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第09 讲 抛物线多选题专项训练
目 录
题型01：抛物线定义理解...............................................................................................................................1
题型02：抛物线的简单几何性质....................................................................................................................2
题型03：直线与抛物线的位置关系.................................................................................................................3
题型04：焦点弦问题......................................................................................................................................5
题型05：阿基米德三角形...............................................................................................................................7
题型06：最值范围....................................................................................................................................... 11
题型07：面积问题....................................................................................................................................... 15
题型08：切线问题....................................................................................................................................... 17
题型09：四心问题....................................................................................................................................... 18
题型10：向量问题....................................................................................................................................... 19
题型11：定点定值定直线.............................................................................................................................21
题型01：抛物线定义理解
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
坐
原点，点
为
标
在抛物线
上，若
，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．
的坐标为
【答案】ABC
【解析】由抛物线
，可得
，
因
点
为
在抛物线
上，且
，
根据抛物
的定
，可得
线
义
，解得
，
又因为
，所以
，即
，
则
.故
：
选ABC.
【变式训练1-1】已知点
在焦点为
的抛物线
上，其中
是各
均不
项
为
零的数列且
．若
，
（
则 ）
A．
B．数列
等差数列
为
C．
D．
【变式训练1-2】已知抛物线
的焦点为
坐
原点，点
为
标
在抛物线
上，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
的坐标为
题型02：抛物线的简单几何性质
【典型例题2】下列关于抛物线
的
法正确的是（
说
）
A．焦点在x
上
轴
B．焦点到准
的距离等于
线
10
C．抛物
上横坐
线
标为1 的点到焦点的距离等于
D．由原点向
焦点的某直
作垂
，垂足坐
可能
过
线
线
标
为
【答案】ACD
【解析】抛物线
的焦点在x
上，
轴
，
正确，
；
错误
设
是
上的一点，则
，所以
正确；
由于抛物线
的焦点为
，
焦点的直
方程
过该
线
为
，
若由原点向
直
作垂
，垂足
该
线
线
为
，
时则
，此
存在符合
意的垂
，所以
时
题
线
正确.
故
：
选ACD.
【变式训练2-1】
于抛物
上
对
线
，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为
B．开口向上，焦点为
C．焦点到准
的距离
线
为4 D．准
方程
线
为
【变式训练2-2】已知抛物线
：
的焦点为
，
为
上一点，下列
法正确的是（
说
）
A．
的准
方程
线
为
B．直线
与
相切
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则
的周
的最小
长
值为11
题型03：直线与抛物线的位置关系
【典型例题】已知F
抛物
为
线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点，
点
过
F 且斜率为(
0)
k k
的直线l 与C 交于M ，N 两点，
点M 在x
上方，
轴
设O
坐
原点，若
为
标
2
1
1
1
4
,
4
OM ON
k
NF
MF
，
（
则 ）
A．
4
p
B．l 的
斜角
倾
为
π
6
C．
3
MF
NF
D．
MON
△
的面积为
16 3
3
【答案】ACD
【知
点】抛物
定
的理解、抛物
中的三角形或四
形面
、根据
达定理求参数
识
线
义
线
边
积问题
韦
【分析】
直
设
线l 的方程为
2
p
x
ty
，与抛物
方程
立，利用
达定理及已知条件求出
线
联
韦
,p t ，再逐
求解判断
项
.
【
解】抛物
详
线
2
:
2
C y
px
的焦点
(
,0)
2
p
F
，
直
设
线l 的方程为
1
,
0
2
p
x
ty
t
k
，
由
2
2
2
y
px
p
x
ty
消去x
得：
2
2
2
0
y
pty
p
，设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，
则
2
1
2
1
2
2
,
y
y
pt y y
p
，
2
2
2
1
2
1
2
2
4
4
y y
p
x x
p
，
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
t y
y
p
pt
p
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
4
2
1
x
x
t y
y
t
y
y
y y
pt t
，
由
2
4
OM ON
k
，得
1
2
1
2
2
4
x x
y y
t
，即
2
2
3
4
4
p
t
，则
4
3
pt
，
由
1
1
1
4
NF
MF
，得
2
1
1
1
1
4
2
2
p
p
x
x
，即
2
1
2
1
2
1
2
(
)
4(
)
2
4
p
p
x x
x
x
x
x
，
则
2
2 2
2
8
1
p
p t
pt t
，即
2
2 2
2
64
p
p t
t
，而
4
3
pt
，解得
1
4,
,
3
3
p
t
k
，
于
对
A，
4
p
，A 正确；
于
对
B，
3
k
，l 的
斜角
倾
为
π
3 ，B
；
错误
于
对
C，
1
2
1
2
8 ,
16
3
y
y
y y
，解得
1
2
4
4 3,
3
y
y
，
1
2
3
MF
y
NF
y
，C 正确；
于
对
D，
MON
△
的面积为
1
2
1
4
16 3
|
||
| 4 3
2
3
3
OF
y
y
，D 正确.
故
：
选ACD
【变式训练3-1】若直线
与抛物线
只有一个公共点，
数
则实
k 的
可以
（
值
为 ）
A．
B．0
C．8
D．-8
【变式训练3-2】在平面直角坐
系
标
xOy 中，已知抛物线
的焦点为F，直线l 的
斜角
倾
为60°且
点
经过
F.若
l 与C 相交于
两点，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．△AOB 的面积为
【变式训练3-3】
抛物
过
线
的焦点作一条直
与抛物
相交于
线
线
、
两点，它
的横坐
之和等于
们
标
，则这样
的直
方程
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．不存在
【变式训练3-4】在平面直角坐
系
标
中，已知
抛物
为
线
的焦点，点
在
抛物
上且位
该
线
于
的两
，
轴
侧
，
（
则 ）
A．
B．直线
点
过
C．
的面
最小
是
积
值
D．
与
面
之和的最小
是
积
值
【变式训练3-5】曲线C 是平面内与三个定点
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
和
3(0,1)
F
的距离的和等于2 2 的点的
迹，
轨
P 为C 上
一点，
（
则 ）
A．曲线C 关于y
称
轴对
B．存在点P，使得
3
2
2
PF
C．
1
2
F PF
面
的最大
大于
积
值
1
D．存在点P，使得
1
2
150
F PF
题型04：焦点弦问题
【典型例题】抛物
有如下光学性
：由其焦点射出的光
抛物
反射后，沿平行于抛物
称
的方向射出；
线
质
线经过
线
线对
轴
反之，平行于抛物
称
的入射光
抛物
反射后必
抛物
的焦点．已知抛物
线对
轴
线经
线
过
线
线
的焦点为
坐
为
标
原点，一束平行于
的光
轴
线从点
射入，
抛物
上的点
经过
线
反射后，再
抛物
上另一点
经
线
反射后，沿直线
射出，
下列
中正确的是（
则
结论
）
A．
B．若点
，则
C．直线与
的距离最小
间
值为2
D．直线与直线
相交于点
，则
三点共线
【答案】ABD
【知
点】斜率公式的
用、直
与抛物
交点相关
、根据抛物
方程求焦点或准
、抛物
的焦半径公式
识
应
线
线
问题
线
线
线
【分析】根据
定条件可得直
给
线
点
过
，
出
设
的方程并与抛物
方程
立，利用
达定理
合
条件逐
线
联
韦
结
选项
一求解判断.
【
解】由抛物
的光学性
知，直
详
线
质
线
抛物
的焦点
过
线
，
直
设
线
的方程为
，由
消去
得
，
然
显
，
于
对
A，
，A 正确；
于
对
B，点
，则
，
，因此
，
， B 正确；
于
对
C，直线与
的距离
间
，
当且
当
仅
，
时
取最小值4，C
；
错误
于
对
D，直线与
相交于点
，
直
则
线
的斜率为
，
又直线
的斜率为
，即
，因此
三点共
，
线D 正确.
故
：
选ABD
【变式训练4-1】已知
是抛物线
上两
点，
动
抛物
为
线
的焦点，
（
则 ）
A．直线
焦点
过
，
时
最小值为4
B．直线
焦点
过
且
斜角
倾
为
（点
时
在第一象限），
C．若
中点
的横坐标为3，则
最大值为8
D．点
坐标
，且直线
斜率之和为
与抛物
的另一交点
线
为
，
直
，
则
线
方程
：
为
【变式训练4-2】已知抛物线
，准线为，
焦点
过
的直
交抛物
线
线
于
两点，过
分别
作的垂
，垂足分
线
别为
，
（ ）
则
A．
B．若
，
直
则
线
的斜率为
C．
三点共
（其中
线
坐
原点）
为
标
D．
【变式训练4-3】已知抛物线
的焦点为F，其准线l 与x
交于点
轴
A，O
坐
原点，
为
标
过F 的直
与
线
C 交于
B，D 两点，过B，D 作l 的垂
，垂足分
线
别为E，G，
（ ）
则
A．若直线BD 的斜率为1，则
B．以BD
直径的
与
为
圆
y
相切
轴
C．
D．B，O，G 三点共线
【变式训练4-4】已知
，
是抛物线
上的两点，若直线
抛物
的焦点
过
线
且倾
斜角为
.
下列命
正确的是（
则
题
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-5】已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
的直
与
线
交于
，
两点，分别过
，
作的垂
，垂足
线
为
，
，
，
，
为
中点，
下列
正确的是（
则
结论
）
A．直线
的斜率为
B．
等腰直角三角形
为
C．
D．
，
，
三点共线
【变式训练4-6】已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
的直
交抛物
于
线
线
两点，
段
线
的
中点为
，
在上的射影分别为
，下列
正确的
（
结论
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-7】若直线
抛物
过
线
的焦点
，且与抛物线
交于
、
两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．
重心的横坐
的最小
标
值为
C．
D．以
段
线
直径的
被
为
圆
截得的弦
定
轴
长为
值
【变式训练4-8】已知抛物线
，焦点为
，过
的直
交
线
于点
，
，其中
在第一象限，
在第四象限，
坐
原点，
接
为
标
连
交抛物
的准
于点
线
线
，
下列
法正确的是（ ）
则
说
A．
的最小
是
值
4
B．
C．直线
平行于
轴D．
的面
的最大
积
值为
题型05：阿基米德三角形
【典型例题】抛物
的弦与
弦端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些
线
过
线
围
为
有趣的性
，如：若抛物
的弦
焦点，
弦的端点的两条切
的交点在其准
上．
抛物
质
线
过
则过
线
线
设
线
，弦
焦
过
点
为
的中点，
坐
原点，
为
标
其阿基米德三角形，
（
为
则 ）
A．存在点
，使得
B．任意点
，都有
C．任意点
，都有
D．
面
的最小
积
值为4
【答案】BCD
【
解】
详
设
，
直
设
线
，
立
联
得
，则
．
点
设过
的切线为
，则
立
联
,整理可得
，
由
，可得
，
同理可得
点
过
的切
斜率
线
为
．
于
对
A，因为
，所以
，故A
；
错误
于
对
B，可得
的切
方程分
：
处
线
别为
，∵
，
即
；
同理
的切
方程分
：
处
线
别为
由
及
，
得
，
可得
，因为
，所以
，
又因
直
为
线
的斜率为
，所以
，故B 正确；
于
对
C，因为
，所以
，故C 正确；
于
对
D，
，
当
，
时
面
取得最小
积
值为4，故D 正确．
故
：
选BCD．
【点睛】关
点点睛：
键
设
且
，
，
立抛物
用
达定理有
联
线应
韦
，求过
的切
，
而确定
线进
在准
上且
线
，利用面
公式求出最小
积
值.
【变式训练5-1】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物
线
过
线
围
线
，
阿基米德三角形
，弦
过
的焦点
，其中点
在第一象限，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．点
的
坐
纵
标为
B．
的准
方程
线
为
C．若
，则
的斜率为
D．
面
的最小
积
值为16
【变式训练5-2】古希腊著名数学家阿波
尼斯（
公元前
罗
约
262 年至前190 年）与欧几里得､阿基米德
名，著有《
齐
圆锥
曲
》八卷．他
平面内到两个定点的距离之比
定
线论
发现
为
值
的点所形成的
形是
．后来人
将
个
以他
图
圆
们
这
圆
的名字命名，称
阿波
尼斯
．已知在平面直角坐
系
为
罗
圆
标
中，
．点
足
满
，
点
设
的轨
迹
曲
为
线
，下列
正确的是（
结论
）
A．曲线
的方程为
B．曲线
的周长为
C．曲线
上的点到直线
的最小距离为
D．若点
抛物
为
线
上的
点，抛物
动
线
的焦点为
，则
的最小值为2
【变式训练5-3】阿基米德是
大的物理学家，更是
大的数学家，他曾
高中教材中的抛物
做
系
而深入的
伟
伟
经对
线
过
统
研究，定
了抛物
阿基米德三角形：抛物
的弦与弦的端点
的两条切
成的三角形称
抛物
阿基米德三角形
义
线
线
处
线围
为
线
.
抛物
设
线
：
上两个不同点
横坐
分
标
别为
，
，以
切点的切
交于
为
线
点.
关于阿基米德三角形
则
的
法正确的有（
说
）
A．若
抛物
的焦点，
过
线
则
点一定在抛物
的准
上
线
线
B．若阿基米德三角形
正三角形，
其面
为
则
积为
C．若阿基米德三角形
直角三角形，
其面
有最小
为
则
积
值
D．一般情况下，阿基米德三角形
的面积
【变式训练5-4】若
点
过
可以作抛物
的两条切
，切点分
是
线
线
别
，
称
则
“阿基米德三角形”．已知抛物
为
线
的焦点为
，过
的直线交
于
两点，以
点的“阿基米德三角形”
为顶
为
，
（
则 ）
A．点
的横坐标为
B．
C．
D．
面
的最小
积
值为16
【变式训练5-5】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形称
阿基米德三角形
线
过
线
围
为
.
抛物
设
线
，弦
焦点
过
其阿基米德三角形，
下列
一定成立的是（
为
则
结论
）
A．存在点
，使得
B．
C．
于任意的点
对
，必有向量
与向量
共线
D．
面
的最小
积
值为
【变式训练5-6】
曲
的弦与
弦端点的两条切
所
成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如
圆锥
线
过
线
围
图
是抛物
线
（
）的阿基米德三角形，弦
焦点
经过
，（其中
点在
点上方），
，
均垂直于准线，且
，
垂足，
下列
法正确的有（
为
则
说
）
A．以
直径的
必与准
为
圆
线相切
B．
定
为
值4
C．
点
设
，则
周
的最小
长
值为
D．若弦
的
斜角
角，
倾
为锐
则
的最小值为
【变式训练5-7】如
，
图
阿基米德三角形
为
.抛物线
上有两个不同的点
，以
A，B
切点的抛物
的切
为
线
线
相交于点P.
出如下
，其中正确的
（
给
结论
为 ）
A．若弦
焦点，
过
则
直角三角形且
为
B．点P 的坐
是
标
C．
的边
所在的直
方程
线
为
D．
的边
上的中
与
线
y
平行（或重合）
轴
【变式训练5-8】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形，
三角形以其深
线
过
线
围
为
该
刻的背景、丰富的性
生了无
的魅力．
抛物
质产
穷
设
线
（
），弦
焦点
过
，
其阿基米德三角形
为
，
下列
一定成立的是（
则
结论
）
A．点
在抛物线
（
）的准线
上
B．存在点
，使得
C．
D．
面
的最小
积
值为
【变式训练5-9】抛物
的弦与弦的端点
的两条切
形成的三角形称
阿基米德三角形，
三角形以其深刻的背
线
处
线
为
该
景､丰富的性
生了无
的魅力
质产
穷
.设
是抛物线
上两个不同的点，以
切点的切
为
线
交于
点.若弦
点
过
，
下列
法正确的有（ ）
则
说
A．
B．若
，则
点
的切
方程
处
线
为
C．存在点
，使得
D．
面
的最小
积
值为4
【变式训练5-10】双曲
具有以下光学性
：从双曲
的一个焦点
出的光
，
双曲
反射后，反射光
的反向延
线
质
线
发
线经
线
线
双曲
的另一个焦点．由此可得：
双曲
上任意一点的切
平分
点与两焦点
的
角．已知
长线经过
线
过
线
线
该
连线
夹
O
坐
为
标
原点，
分
双曲
别为
线
的左、右焦点，过C 右支上一点
作双曲
的切
交
线
线
x
于
轴
点
，
（
则 ）
A．
B．平面上点
的最小值为
C．若
左焦点
经过
的入射光
点
线经过
A，且
，
入射光
与反射光
的
角
则
线
线
夹
为
D．
点
过
作
，垂足为H，则
题型06：最值范围
【典型例题1】已知抛物线C：
的焦点F 到准线l 的距离为4，
焦点
过
F 的直
与抛物
相交于
线
线
，
两点，
下列
中正确的是（
则
结论
）
A．抛物线C 的准线l 的方程为
B．
的最小值为4
C．若
，点Q
抛物
为
线C 上的
点，
动
则
的最小值为6
D．
的最小值
【解析】由焦点
到准线的距离为4 可得
，所以抛物
的方程
线
为
，
A 中，由抛物
的方程
线
为
，所以可得准
方程
线
为
，故A 正确；
中，
焦点的直
过
线为
，则
，整理可得
，
可得
，
，所以
，
取等号，
时
最小
值为8，所以
不正确；
中，
足
满
，可知点
在抛物
内部，
线
过
作准
的垂
，垂足
线
线
为
，则
，
当且
当
仅
，
，
三点共
取等号，所以
线时
的最小值为6，故
正确；
中，由B 的解析可知：
由抛物
的方程可得：
线
，
所以
，当且
当
仅
取等号，所以
时
正确；
故
：
选ACD．
【典型例题2】已知抛物线
焦点为
，点
，点
在抛物
上，
下列
正确的是（
线
则
结论
）
A．
的最小值为3
B．
的最大值为7
C．
的最小值为-2
D．
的最大值为3
【答案】ACD
【分析】
画出
象，根据抛物
的
象可得，
图
线
图
，当
，
，
三点共线时
即可求解．过
作
平行
，与准
交于点
轴
线
线
，与抛物
交于点
线
，此时
取最小值.
【
解】
详
如图1，点
在抛物
外，
线
，故
的最小值为
，A 正确；
如图2，只有当
，
，
三点共线时
最大，最大值为
，如图3，过
作
平行
，与准
交于点
轴
线
线
，与抛物
交于点
线
，根据抛物
定
，
线
义
，此时
有最小值
.
【变式训练6-1】已知抛物线C：
的焦点F 到准线l 的距离为4，
焦点
过
F 的直
与抛物
相交于
线
线
，
两点，
下列
中正确的是（
则
结论
）
A．抛物线C 的准线l 的方程为
B．
的最小值为4
C．若
，点Q
抛物
为
线C 上的
点，
动
则
的最小值为6
D．
的最小值
【变式训练6-2】已知抛物线
焦点为
，点
，点
在抛物
上，
下列
正确的是（
线
则
结论
）
A．
的最小值为3
B．
的最大值为7
C．
的最小值为-2
D．
的最大值为3
【变式训练6-3】已知
抛物
过
线
焦点
的直线与抛物线
相交于
两点，
下列
正确的是
则
结论
（ ）
A．
B．以
直径的
与直
为
圆
线
相切
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【变式训练6-4】在平面直角坐
系
标
中，已知
抛物
为
线
的焦点，点
在
抛物
上且位
该
线
于
的两
，
轴
侧
，
（
则 ）
A．
B．直线
点
过
C．
的面
最小
是
积
值
D．
与
面
之和的最小
是
积
值
【变式训练6-5】曲线C 是平面内与三个定点
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
和
3(0,1)
F
的距离的和等于2 2 的点的
迹，
轨
P 为C 上
一点，
（
则 ）
A．曲线C 关于y
称
轴对
B．存在点P，使得
3
2
2
PF
C．
1
2
F PF
面
的最大
大于
积
值
1
D．存在点P，使得
1
2
150
F PF
【变式训练6-6】已知抛物线C：
的焦点为F，P 为C 上一点，下列
法正确的是（
说
）
A．抛物线C 的准
方程
线
为
B．直线
与C 相切
C．若
，则
的最小值为4
D．若
，则
的周
的最小
长
值为11
【变式训练6-7】若抛物线
y2＝2px(p>0)上的
点
动
Q 到其焦点的距离的最小值为1，
（
则 ）
A．
B．准
方程
线
为
C．当
时
的面积为
D．已知直线l1：4x－3y＋6＝0 和直线l2：x＝－1，
点
则
到直线l1和直线l2的距离之和的最小
是
值
【变式训练6-8】
抛物
设
线
，
其焦点，
为
抛物
上一点，
下列
正确的是（
为
线
则
结论
）
A．抛物
的准
方程是
线
线
B．当
，
轴时
取最小值
C．若
，则
的最小值为
D．以
段
线
直径的
与
为
圆
相切
轴
【变式训练6-9】已知抛物线
与圆
的公共点为A，B，点P 为圆C 的劣弧
上不同于
A，B 的一个
点，
点
动
过
P 作垂直于x
的直
轴
线l 交抛物线E 于点N，
下列四个命
中正确的是（
则
题
）
A．
B．点P
坐
的取
范
是
纵
标
值
围
C．点N 到
心
圆
C 距离的最小值为1
D．若l 不
原点，
经过
则
周
的取
范
是
长
值
围
【变式训练6-10】已知抛物线
的焦点为
，若
抛物
为
线
上一点，直线
的斜率为
，且以
心的
与
为圆
圆
的准
相切于点
线
，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．抛物线
的准
方程
线
为
B．直线
与抛物线
相交所得的弦长为15
C．
外接
的半径
圆
为4
D．若抛物线
上两点之
的距离
间
为8，
段的中点到
则该线
距离的最小
轴
值为1
【变式训练6-11】抛物线
的焦点为F，P
其上一
点，
直
为
动
设
线l 与抛物线C 相交于A，B 两点，点
下列
正确的是（
结论
）
A．|PM| +|PF|的最小值为3
B．抛物线C 上的
点到点
动
的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B 两点关于
称
对
D．若过A、B 的抛物
的两条切
交准
于点
线
线
线
T，则A、B 两点的
坐
之和最小
纵
标
值为2
【变式训练6-12】已知抛物线
的焦点为
，点
为
上两个相异的
点，
（ ）
动
则
A. 抛物线
的准
方程
线
为
B.
点
设
，则
的最小值为
C. 若
三点共
，
线则
的最小值为
D. 若
，
的中点
在
的准
上的投影
线
为
，则
【变式训练6-13】在平面直角坐
系
标
xOy 中，抛物线C：
的焦点为
，
点
过
的直线交
于不同的
，
两
点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．若点
，则
的最小
是
值
4 B．
C．若
，
直
则
线
的斜率为
D．
的最小
是
值
9
题型07：面积问题
【典型例题】如
抛物
图
线
的
点
顶
为
，焦点为
，准线为，焦准距为
；抛物线
的
点
顶
为
，焦点也为
，准线
为
，焦准距为．
和
交于
两点，分别过
作直
与两准
垂直，垂足分
线
线
别为
，过
的直
与
线
封
曲
闭
线
交于
两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．四
形
边
的面积为
C．
D．
的取
范
值
围为
【答案】CD
【分析】根据抛物
的定
判断
线
义
A，以
原点建立平面直角坐
系，得到
为
标
的方程，求出
，代入方程求出
，即可
求出矩形的面
，从而判断
积
，
接
连
，由定
得到
义
，从而得到
，
，
即可推出
，从而判断C，不妨
点
设
在封
曲
闭
线
的上部分，设
在直线
上的射影分别为
，当点
在抛物线
，点
在抛物线
上
求出
时
，当
与
重合，点
在抛物线
上
求出
时
，再求出当点
在抛物线
，点
在抛物线
上时
的范
，即可判断
围
D.
【
解】
直
详
设
线
与直线
分
交于
别
、
，由
可知
题
，
，
所以
，
，故A 不正确；
如
以
图
原点建立平面直角坐
系，
为
标
则
，
，
所以抛物线
的方程为
，
接
连
，由抛物
的定
可知
线
义
，
，又
，
所以
，所以
，代入
，可得
，
所以
，又
，故四
形
边
的面积为
，故B
；
错误
接
连
，因为
，所以
，
，
所以
，故
，故C 正确；
根据抛物
的
称性不妨
点
线
对
设
在封
曲
闭
线
的上部分，
设
在直线
上的射影分别为
，
当点
在抛物线
，点
在抛物线
上
，
时
，
当
与
重合
，
时
最小，最小值为
，
当
与
重合，点
在抛物线
上
，因
时
为
，
直线
，与抛物线
的方程为
立，可得
联
，
设
，则
，所以
，所以
；
当点
在抛物线
，点
在抛物线
上
，
时设
，
与抛物线
的方程为
立，可得
联
，
设
，则
，
则
，
当
，即
取等号，故此
时
时
；
当点
在抛物线
，点
在抛物线
上
，根据抛物
的
称性可知，
时
线
对
；
上可得
综
，故D 正确．
故
：
选CD.
【变式训练7-1】
抛物
设
线
的焦点为
，直线
与抛物
相交于
线
，
两点，与
交于点
轴
，
，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．
C．
D．
与
的面
之比
积
为
题型08：切线问题
【典型例题】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物
上，
线
，
直
设
线
抛
为
物线
在点
的切
，
点
处
线过
作
的垂
交抛物
于另一点
线
线
，若
，
下列
则
法正确的是（
说
）
A．
B．直线
的斜率为
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物
定
判断
线
义
A，根据
数的几何意
求切
斜率可判断
导
义
线
B，
立直
与抛物
方程，由根与系数的关
联
线
线
系判断C，根据不等式的性
及抛物
的定
判断
质
线
义
D.
【
解】
于
详
对
选项A，因为
，解得
，所以选项A
，
对
因为
，即
，则
，
所以抛物
在点
线
的切
方程
处
线
为
，
直线
的斜率为
，所以选项B
；
错
由
，消
得到
，
则
，得到
，所以选项C 正确；
于
对
选项D，因为
，
得到
，所以当
，
时
，
又
，所以
，则
，故选项D 正确．
故
：
选ACD
【变式训练8-1】已知抛物线
2
4
y
x
的焦点为F，C 是直线
2
x 上一点，
点
过
C 作抛物
的两条切
与抛物
分
线
线
线
别
切于点A，B，
接
连
AF，BF，
直
设
线AB 与x
交于点
轴
P，直线CF 与直线AB 交于点D，（ ）
A．
2,0
P
B．
AF
CF
CF
BF
C．
AF
AD
BF
BD
D．
AC
AP
BC
BP
题型09：四心问题
【典型例题】已知
抛物
为
线
上的三个点，焦点F 是
的重心．
直
记
线AB，AC，BC 的斜率
分别为
，
（
则 ）
A．
段
线
BC 的中点坐标为
B．直线BC 的方程为
C．
D．
【解析】设
，因为F 为
重心，
所以
，设BC 中点
，则
，
，由重心分中线
得
，即
，
又因为A 在抛物
上，所以
线
，所以
，即
，故A 正确；
，
直线
，故B 正确；
因为
，所以
，所以
，故C
；
错误
，同理
，
所以
，故D 正确．
故
：
选ABD
【变式训练9-1】在平面直角坐
系
标
xOy 中，
点
过
的直线l 与抛物线C：
交于A，B 两点，点
段
为线
AB 的中点，且
，
下列
正确的
（
则
结论
为 ）
A．N 为
的外心
B．M 可以为C 的焦点
C．l 的斜率为
D．
可以小于2
【变式训练9-2】已知
的三个
点
顶
均在抛物线
上，
下列命
正确的有（
则
题
）
A．若直线BC
点
过
，
存在点
则
A 使
直角三角形；
为
B．若直线BC
点
过
，
存在
则
使抛物线
的焦点恰为
的重心；
C．存在
，使抛物线
的焦点恰为
的外心；
D．若边AC 的中线
，
轴
，则
的面积为
【变式训练9-3】
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在准
上的射影
线
为
，
下列
则
正确的有（
结论
）
A．点
的中点在
上
轴
B．
的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物
上
线
C．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
D．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
等
三角形
为
边
【变式训练9-4】已知抛物线
的焦点为
，点
，
，
抛物
上不与
为
线
重合的
点，
动
坐
原
为
标
点，
下列
法中，正确的有（
则
说
）
A．若
中点
坐
纵
标为2，则
的斜率为2
B．若点
恰为
的垂心，则
的周长为
C．若
与
的
斜角互
，
倾
补则
的斜率恒为
D．若
，则
点
坐
的取
范
是
纵
标
值
围
【变式训练9-5】
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在准
上的射影
线
为
，
下列
则
正确的有（
结论
）
A．点
的中点在
上
轴
B．
的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物
上
线
C．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
D．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
等
三角形
为
边
题型10：向量问题
【典型例题】设F
抛物
为
线C：
的焦点，过F 且
斜角
倾
为30°的直
交
线
C 于A，B 两点，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】抛物线C 的焦点为
，所以直线AB 的方程为
，
将
代入
，整理得
，
设
，由根与系数的关系得
，故D
；
错误
，故C
；
错误
，故B 正确；
由抛物
的定
可得
线
义
，故A 正确.
故
：
选AB．
【变式训练10-1】已知抛物线C 的方程为
，过C 焦点F 的直
与
线
C 交于M，N 两点，直线MO 与C 的准
交
线
于Q 点（其中O
坐
原点），
为
标
P 为C 准
上的一个
点，下列
正确的是（
线
动
选项
）
A．当直线MN 垂直x
，弦
轴时
MN 的
度最短
长
B．
定
为
值
C．当PM 与C 的准
垂直
，必有
线
时
D．至少存在两个点P，使得
【变式训练10-2】已知点A 是抛物线
上的
点，
动
坐
原点，
为
标
焦点，
为
，
且
三点
排列，
（
顺时针
则 ）
A．当点
在
上
，
轴
时
B．当点
在
上
，点
轴
时
A 的坐标为
C．当点A 与点
关于
称
，
轴对
时
D．若
，
点
则
A 与点
关于
称
轴对
【变式训练10-3】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形称
阿基米德三角形
线
过
线
围
为
.
抛物
设
线
，弦
焦点
过
其阿基米德三角形，
下列
一定成立的是（
为
则
结论
）
A．存在点
，使得
B．
C．
于任意的点
对
，必有向量
与向量
共线
D．
面
的最小
积
值为
题型11：定点定值定直线
【典型例题】已知抛物线
的焦点为
，准线为，
、
是
上异于点
的两点（
坐
原点）
下列
为
标
则
说
法正确的是（ ）
A．若
、
、
三点共
，
线则
的最小值为
B．若
，则
的面积为
C．若
，
直
则
线
定点
过
D．若
，过
的中点
作
于点
，则
的最小值为
【解析】
于
对
A
，易知抛物
选项
线
的焦点为
，
当直线
与
重合
，直
轴
时
线
与抛物线
只有一个公共点，不合乎
意，
题
直
设
线
的方程为
，
点
设
、
，
立
联
可得
，
，
由
达定理可得
韦
，
，则
，
易知
，
，所以，
，
当且
当
仅
，等号成立，故
时
的最小值为
，A
；
对
于
对
B
，
点
选项设
，
，可得
，所以，
，
则
，所以，
，B
；
对
于
对
C
，易知
选项
的斜率存在，
直
设
线
的方程为
，
点
设
、
，由于直线
不
原点，所以，
过
，
立
联
可得
，
，
由
达定理可得
韦
，所以，
，
因为
，则
，解得
，
所以，直线
的方程为
，故直线
定点
过
，C
；
错
于
对
D
，
点
选项过
作
于点
，
点
过
作
于点
，
设
，
，所以
，
因为
，
所以
，则
的最小值为，当且
当
仅
，等号成立，
时
D
．
对
故
：
选ABD．
【变式训练11-1】如
，
点
图过
作两条直线
和：
（
）分
交抛物
别
线
于
，
和
，
（其中
，
位于
上方），直
轴
线
，
交于点
．
下列
法正确的（
则
说
）
A．
，
两点的
坐
之
纵
标
积为
B．点
在定直线
上
C．点
与抛物
上各点的
中，
线
连线
最短
D．无论
旋
到什么位置，始
有
转
终
【变式训练11-2】已知抛物线
，
为
正半
上一点，
（
轴
轴
则 ）
A．存在点
，使得
点
过
任意作弦
，
有
总
定
为
值
B．不存在点
，使得
点
过
任意作弦
，有
定
为
值
C．存在点
，使得
点
过
任意作弦
，
有
总
定
为
值
D．不存在点
，使得
点
过
任意作弦
，有
定
为
值
【变式训练11-3】已知点
，抛物线
的焦点为F，过F 的直线l 交C 于P，Q 两点，
（
则 ）
A．
的最大值为
B．
的面
最小
积
值为2
C．当
取到最大
，直
值时
线AP 与C 相切
D．当
取到最大
，
值时
【变式训练11-4】已知
是抛物线
内一
点，直
动
线
点
过
且与抛物线
相交于
两点，
下列
则
说
法正确的是（ ）
A．
，
时
的最小值为
B．的取
范
是
值
围
C．当点
是弦
的中点
，直
时
线
的斜率为
D．当点
是弦
的中点
，
时
上存在一定点
轴
，都有
【变式训练11-5】已知抛物线C：
的焦点为F，P，Q 为C 上两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．若
，则
的最小值为4
B．若
，记
，则
C．
点
过
与C 只有一个公共点的直
有且
有两条
线
仅
D．以PQ
直径的
与
为
圆
C 的准
相切，
直
线
则
线PQ 过F
【变式训练11-6】设
是抛物线
：
上的两点，
是坐
原点，下列
成立的是（
标
结论
）
A．若直线
抛物
的焦点
过
线
，则
的最小值为1
B．有且只有两条直
点
线过
且与抛物线
只有一个公共点
C．若
，则
定
为
值
D．若
，则
