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2025届新高三学情摸底考01（新课标卷）
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B
2．已知 为虚数单位， ，则在复平面内 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数乘法可得 ，再结合共轭复数以及复数的几何意义分析判断.
【详解】由题意可得： ，则 ，
所以在复平面内 的共轭复数对应的点位 ，位于第一象限.
故选：A.3．向量 ，且 ∥ ，则实数 （ ）
A．5 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算可得 ，结合向量平行的坐标运算分析求解.
【详解】因为 ，则 ，
若 ∥ ，则 ，解得 .
故选：D.
4．设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三
角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点 处的切线方程，即可得其与坐标轴的交
点坐标，即可得其面积.
【详解】 ，
则 ，
即该切线方程为 ，即 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 .
故选：A.
5．若 ，则 的值为（ ）
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得.
【详解】由 ，得 .
故选：B
6．已知 ，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可求解.
【详解】 的标准方程为 ，故所求分别为
， .
故选：A.
7．唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路
的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”
和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就
是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可
忽略），如图2所示.已知球的半径为 ，酒杯容积为 ，则其内壁表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设圆柱的高为 ，内壁的表面积为 ，可得 ，可得 ，
利用几何体的几何特征可求内壁表面积.
【详解】设圆柱的高为 ，内壁的表面积为 ，
由题意可知： ，解得 ，
内壁的表面积等于圆柱的侧面积，加半球的表面积，
即 .
故选：D.
8．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，曲线 上存在一点 ，使
得 为等腰直角三角形，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可.
【详解】如图所示， 为等腰直角三角形，且 ，
运用勾股定理，知道根据 ．由双曲线定义，知道 ，
即 ，解得 ，故离心率为： .
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故选：C.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0分.
9．已知事件 满足 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立
B．事件A与事件B可能为对立事件
C．若事件A与事件B相互独立，则
D．若事件A与事件B互斥，则
【答案】ACD
【分析】选项A，利用相互独立事件的定义，即可求解；选项B，利用对立事件的概率和
为1，即可求解；选项C，利用相互独立事件的概率公式，即可求解；选项D，利用互斥事
件的概率公式，即可求解.
【详解】对于选项A，根据相互独立事件的定义易知选项A正确；
对于选项B，对立事件的概率和为1，但 ．故选项B错误；
对于选项C，根据相互独立事件的定义， ，故选项C正确；
对于选项D，事件A与事件B互斥，则 ，故选项D正确.
故选：ACD．10．若函数 的图象经过点 ，则（ ）
A．点 为函数 图象的对称中心
B．函数 的最小正周期为
C．函数 在区间 上的函数值范围为
D．函数 的单调增区间为
【答案】ACD
【分析】先求出 解析式，对于A，求出函数 的对称中心即可判断；对于B，由
解析式及最小正周期公式求解即可；对于C，根据变量范围得出角 的范围即可得出
函数 的函数值范围；对于D，求出正切型函数的单调递增区间以及零点即可根据正切
（型）函数图象性质得出函数 的单调增区间.
【详解】由题 ，又 ，故 ，所以 ，
对于A，令 ，则 ，
所以 的对称中心为 ，
当 时， ，故点 为函数 图象的一个对称中心，故A正确；
对于B，由上 的最小正周期为 ，故B错误；
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于C，当 ， ，故 ，故C正确；
对于D，令 ，所以 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间，
令 即 ，所以 即 ，
所以函数 的零点为 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，故D正确.
故选：ACD.
11．已知定义在 上的函数 ，对任意 有 ，其中
；当 时， ，则（ ）
A． 为 上的单调递增函数
B． 为奇函数
C．若函数 为正比例函数，则函数 在 处取极小值
D．若函数 为正比例函数，则函数 有两个零点
【答案】AB【分析】选项A，利用函数单调性的定义，设 ， ，得出
即可得证；选项B，先得出 ，再设 ，得出 ，
即可得证；选项C，在 前提下，求函数 的导函数 ，分析导函数
的正负，得出函数 的单调性以及极值即可；选项D，在 前提下，函数
，利用零点存在性定理，代入特殊值检验即可.
【详解】对于选项A，设 ，且 ， ，
，即 ，
故 单调递增，选项A正确；
对于选项B， 是定义在 上的函数，取 ，则 ，
取 ，则 ，即 ，
故 是奇函数，选项B正确；
对于选项C、D，设 ，代入 ，得 ，
其中C选项， ， ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
函数 在 处取极大值，无极小值，选项C错误；
其中D选项，函数 ，
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！其中 ，
， ，
，
由零点存在性定理可知，函数 分别在区间 ， 和 上
各至少存在一个零点，选项D错误；
故选：AB
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在 展开式中，含 项的系数是 .
（用数字作答）
【答案】
【分析】根据二项式定理及组合数的性质计算可得.
【详解】
，
其中 展开式的通项为 （ 且 ），
所以 展开式中含 项的系数为：
.
故答案为：
13．在 中， 的角平分线交 于 ，则
.【答案】
【分析】在 中，由余弦定理可得： ，由正弦定理可得 ，根据角平
分线的性质可得： ，在 中，由正弦定理可得： 即
可求解.
【详解】因为在 中，
由余弦定理可得： ，解得
由正弦定理可得： ，即 ，解得： ，
因为 的角平分线交 于 ，所以 ，由角平分线性质可得： ，
所以 ，
在 中，由正弦定理可得： ，即 ，解得：
故答案为：
14．已知 分别为椭圆 的左，右焦点，A为椭圆 的上顶点，
且 为等边三角形；过 且垂直于 的直线与椭圆 交于 两点，则 的周
长为 ．
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】16
【分析】根据条件可得 ，然后根据椭圆的定义可得
【详解】
由 ，得
因为 为等边三角形， ，
且过 且垂直于 的直线与椭圆 交于 两点，
所以DE为线段 的垂直平分线，
得 ，
则 的周长为 ，
故答案为：16
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是
文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认
识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本
的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ，…，
得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在 的平均成绩是56，方差是7，另一组落在已知 内，且两组成绩
的总平均数 为62和总方差 为23.求落在 的平均成绩以及方差.
【答案】(1) (2)84.(3)平均数为65，方差为4
【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，
（2）根据百分位数的计算公式即可求解，
（3）根据平均数的计算可得 的平均数，即可利用总体方差公式即可求解.
【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得， ，所以
.
（2）成绩落在 内的频率为 ，
落在 内的频率为 ，
显然第75百分位数 ，由 ，
解得 ，所以第75百分位数为84.
（3）由频率分布直方图知，成绩在 的市民人数为 ，
成绩在 的市民人数为 ，所以 的平均数为x，方差为 ，
，则 .
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为
，计算可得方差为4.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16．（15分）已知数列 是等差数列，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）由题可得 ，从而求出 ， ，进而得到数列 的通
项公式；
（2）由（1）得 ，采用裂项相消法求出 .
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，解得 .
，可得 ，解得 .
所以 .
（2） ，
所以
17．（15分）如图，在三棱锥 中，平面 平面ABC， ，
， ，点M为AC的中点．
(1)求证：平面 平面PAB；(2)线段PC上是否存在点N，使得 平面BMN?若存在，求 的值；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可得证；
（2）过点M作 垂足为F，根据线面垂直的判定可证 平面BMN，然后根据
平面几何知识求出 ，进而求出 即可得.
【详解】（1）因为平面 平面ABC， 平面 ， ，平面 平面
ABC ，
所以 平面ABC， 平面ABC，所以 ，
又 ， ，所以 ,
又 ，所以 ，
所以 ，又 ， 是平面 内的两条相交直线，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面PAB
（2）
存在，当 时， 平面BMN，
过点M作 垂足为F，
由（1）知 平面ABC， 平面ABC，所以 ，
又点M为AC的中点， ，
所以 ， ， 是平面 内的两条相交直线，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ， ， 是平面BMN内的两条相交直线，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 平面BMN，
由已知得 ，又 ，
即 ，又 ，
所以 ，所以 ，
故当 时， 平面BMN，
18．（17分）已知动圆P过点 ，并且与圆 外切，设动圆的圆心
P的轨迹为C.
(1)直线 与圆 相切于点Q，求 的值；
(2)求曲线C的方程；
(3)过点 的直线 与曲线C交于E，F两点，设直线 ，点 ，直线 交 于
点M，证明直线 经过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1) (2) ， ；(3)证明见解析，定点
【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解；
（2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解；
（3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理
表示 ，即可求解定点.
【详解】（1）由直线与圆的位置关系可知， ，
所以点 ；（2）由题意可知，设动圆半径为 ， ， ， ，
即 ，
所以点 是以 为焦点的双曲线的右支， ， ，则 ，
所以曲线 的方程为 ， ；
（3）当直线 的斜率不存在时， ， ，
直线 ，当 ，得 ，即 ，直线 ，
此时直线过点 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 ， ， ，
直线 ，当 时， ，
，
联立 ，得 ，
， ， ，
下面证明直线 经过点 ，即证 ， ，
把 ， 代入整理得 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！即 ，
所以直线 经过点 ，
综上可知，直线 经过定点，定点坐标为 .
19．（17分）对于函数 ，规定 ， ，…，
， 叫做函数 的n阶导数．若函数 在包含 的某个闭
区间 上具有n阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，则对闭区间 上任
意一点x，
，该公式称为函数 在 处的n阶泰勒展开式， 是此泰勒展开式的n阶余项．
已知函数 ．
(1)写出函数 在 处的3阶泰勒展开式（ 用 表示即可）；
(2)设函数 在 处的3阶余项为 ，求证：对任意的 ， ；
(3)求证： ．【答案】(1) ;(2)证明见详解；(3)证明见详解.
【分析】（1）根据函数 在 处的 阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）根据泰勒公式的定义，计算函数 在 处的 阶泰勒展开式余项
， 介于 与 之间的常数，再通过导数判断单调性即
可；
（3）计算函数 在 处的 阶泰勒展开式为
,并得 ，令 ，则
，再利用累加法即可证明.
【详解】（1）由题意，函数 ，且 ，
则 ，
，
，
所以函数 在 处的 阶泰勒展开式为：
.
（2）由（1）可知， ，
，
所以函数 在 处的 阶泰勒展开式为：
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其中 ， 介于 与 之间的常数，
所以 ，
因为 为常数项，且 ，
所以函数 为偶函数，
因为 ，
当 时， ，所以 在 单调递增，
当 时， ，所以 在 单调递减，
所以 ，
故对任意的 ， .
（3）由（2）可知，函数 在 处的 阶泰勒展开式为
，
所以 ，
令 ，
则 ，
所以 ，
即 .20
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