 两个展馆, 有 种安排方法, 将 2
种兰花安排在 两个展馆, 每种兰花都有 2 种安排方法, 则 2 种兰花共有 种安排方法,
则有 种安排方法, 正确.
故选: .
12．（多选题）现有6本不同的书，则（ ）
A．分给甲乙丙三人，每人2本，则共有90种分法
B．分成三份，每份2本，则共有90种分法
C．分成三份，一份1本，一份2本，一份3本，则共有60种分法
D．分给甲乙丙三人，其中甲4本，乙1本，丙1本，则共有15种分法
【答案】AC
【解析】对A：把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行;
先从6本书中取出2本给甲，有 种取法，
再从剩下的4本书中取出2本给乙，有 种取法，
最后把剩下的2本书给丙，有 种情况，
则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有 （种）分法，故A正确；
对B：先分三步，则应是 种方法，但是这里出现了重复．
不妨记6本书为 ,
若第一步取了 ，第二步取了 ，第三步取了 ，
记该种分法为 则 种分法中还有 ， ， ，
， ，共 种情况，
而这 种情况仅是 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分法有
（种），故B错误；
对C：这是“不均匀分组”问题， （种）， 故C正确；
对D：把6本书分给甲、乙、丙3个人，甲4本，乙1本，丙1本，分3步进行，
先从6本书中取出4本给甲，有 种取法，
再从剩下的 本书中取出1本给乙，有 种取法，
最后把剩下的1本书给丙，有 种情况，
则把6本书分甲4本，乙1本，丙1本，有 （种）分法，故D错误；故选：AC.
13．（2024·高三·上海·开学考试）某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗
过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗
生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为 .
【答案】
【解析】根据题意，先计算3种不同抗生素类药品中恰有2种相邻两天被检测的种数，
可分三步分析：先将3种不同抗过敏类药品和1种降压类药品进行全排列，
有 种情况，其排好后有5个空位可选，
再从3种不同抗生素类药品任选2种，安排在相邻的2天检测，有 种，
最后和另外1种抗生素类药品，安排在4个空位中，有 种排法，
此时，共有 种不同的排法，
其中1种降压类药品安排在第1天或第7天的检测，有 ，
综上可得，共有 种不同的排法.
故答案为： .
14．从10个人中选出7人围成一圈做游戏，则不同的排法种数有 种．
【答案】86400
【解析】先选人，有 种选法.
再将7人进行全排列，有 种排法，由于围成一圈，
所以ABCDEFG， BCDEFGA， CDEFGAB， DEFGABC， EFGABCD， FGABCDE， GABCDEF是1
种排法，
所以有 种排法.
由分步乘法计数原理，不同排法种数为： 种.
故答案为：86400
15．在某次数学测验中，学号为 的四位同学的考试成绩为 ，且满足
，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 .
【答案】15
【解析】从所给的5个成绩中，任意选出4个的一个组合，
即可得到四位同学的考试成绩按 排列的一个可能情况，故方法有 种.
从所给的5个成绩中，任意选出3个的一个组合，
即可得到四位同学的考试成绩按 排列的一个可能，故方法有 种.
综上可得，满足 的这四位同学的考试成绩的所有可能情况共有 种.故答案为：15
16．如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街
道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单
位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小
张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃
完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法．
【答案】
【解析】小张从 处出发选择最短路径前往 处，需要向右走 条街道和向上走 条街道，共走 条街道．
所以从 处出发选择最短路径到达 处一共有 种走法；
同理，从 处到达 处有 种走法，从 处到达 处有 种走法，
所以根据分步乘法计数原理，小张每天早上上班途经街道 处的最短路径走法有 种．
故答案为：210，90
17．今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安
顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅
的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔
波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有 种不同的游览顺序方案.（用数字作答）
【答案】
【解析】将荔波小七孔和西江千户苗寨捆绑到一起，看成一个景点，有 种排法，
又铜仁梵净山不安排在首末位置，有 种排法，
所以共有 种不同的游览顺序方案，
故答案为： .
18．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，
丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．甲、
乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共有 .
【答案】 种
【解析】由题意知：甲、乙两人一定在天和核心舱内，则丙，丁，戊会被安排在不同的三个舱内，得
种.
故答案为： 种.1．（2020年山东省春季高考数学真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任
5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
【答案】C
【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有 种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有 种情况.
所以共有 种不同安排方法.
故选：C
2．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题（海南卷））要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能
选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有 种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有 种安排方法
所以，不同的安排方法共有 种
故选：C
3．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只
去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【解析】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的 名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故选：C
4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，将钢琴上的12个键依次记为a，
1
a，…，a .设1≤i
