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2025届新高三学情摸底考02（新课标卷）
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设集合 ，则 的元素的个数为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：分别求出A和B，再利用交集计算即可.
详解： ， ，
则 ，交集中元素的个数是5.
故选：C.
2． （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和除法运算求解.
【详解】解： ．
故选：C．
3．已知向量 ，若 与 方向相反，则 =（ ）
A．54 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】利用给定条件求出m，再利用向量线性运算的坐标表示及坐标求模，计算作答.
【详解】向量 ， 与 方向相反，则 ，解得 ，
即 ，则 ，
所以 .故选：B
4．已知函数 在 上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先对 求导数，将 代入导数求得 ，再将 代入
，求得 ，用点斜式求出直线方程即可．
【详解】由 ，两边求导得：
即
所以 ，因此 ，即
又 ，即
故 在 处的切线方程为
即 ．
故选：C．
5．已知 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，求得 ，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可.
【详解】因为 ，故可得 ，
则在点 处的切线斜率 ；
又因为 .
故选：A.
6．点 的直线中，被圆 截得的最长弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】要使得直线被圆 截得的弦长最长，则直线必过圆心，利用斜率公式求得斜率，结合点斜式方
程，即可求解.
【详解】由题意，圆 ，可得圆心坐标为 ，
要使得直线被圆 截得的弦长最长，则直线必过圆心，可得直线的斜率为 ，所以直线的方程为 ，
即所求直线的方程为 .
故选：A.
7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，种类很多，其中有一种
金属陀螺（如图），它的形状可以认为是上半部分为圆柱，下半部分为倒置的圆锥；现知尖底长 为
3，柱体与锥体部分高之比 ，底周长为 ，则陀螺的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用已知条件得到底面半径，圆柱母线长以及圆锥的高，进而得到圆锥的母线长，再利用圆柱
和圆锥的表面积公式求解即可.
【详解】由底周长为 ，
可得底面半径 ，
又现知尖底长 为3，柱体与锥体部分高之比 ，
得圆柱的高即母线长为 ，圆锥的高为 ，
圆锥的母线长为 ，
则陀螺的表面积为： ；
故选：D.
8．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与圆 相切且
分别交双曲线的左、右两支于 、 两点，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解.
【详解】由双曲线的定义可知 ， ，在 中， ，
整理得 .
解得 ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
故选：C
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在下列关于概率的命题中，正确的有（ ）
A．若事件A，B满足 ，则A，B为对立事件
B．若事件A与B是互斥事件，则A与 也是互斥事件
C．若事件A与B是相互独立事件，则A与 也是相互独立事件
D．若事件A，B满足 ， ， ，则A，B相互独立
【答案】CD
【分析】对于A：举反例判断命题不成立；对于B：由互斥事件的定义直接判断；对于C：由相互独立事
件的性质直接判断；对于D：利用公式法直接判断.
【详解】对于A：若事件A、B不互斥，但是恰好 ，满足 ，但是A，
B不是对立事件.故A错误；
对于B：由互斥事件的定义可知，事件A、B互斥，但是A与 也是互斥事件不成立.故B错误；
对于C：由相互独立事件的性质可知：若事件A与B是相互独立事件，则A与 也是相互独立事件.故C
正确；
对于D：因为事件A，B满足 ， ， ，所以 ，所以A，B相互
独立.
故选：CD
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数 的最小正周期为 ，则其图象关于直线 对称
B．若函数 的最小正周期为 ，则其图象关于点 对称
C．若函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为2
D．若函数 在 有且仅有5个零点，则 的取值范围是【答案】ACD
【分析】根据最小正周期可以计算出 ，便可求出对称轴和对称点，可判断A、B选项；根
据正弦型函数的单调性可以推出 的值，可判断C选项；根据零点情况可以求出 的取值范围，可判断
D选项.
【详解】 选项： 的最小正周期为
，故 正确；
B选项： 的最小正周期为
，故B错误；
C选项：
又函数 在 上单调递增
，故C正确；
D选项：
又 在 有且仅有 个零点，则 ，故D正确.
故选：ACD
11．已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 的值域为
B．若 ，则过原点有且仅有一条直线与曲线 相切
C．存在 ，使得 有三个零点
D．若 ，则 的取值范围为
【答案】ABD
【分析】A选项，根据 趋近于0时，函数值趋近于负无穷，当 趋近于正无穷时，函数值趋近于正无穷
得到A正确；B选项，求导，设出切点，得到切线方程，把点 代入切线方程得 ，此
方程只有一个根，故B正确；C选项，分 与 两种
情况，推导出 至多两个零点；D选项，先得到 不合要求， 满足要求，考虑 ，
时，满足要求，故只需 时， 恒成立，若 ， ，故不合要求，若 ，结合导函数得到函数单调性和最值，得到 满足要求，得到答案.
【详解】A选项，若 ，则 ，
故 ，
当 趋近于0时， 趋近于负无穷，此时 趋近于负无穷，
当 趋近于正无穷时， 和 都趋近于正无穷，函数值趋近于正无穷，
因此函数 的值域为R，A正确；
B选项，函数定义域为 ， 时， ，
因为 时， ，故 ，
则 ，设切点坐标为 ，故 ，
则在 处， 的切线方程为 ，
把点 代入切线方程得， ，
化简得 ，
当 时， ，此方程无解，
当 时， ，此方程无解，
当 时， ，且函数 此时为增函数，
故方程 只有 这1个解，
即过原点有且仅有一条切线和 相切，B正确；
C选项， ，当 时， ， ，
则 ，故 单调递减，故在此区间上函数最多一个零点，
要想这个零点存在，需 ，
当 时， ， ，
则 ，显然这是一个增函数，
要想 函数零点尽可能多，则需存在一个 使得 成立，
此时 在 上单调递减，在 上单调递增，
若在 上存在一个零点，则 ，
故此时在 上只存在一个零点，此时函数一共有两个零点，不合要求，
若在 上不存在零点，则 ，又 在 上单调递减，在 上单调递增，
故此时函数最多有两个零点，不合要求，
综上，不存在 ，使得函数存在三个零点，C错误；
D选项，由A知，当 时，函数的值域为R，不满足 ，
当 时， ，满足要求，
当 时， 时， ，满足要求，
故只需 时， 恒成立，
若 ， ，故不合要求，
若 ， ，
则 ，显然这是一个增函数，
，
函数 单调递增，则 ，
故 满足题意，又 也满足要求，
因此 ，D正确；
故选：ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数 ，若满足 的五位数有 个，则在
的展开式中， 的系数是 ．（用数字作答）
【答案】56
【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出 ，再利用二项式定理结合组合数性计算即得.
【详解】由五位数 满足 ，得 ，从2、3、4、5中任取两个分别作 ，另两个为
，
因此 ， 的展开式中 的系数为：
.
故答案为：56
13．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 ．
【答案】
【详解】试题分析：由正弦定理得 ，即 ，且 ，所以 ，
，所以 ,故应填 .14．已知椭圆 的方程为 ， ， 为椭圆 的左右顶点， 为椭圆 上不同于 . 的动点，
直线 与直线 ， 分别交于 ， 两点，若 ，则过 ， ， 三点的圆必过 轴上不同
于点 的定点，其坐标为 .
【答案】
【分析】利用椭圆的性质首先证明 ，然后结合题意设出直线方程，由点的坐标确定圆的直径
所在的位置，最后由直线垂直的充分必要条件可得点D的坐标.
【详解】首先证明椭圆的一个性质：
椭圆 ，点 是椭圆上关于原点对称的两点， 是椭圆上异于 上
的一个点，则 .
证明如下：设 ， ， ，
由于点 是椭圆上的两点，故 ，
两式作差可得： ，
此时 .
故结论成立.
回到本题，由题意可知： ，
设直线PA的方程为： ，则 ，
设直线PB的方程为： ，则 ，
故 ，
故 为外接圆的直径，
设所求的点为 ，
则： ，
即 ，解得： ，( 舍去).
综上可得：所求点的坐标为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文
明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间 ，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩
作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中 的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值
代替）；
(2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲
团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间 的概率.
【答案】(1) ，平均数74.5，中位数为75；(2) .
【分析】（1）利用各小矩形的面积和为1可求 ，利用组中值可求平均数，利用面积等分可求中位
数.
（2）利用列举法及古典概型的概率公式可求概率.
【详解】（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以 ，解得 .
所以样本中40名学生的竞赛成绩的平均数
.
设这40名学生的竞赛成绩的中位数为 ，
由于前2组频率之和为0.35，前3组频率之和为0.65，
故中位数落在第3组，于是有 ，解得 .
即这40名学生的竞赛成绩的中位数为75.
（2）由分层随机抽样可知，在区间 应抽取5人，
记为a，b，c，d，e，在区间 应抽取2人，记为A，B，
从中任取2人的所有可能结果为： ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，共21种.
其中至少有一人测试成绩位于区间 内有： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共11种.所以，至少有一人的测试成绩位于区间 内的概率为 .
16．（15分）已知数列 是各项均为正数的等比数列，前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，求 .
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由 ，利用等比数列的通项公式，得到 ，求得 ，即可求解数列的
通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用乘公比错位相减法和等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，因为 ，
得 ，即 ，
设公比为 ，所以 ，又 ，所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以
其中
①
②
- 得
① ②
，
所以 .
17．（15分）在四棱锥 中， 为正三角形，平面 平面ABCD，E为AD的中点，
， ， ．（1）求证：平面 平面PAD；
（2）在棱CD上是否存在点M，使得 平面PBE？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .
【分析】（1）推导出 ，从而 平面ABCD，进而 ，然后可证得 平面PAD，得
证平面 平面PAD．
（2）在棱CD上假设存在点M，使得 平面PBE，由 平面ABCD，得 要使 平
面PBE成立，只需 成立，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 ．
【详解】证明：（1） 为正三角形，E为AD的中点， ．
平面 底面ABCD，平面 底面 ，
平面ABCD．
平面ABCD，
．
， ，
．
， 面
平面PAD．
平面PCD，
平面 平面PAD．（2）在棱CD上假设存在点M，使得 平面PBE．
平面ABCD， ．
要使 平面PBE成立，只需 成立．
以过 与 平行的直线为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
， ， ， ， ，
设 ，
，即 ．
， ， ．
．
，
由 ，得 ，即 解得 ．
故 ．
18．（17分）已知动圆C的圆心在x轴上，且经过点 ，动圆C与x轴的另一个交点为A，与y轴
的一个交点为B，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)设点M的轨迹为E，曲线E上一点 ，过点P的直线PS，PT交曲线E于S，T两点，且
PS PT，求证：直线ST过定点，并求出定点坐标.
【答⊥案】(1) (2)证明见解析，
【分析】（1）根据 建立等式即可求解；
（2）先求出点 ，再根据题意分别求出 和 ，再由直线
的两点式得到直线ST的方程即可求解.
【详解】（1）由题意设 ，则 ， ，且 ，得到 ，即
，故M的轨迹方程为 .
（2）由（1）知点 ，直线PS，PT斜率存在且不为0，不妨设直线PS的斜率为k，则直线PS的方
程为 ，联立 与 ，消掉x得到 ，设点 ，则
，得到 ，
代入直线方程得到 ， ，
因为PS PT，将点S坐标中的k换成 ，得到 ，
⊥则 ，
直线ST的方程为 ，化简得到 ，
所以直线ST过定点 .
19．（17分）给出以下三个材料： 若函数 可导，我们通常把导函数 的导数叫做 的二阶
导数，记作 .类似地，二阶导数①的导数叫做三阶导数，记作 ，三阶导数的导数叫做四阶导
数……一般地， 阶导数的导数叫做 阶导数，记作 . 若 ，定义
. 若函数 在包含 的某个开区间 上具②有 阶的导数，那么
对于任一 有 ③
，我们将 称为
函数 在点 处的 阶泰勒展开式.例如， 在点 处的 阶泰
勒展开式为 .根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出 在点 处的 阶泰勒展开式 ，并直接写出 在点 处的 阶泰
勒展开式 ；
(2)比较（1）中 与 的大小.
(3)证明： .
【答案】(1) , ；(2)答案见解析；(3)证明过程见解析.
【分析】（1）根据 在点 处的 阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）令 ，利用导数可求得 在 上单调递增，结合 可得 的正负，由
此可得 与 的大小关系；
（3）令 ，利用导数可求得 ，即 ； 当 时，由
①
， ，可直接证得不等式成立； 当 时，分类讨论，由此可证得不
等式成立.
②
【详解】（1） ， ， ，
， ， ，，即 ；
同理可得： ；
（2）由（1）知： ， ，
令 ，则 ，
， ，
在 上单调递增，又 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
， ，
在 上单调递增，又 ，
当 时， ；当 时， ；
综上所述：当 时， ；当 时， ；当 时， ；
（3）令 ，则 ，
， 在 上单调递增，
又 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ；
在点 处的 阶泰勒展开式为： ，
，当且仅当 时取等号，
当 时，由（2）可知， ，当且仅当 时取等号，所以
①
；
当 时，设 ， ，
②
， ，
当 ，由（2）可知 ，所以，，即有 ；
当 时， ，
所以， 时， 单调递减，从而 ，即 ．
综上所述： .
