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2.2 函数的单调性、奇偶性（精讲）
考向一 具体函数的单调性
【例1-1】（2024 湖北）函数
的单调增区间是（ ）.
A．
B．
C．
D．
，
【例1-2】（2025 甘肃）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2025·云南）函数
的单调递增区间为____________．
【例1-4】（2025 广西）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是
B．递减区间是
C．递增区间是
D．递增区间是
【例1-5】（2024 安徽）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2023 云南）下列函数在R 上为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2（2025 湖南）函数
的单调递增区间是
3.（2024 江西）函数
的单调递增区间为__________.
4（2025 北京）函数
的单调递增区间是
5.（2025 福建）函数
的单调递增区间是
考向二 已知单调性求参数
【例2-1】（2025·广东茂名·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（2024·广东韶关·一模）已知函数
在
上是单调函数，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-3】（2024·海南·模拟预测）已知
且
，若函数
与
在
上
的单调性相同，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2024 浙江）设
，则“
是
函数
”
“
在
为减函数
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
是
上的单调函数，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2025·黑龙江）若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2025 广西）已知函数
在区间
上单调递增，求实数a 的取值范围 ．
考向三 函数奇偶性的判断
【例3-1】（2024 高三·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性．
(1)
； (2)
； (3)
；
(4)
，
； (5)
； (6)
．
【例3-2】（2025 高三·全国·专题练习）（多选）设函数
，则下列函数中不是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2025·山东枣庄·二模）下列函数中，是偶函数且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025·贵州铜仁·模拟预测）下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025 高三下·全国·专题练习）下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4（24-25 高三上·北京东城·期末）下列函数中，使
既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2025 高三下·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)
；(2)
；(3)
；(4)
.
考向四 已知奇偶性求参数
【例4-1】（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知函数
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【例4-2】（2025·安徽蚌埠·二模）“
是
函数
”
“
为奇函数
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【例4-3】（2024 长沙市）函数
是定义在
上的奇函数．若
，
则
的值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【一隅三反】
1（2025·四川宜宾·二模）若
是偶函数，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·河北·开学考试）“
是
函数
”
“
为奇函数
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
3.（24-25 高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考向五 奇偶性的应用---求解析式
【例5-1】（24-25 辽宁）已知函数
是定义域为
的偶函数，且当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2025 河北沧州·阶段练习）已知函数
是奇函数，且当
时，
，那么当
时，
的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025 河南·阶段练习）已知
为奇函数，当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025 河北）设
为奇函数，且当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2024 黑龙江哈尔滨）已知
为奇函数，
为偶函数，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考向六 奇偶性的应用---求函数值
【例6-1】（2025·四川）若函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【例6-2】（2025 高三下·全国·专题练习）已知
，
.求
.
【例6-3】（24-25 广西玉林·期末）若函数
在区间
上的最大值为M，最小值为m，
则
．
【一隅三反】
1．（2025 广东深圳·期末）已知函数
为偶函数，则
【答案】2
【解析】
函数
为偶函数，
当
时，
，
，
，即
，又
，
故
2.（2024 高三·全国·专题练习）函数
在
上的最大值和最小值分别为
，则
．
3.（2025 湖北）已知函数
，
，若
的最大值为
，最小值
为
，则
.
考向七 单调性与奇偶性的应用---解不等式
【例7-1】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例7-2】（24-25 江苏苏州·期末）已知函数
，且
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例7-3】（24-25 高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数
，对任意
，都有
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2025 四川）函数f（x）在R 上单调递减，关于x 的不等式f（x2）＜f（2）的解集是（ ）
A．{x|x
}
B．{x|x
}
C．{x|x
或x
}
D．{x|
x
}
2.（23-24 北京）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025 安徽铜陵·期末）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2025·湖南邵阳·二模）已知函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（24-25 河北）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向八 单调性与奇偶性的应用---比较大小
【例8-1】（2025·山西·一模）若
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-2】（2024·北京·模拟预测）函数
，记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2024·天津·一模）已知实数a，b，c 满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 陕西）已知函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 贵州）已知函数
，设
，则
的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2025 广东）已知函数
，若
，
，
，则
，
，的大小
关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向九 抽象函数的单调性与奇偶性
【例9】（2025 高三·全国·专题练习）设函数
的定义域为
，且满足
，
，
又当
时，
．
(1)判断
的奇偶性；
(2)证明
在
上是增函数；
(3)解不等式
．
【一隅三反】
1．（24-25 江西宜春·阶段练习）已知函数
满足任意的实数
，
，都有
，
且当
时，
.
(1)求
的值，并证明：
是奇函数；
(2)判断
在
上的单调性并证明；
(3)若关于
的不等式
对任意的
恒成立，求
的取值范围.
2．（2024 高一·全国·专题练习）已知函数
在
上有意义，且任意
，满足
．
(1)求
的值，判断
的奇偶性并证明你的结论；
(2)若
时，
，判断
在
上的单调性，并说明理由．
3．（24-25 山东）定义在
上的函数
满足：
，当
时，
.
(1)求
的值，判断函数
的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数
在
上的单调性，并用定义证明；
(3)若
，解关于
的不等式
.
