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第 01 讲 一元函数的导数及其应用（一）
1．若“ ，使 成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若“ ，使 成立”是假命题,则 ，使 成立是真命题，
即 ， ，
令 ，则 ，则 在 上单调递增，
，则 .
故选:C.
2．若函数 ，满足 恒成立，则 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】解：因为 ，满足 恒成立，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为 ，
故选：C.
3．下列求导运算错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A选项中， ，故正确；
B选项中， ，故正确；
C选项中， ，故正确
D选项中， ，故错误，
故选：D.
4．若函数 处有极大值，则常数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 ，
依题意得 ，即 或 ，
时， ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 处取极小值，不符合条件，
时， ，当 时， ，当 时， ，
则 在 处取极大值，符合条件，
所以常数 的值为6.
故选：D.
5、在曲线 的所有切线中，与直线 平行的共有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【详解】由 ，
令 ，得 或 ，
当 时，曲线 在点 处的切线与直线 重合，
故在曲线 的所有切线中，与直线 平行的共有3条．
故选:C.
6．已知 是函数 的导数，且 ，当 时， ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则 ，
因为当 时， ，所以当 时， ，
即 在 上单调递增，
因为 ，所以 为偶函数，则 也是偶函数,所以 在 上单调递减.
因为 ,所以 ,即 ,
则 ，解得 ，
故选：D.
7．若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 在 内单调递增，则 在 恒成立，
即 在 上恒成立，
又 ，
所以 ，
即 .
故选:D.
8．已知函数 ， ，记 ， ， ，则 ， ， ，
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：很显函数是定义在 上的偶函数，
由于 的导函数 单调递增，
且 时， ，当 时，则 ，
函数 在 上单调递增，故函数 在 上单调递增，
，
， ，
故选：C．
9．若 且 ， 且 ， 且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 ，两边同时以 为底取对数得 ，
同理可得 ， ，
设 ， ，则 ， ， ，
，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
则 ，且 ，
所以 ，
故 ，
故选：A.
10．若函数 恰有2个不同的零点，则实数m的值是_________.
【答案】 或
【详解】因为 恰有2个不同零点，故函数 与 ，恰有2个交点，
对于 ， ，由 ，得 或 ，
由 ，得 ，
所以当 变化时 ， 变化如下：
+ 0 0 +
极大值 极小值
因为 与 恰有两个交点，又 ， ，
故 ，或 ，
所以 或 .
故答案为： 或 .
11．已知函数 ．
(1)讨论函数 在区间 上的单调性；
(2)当 时，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
（1）
，定义域为 ，，
又 ， ，
所以当 时， 恒成立，函数 在 单调递增；
当 时，令 ，解得 ，当 时， ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时，函数 在 单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）
当 时， 即 ， ，可转化为 ，
令 ，则
令 ，解得 ， （舍）
单调递减 极小值 单调递增
可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
故不等式 成立．1．已知 ，且满足 ，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，或 ，
∴ (舍去)，或 ，即 ，故A错误；
又 ，故 ，
∴ ，对于函数 ，
则 ，函数 单调递增，
∴ ，故D错误；
∵ ， ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴函数 单调递增，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，故B正确；
∵ ，
∴函数 单调递增，故函数 单调递增，∴ ，即 ，故C错误.
故选：B.
（多选）2．已知函数 ，若 ，则 可取（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】CD
【详解】因为 ，所以 ，
因为 恒成立，
所以 在 上单调递增，
又 ，
因为 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
记 ，
所以
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即
故选：CD.
（多选）3．已知 ，函数 的导函数为 ，下列说法正确的是（ ）A． B．单调递增区间为
C． 的极大值为 D．方程 有两个不同的解
【答案】AC
【详解】由题意知： ，
所以 ，A正确；
当 时； ， 单调递增，
当 时； ， 单调递减，B错误;
的极大值为 ，C正确；
方程 等价于 ,
易知函数 与函数 有且只有一个交点，即方程 有且只由一个解，D错误;
故选：AC.
4．已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 ，则该正三棱锥体积的最大值为
___________.
【答案】
【详解】因为 ，所以正三棱锥外接球半径 ，
正三棱锥如图所示，设外接球圆心为 ，过 向底面作垂线垂足为 ，
因为 是正三棱锥，所以 是 的中心，所以 ， ,
又因为 ，所以
，
所以 ，
令 ，
解得
所以 在 递增，在 递减，
故当 时， 取最大值， .
故答案为： .
5．设 ，则 的大小关系是___________.
【答案】
【详解】由已知可得 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，所以 ，
设 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，
所以
故答案为： .
6．已知函数 ，若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取
值范围是___________.
【答案】
【详解】不等式 等价于 或 ，
而 的解集为 ，
故 的解为
且 对任意的 恒成立.
又 即为 ，
若 ，则 即为 ，这与解为 矛盾；若 ，则 即为 ，这与解为 矛盾；
若 ，则 即为 ，
因为 的解为 ，故 .
当 时， 恒成立即为 恒成立，
令 ，则 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 .
综上，
故答案为： .
7．过点 作曲线 的切线，若切线有且只有两条，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】因为 ，则 ，
设切点为( )， ，
所以切线方程为 ，
代入 ，得 ，
即 这个关于 的方程有两个解，
令 ( )， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时，函数 有最大值， ，
且 ， ，
所以 .
故答案为： .
8．若函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为___________.
【答案】
【详解】 ,
所以所求切线的方程为 .
故答案为： .
9．已知函数
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有3个不同零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
【解析】
（1）
时，
，
令 得 或 在 时单调递增，
时单调递减， 时单调递增；
所以函数 得单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；（2）
注意到 ，
设 ，则 在 时有两不同解，
，令
， ，令 ，则有 ，
是增函数，则 时， ， 时， ，
所以 时， 单调递减， 时， 单调递增， ，
所以 时， ， 时， ，
所以 在 时，单调递减， 时，单调递增，
因为 ，
当 时， ， ，
即 ，当 时， ，
并且 ， ，并且 ，
当 时， ，
函数图像如下：所以 即 ；
综上，函数 得单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
.
10．已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，试讨论函数 的零点个数．
【答案】(1)
(2)当 时， 有1个零点；当 时， 有2个零点
【解析】
（1）
， ，所以 ，
由题意知 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）
时， ，
令 ，解得 ， ，
（ⅰ）当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
因为 ，故函数 在 上有且只有一个零点；
（ⅱ）当 时，此时 ，所以 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
因为 ，所以 在 上有且只有一个零点，
由 在 上单调递减知 ，
构造函数 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，所以 ，
又因为当 时， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，使得 ，
所以当 时， 在 上有且仅有两个零点．
综上所述，当 时， 有1个零点；当 时， 有2个零点．
11．若 是函数 的极值点，则 ______； 的极大值为______.
【答案】 4e
【详解】∵ ，∴ ，
由题意可得 ，解得 .， ，令 ，得 或 .
列表如下：
极小值 极大值
所以，函数 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ，
所以，函数 的极大值为 .
故答案为： ； 的极大值为 .
1．（2022·全国·高考真题（理））当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题（文））函数 在区间 的最小值、最大值分别为
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
3．（2022·全国·高考真题（理））已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ,因为当
所以 ,即 ,所以 ；
设 ，
，所以 在 单调递增，
则 ,所以 ，
所以 ,所以 ，
故选：A4．（2010·全国·高考真题（文））若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（
）
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
【答案】A
【详解】由题意可知k＝ ，
又(0，b)在切线上，解得：b＝1.
故选：A.
5．（2015·安徽·高考真题（文））函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（
）
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
【答案】A
【详解】由图像知f(0)＝d>0，因为 有两个不相等的正实根 ，且 在
单调递增，在 上单调递减，
所以a>0，
所以b<0，c>0，
所以a>0，b<0，c>0，d>0.
故选：A.
6．（2009·宁夏·高考真题（文））曲线 在点(0，1)处的切线方程为________．【答案】
【详解】解： ，
切线的斜率为
则切线方程为 ，即
故答案为：
7．（2022·全国·高考真题（文））已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（2）求导得 ，按照 、 及 结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极
值，即可得解.
（1）当 时， ，则 ，当 时， ， 单调
递增；当 时， ， 单调递减；所以 ；
（2） ，则 ，当 时， ，所
以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；所以
，此时函数无零点，不合题意；当 时， ，在 上，
， 单调递增；在 上， ， 单调递减；又 ，由（1）得，即 ，所以 ，当 时，
，则存在 ，使得 ，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；当 时， ，所以 单调递增，又
，所以 有唯一零点，符合题意；当 时， ，在 上， ，
单调递增；在 上， ， 单调递减；此时 ，由（1）得当 时，
， ，所以 ，此时
存在 ，使得 ，所
以 在 有一个零点，在 无零点，所以 有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围
为 .
8．（2022·全国·高考真题（文））已知函数 ，曲线 在点 处的
切线也是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．【答案】(1)3
(2)
（1）由题意知， ， ， ，则 在点 处的切线方
程为 ，即 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，解得
，则 ，解得 ；
（2） ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得
，设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为
，整理得 ，则 ，整理得
，令 ，则
，令 ，解得 或 ，令 ，解得 或
，则 变化时， 的变化情况如下表：
0 1
0 0 0
则 的值域为 ，故 的取值范围为 .9．（2022·全国·高考真题（理））已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
【答案】(1)
(2)证明见的解析
【解析】（1） 的定义域为 ， 令
,得 当 单调递减当 单调递增
，若 ,则 ,即 所以 的取值范围为
（2）由题知, 一个零点小于1,一个零点大于1不妨设 要证 ,即证 因为
,即证 因为 ,即证 即证
即证 下面证明 时，
设 ，则
设所以 ,而 所以 ,所以
所以 在 单调递增即 ,所以 令
所以 在 单调递减即 ,所以
；综上, ,所以 .
10．（2017·全国·高考真题（文））设A，B为曲线C：y＝ 上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【答案】（1）1；（2）y＝x＋7．
【详解】解：（1）设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x≠x，y＝ ，y＝ ，x＋x＝4，
1 2 1 2 1 2
于是直线AB的斜率k＝ ＝ ＝1．
（2）由y＝ ，得y′＝ ．
设M(x，y)，由题设知 ＝1，解得x＝2，于是M(2，1)．
3 3 3
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．
将y＝x＋m代入y＝ 得x2－4x－4m＝0．
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x ＝2±2 ．
1，2从而|AB|＝ |x－x|＝ ．
1 2
由题设知|AB|＝2|MN|，即 ＝2(m＋1)，
解得m＝7．
所以直线AB的方程为y＝x＋7．
