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1.3 复数（精练题组版）
题组一 复数的实部与虚部
1.（2024 山东）已知复数
的实部为3，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．5
【答案】B
【解析】由题意得，
，则其实部为
，解得
.故选:B.
2.（2025·广东广州·一模）若复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．1
C．
D．i
【答案】B
【解析】因为
，所以
，所以
的虚部为1.故选：B
3.（2025·吉林长春·模拟预测）复数
的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因
，故复数
的虚部为
.故选：B
4.（2025·河南·三模）若复数z 满足
，则z 的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知
，先将等式右边化简，
．
则
，所以z 的虚部是
．故选：A
5.（2025·广西桂林·二模）已知
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【解析】
，所以
的虚部为2，故选：D．
6.（2025·上海徐汇·二模）复数
（其中为虚数单位）的虚部是 ．
【答案】
/0.5
【解析】
，故其虚部为
.故答案为：
.
题组二 复数的分类
1.（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若复数
为纯虚数，则a 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】由题，
，又
为纯虚数，
.故选：A．
2.（2025·甘肃平凉·模拟预测）若复数
是纯虚数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，由
为纯虚数，得
，所以
，故
，
所以
.故选：B.
3．（2025·安徽·一模）若
为纯虚数，则复数
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】设
，则
，
所以
.
对于A 选项，由
，可得
，解得
，合乎题意；
对于B 选项，由
，可得
，此时
不存在，不合乎题意；
对于C 选项，由
，可得
，此时
不存在，不合乎题意；
对于D 选项，由
，可得
，解得
，合乎题意.
故选：AD.
题组三 复数对应的象限
1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知
，则在复平面内
所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】由
，得
，即
，
因此
，
所以在复平面内
所对应的点
位于第二象限.
故选：B
2．（2025·辽宁锦州·二模）在复平面内，复数
对应的点在第二象限，则复数
对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】因为复数
对应的点在第二象限，所以可设
，
因为
，
所以
，
所以
，
，
所以复数
对应的点在第三象限.
故选：
.
3．（2025·贵州·二模）已知
，则复数
的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】
，
，
故复数
的共轭复数为
，在复平面内对应的点为
，位于第三象限.
故选：C.
4.（2025·甘肃·一模）若复数
在复平面内对应的点位于第二象限，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】C
【解析】复数
在复平面内对应的点为
，若其在第二象限，则
，解得
.
故选：C.
题组四 复数的模长
1.（2025·福建福州·三模）若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】B
【解析】因为
，所以
.故选：B.
2．（2025·陕西渭南·二模）若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．5
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，所以
，
故选：A.
3．（2025·陕西咸阳·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】D
【解析】根据复数的运算法则，可得
，所以
，所以
，则
.故选：D.
4.（2025·辽宁鞍山·二模）已知复数
满足
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】C
【解析】
，
，
．故选：C
5（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数
对应的向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由复数
对应的向量
，则
，
所以
.故选：A
6.（2025·湖南·模拟预测）设为虚数单位，则
（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
,
故选：B
7（2025·广东深圳·三模）已知复数
满足
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，所以
，
所以
．
故选：D
8（2025·辽宁·三模）已知为虚数单位，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，则
，故
.
故选：D
题组五 复数范围内解方程
1．（2025·重庆·模拟预测）已知复数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
可得
，即
，可得
，解得
.故选：A.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知复数
是关于
的实系数方程
的一个根，则
（ ）
A．25
B．5
C．
D．41
【答案】C
【解析】因为复数
是关于
的实系数方程
的一个根，
所以
，所以
，
所以
，则
．
故选：C．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知复数
是方程
的一个根，则
等于（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】A
【解析】复数
∵
是方程
的一个根，
∴
，故
，
，
∴
.
故选：A．
4.（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数
和复数
为方程
的两根，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
也为该方程的根
D．
与
也为方程
的根
【答案】D
【解析】由题可得，复数
，
又实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数，则
，
则
，
，
则由韦达定理可知
，
，
所以
，故A,B 错误；
又
，则
且
，故C 错误；
由于
，则
与
为方程
的两根，
因为
，则
与
也为方程
的根，故D 正确.
故选：D．
5．（24-25 高三上·河北秦皇岛·期中）（多选）已知
，
，关于
的方程
有一个根为
，
为虚数单位，另一个根为
，则（ ）
A．该方程存在实数根
B．
，
C．
对应的点在第四象限
D．
【答案】BCD
【解析】由
是方程
的根，得
，
整理得
，因此
，解得
，
所以方程为
，故B 正确；
对于A，根据方程
，可得
，所以方程无实数根，故A 错误；
对于C，D，方程
，由韦达定理可知
，得
，
对应的点为
，在第四象限，
，所以
，故C，D 正确．
故选：BCD．
6．（2024·宁夏吴忠·一模）（多选）已知
为方程
的根，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】设
，
因为
为方程
的根，且
，则
，
所以
，即
，
解得
或
，
所以
，则
；
，所以
，故ACD 正确，B 错误.
故选：ACD.
7（2024 高三·全国·专题练习）（多选）已知
是关于
的方程
的两根，则（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】关于
的二次方程
．
当
时，
，所以
，
，但
不一定成立．
当
时，
，
是方程的两个复数根，
仍成立，此时
，故A 正确，B 错误．
若
，方程
的两根为
，所以
互为共轭复数，C 正确．
若
，由于
，所以
，D 正确．
故选：ACD
8．（24-25 高三上·河北邢台·期中）（多选）若复数
，
是方程
的两个根，则（ ）
A．
为纯虚数
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】方程
，
，
方程
的根为
，
即方程
的根为
，
，
不妨设
，
，
则
为纯虚数，故A 正确；
，故B 正确；
，故C 错误；
，则
，故D 正确.
故选：ABD.
题组六 复数模长相关的轨迹问题
1．（2025·河北秦皇岛·一模）已知复数
在复平面内对应的点为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知
，故
，故选：A
2．（24-25 高三上·安徽·期中）已知复数
是关于
的方程
的一个根，若复数
满
足
，复数
在复平面内对应的点
的集合为图形
，则
得周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由复数
是关于
的方程
的一个根，得
是该方程的另一根，
则
，解得
，
由
，得
，因此图形
是以点
为圆心，4 为半径的圆，
所以
得周长为
.
故选：D
3．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数
在复平面内表示一个圆周，则
在复平面内表示的
点构成的形状为：（ ）.
A．圆周
B．椭圆周
C．双曲线的一部分
D．线段
【答案】D
【解析】
表示点
，故
，
，由此可知
表示：
，在直线
上，
又
，所以表示一条线段.
故选：D.
4.（2025·广东汕头·一模）（多选）已知复数
，
（x,
），则下列结论正确的是（ ）
A．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是直线
【答案】AD
【解析】根据复数的几何表示知：
对A，方程表示到定点
的距离等于2 的动点轨迹，即圆，A 正确；
对B，方程表示到定点
与
距离的和为2 的动点轨迹，而
与
的距离也为2，所以z 在复平面内
对应点的轨迹为线段，B 错误；
对C，方程表示到定点
与
的距离的差为1 的动点轨迹，即双曲线的一支，C 错误；
对D，方程表示到定点
与
的距离相等的动点轨迹，即线段的中垂线，D 正确．
故选：AD
5．（2024·广西·模拟预测）（多选）复数
（
，i 为虚数单位）在复平面内内对应点
，
则下列为真命题的是（ ）
A．若
，则点Z 在圆上
B．若
，则点Z 在椭圆上
C．若
，则点Z 在双曲线上
D．若
，则点Z 在抛物线上
【答案】BD
【解析】
表示点
与
之间的距离，
表示点
与
之间的距离，记
，
，
对于A，
，表示点
到
、
距离相等，则点
在线段
的中垂线上，故A 错误；
或由
，整理得
，所以点
在
，故A 错误；
对于B，由
得
，这符合椭圆定义，故B 正确；
对于C，若
，
，这不符合双曲线定义，故C 错误；
对于D，若
，则
，整理得
，点
在抛物线，故D 正确．
故选：BD．
题组七 复数模长相关的轨迹最值
1．（24-25 上海·开学考试）若复数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．2
C．
D．1
【答案】C
【解析】设
，
因为
，
则
，
即点
到
和
的距离之和为4，且大于2，
所以点
在以
和
为焦点的椭圆上，且
，
椭圆方程为
，
所以
的最小值为
.
故选：C.
2．（24-25 高三上·江西赣州·开学考试）已知复数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为在复平面内，
表示到点
距离为1 的所有复数对应的点，
即
表示以
为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为
，
最长距离为
，
则
的取值范围是
.
故选：D.
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数
，
满足
，
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．7
D．8
【答案】D
【解析】设
，
，
，
，
因为
，
，
所以
，
，
所以点
的轨迹为以
为圆心，
为半径的圆，
点
的轨迹为以
为圆心，为半径的圆，
又
表示点
与
的距离，
所以
的最大值是
，
故选：D.
4．（2024·云南曲靖·模拟预测）若复数
且
，则满足
的复数
的
个数为（ ）
A．0
B．2
C．1
D．4
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
又
，所以
，
即复数
对应的点在圆心为
，半径为
的圆上，
又
可以变形为
，
即其几何意义为复数
在复平面内的点到直线
的距离为
，
又圆心
到直线
的距离为
，
而
，所以满足条件的
不存在.
故选：A.
5．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知i 为虚数单位，若复数
满足
，则
的最大值是
.
【答案】
/
【解析】设复数
，则
，
即
，则点
的轨迹为圆心在
，半径为
的圆，
，其表示点
到点
的距离，
其最大值为
到圆心的距离加上半径，即
，
故答案为：
.
6.（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数
满足
（i 是虚数单位），则
的最大值是
.
【答案】
/
【解析】已知
，则
.
因为
，所以
，
表示复数
所对应的点到
所对应的点的距离，
说明
对应的点在以原点为圆心，
为半径的圆上，
所以
的最大值为圆心
到点
的距离加上半径，即
.
故答案为：
.
7.（24-25 高三下·上海·阶段练习）已知复数
满足
，则
的最大值为
【答案】7
【解析】如图：
因为复数
满足
，所以复数
对应的点
在以原点为圆心，2 为半径的圆上.
又
表示点
到点
的距离.
结合图形可知，当
，
，
三点共线，且
，
在
点两侧时，
最大，
此时
.
所以
.
故答案为：7
题组八 复数的运算及性质
1．（24-25 高三上·广东东莞·阶段练习）（多选）在复平面内，复数
对应的向量分别为
、
，则下列说
法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】设
，则
，
对于A，当
时，
，
则
，故A 错误；
对于B，
，
，
所以
，故B 正确；
对于C，当
时，
，
，
满足
，但
，故C 错误；
对于D，当
时，
，
而
，故D 错误.
故选：ACD.
2．（2024·江西新余·模拟预测）（多选）已知
，
为
的共轭复数，则下列条件可判定
的是：
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】已知
，设
，则
，
对于A，若
，即
，得
，即
，
所以
，有
，A 选项正确；
对于B，若
，则有
，得
，有
，B 选项正确；
对于C，若
，即
，有
，得
，
其中当
时，
，C 选项错误；
对于D，若
，有
，即
，
若
，则得
，有
；若
，则
，
，有
，D 选项正确.
故选：ABD.
