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9.5 三定问题及最值（精练）
1．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、
下顶点，B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意，得 ，则 ，
又 分别为椭圆上下顶点， ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）因为椭圆 的方程为 ，所以 ，
因为 为第一象限 上的动点，设 ，则 ，易得 ，则直线 的方程为 ，
，则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即 ，
而 ，则直线 的方程为 ，
令 ，则 ，解得 ，即 ，
又 ，则 ， ，
所以
，
又 ，即 ，
显然， 与 不重合，所以 .
2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）由题意可知：直线 的斜率存在，设 ，
联立方程 ，消去y得： ，
则 ，解得 ，
可得 ，
因为 ，则直线 ，
令 ，解得 ，即 ,
同理可得 ，
则
，
所以线段 的中点是定点 .3．（2006·湖南·高考真题）已知 ，抛物线 ，且 的公共弦
过椭圆 的右焦点．
(1)当 轴时，求m、p的值，并判断抛物线 的焦点是否在直线 上；
(2)是否存在m、p的值，使抛物线 的焦点恰在直线 上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，焦点不在直线 上；
(2)存在， 或 ，且 .
【解析】（1）由题意得椭圆的右焦点为 ，当 轴时， 关于 轴对称，
由抛物线方程得 ，
要使 ，需 ，
此时直线 的方程为 ，代入 ，得 ，
所以 ，因为 在抛物线上，所以 ，得 ，
此时 的焦点坐标为 ，
该焦点不在直线 上；
（2）假设存在m、p的值，使抛物线 的焦点恰在直线 上，由（1）知直线 的斜率存在，所以可设
直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ，
由 ，得 ，
所以 ，
因为 的焦点 恰在直线 上，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 过 ， 的焦点，
所以 ，
所以 ，
所以 ，化简得 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
所以代入 得 ，
所以满足条件的m、p存在，此时 或 ，且 .
4．（2023·河南·校联考二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分
别为 ， 是 （ 为坐标原点）的中点，且 .
(1)求 的方程；
(2)不过坐标原点的直线 与椭圆 相交于 两点（ 异于椭圆 的顶点），直线 与 轴的交点
分别为 ，若 ，证明：直线 过定点，并求该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为
【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，
是 的中点， ， ，解得： ，
， ，
椭圆 的方程为： .
（2）由（1）得： ， ，设 ，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
， ，
， ，即 ，
，又 ， ，
，即 ，
整理可得： ；
①若直线 的斜率存在，设直线 ，
由 得： ，其中 ，
， ，
代入 式得： ，
整理可得： ， 或 ，
当 时，直线 ，恒过点 ，如图所示，此时点 与 在 轴的同一侧，不满足 ，故舍去；
当 时，直线 ，恒过点 ，符合题意，如图所示，
②若直线 的斜率不存在，则 ，
由 得： ，解得： 或 ，
此时直线 的方程为 或 ，
又直线 与椭圆不相交，故舍去， 满足条件， ，恒过点 .
综上所述：直线 恒过定点 .
5．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知圆 ： ，圆 ： ，圆
M与圆 外切，且与圆 内切．
(1)求圆心M的轨迹C的方程；(2)若A，B，Q是C上的三点，且直线AB不与x轴垂直，O为坐标原点， ，则当 的
面积最大时，求 的值．
【答案】(1)
(2)1
【解析】（1）由题意设圆M的半径为r，则 ， ，所以 ，
故圆心M的轨迹是以 ， 为焦点，4为长轴长的椭圆，
所以 ， ，则 ，
所以C的方程为 ．
（2）设 ， ， ，直线AB的方程为 ．
将 代入 ，整理得 ，
，即 ，
则 ， ，
所以
，故 ．
又原点O到直线AB的距离为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 （*）时，等号成立．
由 ，得 ，
代入 ，整理得 ，
即 （**）．
而
，
由（*）可知 ，代入（**）式得 ．
故 的值为1.6．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，椭圆
的上顶点到右顶点的距离为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为 、 ，过点 作直线与椭圆交于 、 两点，且 、 位于第一象
限， 在线段 上，直线 与直线 相交于点 ，连接 、 ，直线 、 的斜率分别记为 、
，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：由题意知， ，椭圆的上顶点到右顶点的距离为 ，
即 ，解得 ， ， ，
因此，椭圆的方程为 ．
（2）解：如下图所示：不妨设 、 ，由图可知，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，因为点 ，则 ，则 ，
联立 可得 ，
，可得 ，即 ，
解得 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，
所以， ，易知 、 ，
由于 在直线 上，设 ，
又由于 在直线 上，则 ，所以， ，.
7．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知椭圆C： 的离心率 ，短轴长为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知经过定点 的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线 相交于点Q，如果 ，
，那么 是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ．
【解析】（1）由题意得 ，
解得 ， ，
故椭圆C的方程为 ；
（2）当直线l的斜率不存在时， ， ， ， ,
则 ， ， ， ，
此时 ， ， ；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为 ，
联立 可得 ，
设 ， ，
联立 可得 ，
则 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
8．（2023·四川绵阳·统考二模）已知椭圆C： 的焦距为4，左右顶点分别为 ， ，
椭圆上异于 ， 的任意一点P，都满足直线 ， 的斜率之积为 ．
(1)若椭圆上存在两点 ， 关于直线 对称，求实数m的取值范围；
(2)过右焦点 的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q．那么，是否存在实数k，使得 为定值？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）由题意得： ， ， ， ，
①
∵点P在C上，∴ 代入①式，∴ ，∴ ,
∵ ，∴ ， ，椭圆C方程 ，
设 ， ， ，
设 ： 联立 得 ，
，
， .
∴ ， 中点 在l上， ，∴ .
（2）设 联立 得 ，
， ，
，
联立 得，
则 ，
∴ ，
∵ 为定值，设为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴存在 ，使得 为定值 .
9（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ， 为椭圆上异于 、 的动点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设动直线 与椭圆 相交于 、 两点， 为坐标原点，若 ， 的面积是否存在最小值？
若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，最小值为
【解析】（1）解：不妨设 的坐标为 ，则 ，则 ，
又 、 ，则 .
故可得 ，可得 ，故可得椭圆 的方程为 .
（2）解：因为 ，且 、 均为非零向量，则 .
当点 、 均为椭圆 的顶点时，则 ；
若直线 、 的斜率都存在时，设直线 的方程为 ，
则直线 的方程为 ，联立 可得 ，所以， ，
同理可得 ，
此时，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
又因为 ，故当 时， 的面积存在最小值，且最小值为 .
10．（2023·河南·统考三模）如图，椭圆 的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分
别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为 ，直线BQ的斜率为 ， ．过点B作直线
PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得 为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1) ；
(2)存在定点 使 为定值，理由见解析.
【解析】（1）由题意 ，可得 ，则椭圆方程为 ；
（2）若直线 斜率为 ，则直线 斜率为 ，而 ，
所以 ， ，
联立 与椭圆 ，则 ，整理得 ，
所以 ，则 ，故 ，
联立 与椭圆 ，则 ，整理得 ，
所以 ，则 ，故 ，
综上， ，
，
当 ，即 时， ，
此时 ，
所以 ，即直线 过定点 ；当 ，即 时，
若 ，则 且 ， 且 ，故直线 过定点 ；
若 ，则 且 ， 且 ，故直线 过定点 ；
综上，直线 过定点 ，又 于 ，
易知 轨迹是以 为直径的圆上，故 的中点 到 的距离为定值，
所以，所求定点T为 .
11．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，过右焦点 且平行
于 轴的弦 ．
(1)求 的内心坐标；
(2)是否存在定点 ，使过点 的直线 交 于 ，交 于点 ，且满足 ？若存在，
求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点
【解析】（1）∴椭圆 的标准方程为 ，
不妨取 ，则 ；
因为 中， ，所以 的内心在 轴，设直线 平分 ，交 轴于 ，则 为
的内心，且 ，所以 ，则 ；
（2）∵椭圆和弦 均关于 轴上下对称．若存在定点 ，则点 必在 轴上∴设
当直线 斜率存在时，设方程为 ，直线方程与椭圆方程联立 ，
消去 得 ，
则 ①
∵点 的横坐标为1， 均在直线 上，
，整理得 ，
因为点 在椭圆外，则直线 的斜率必存在．∴存在定点 满足题意
11．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知 为坐标原点，定点 ， ，圆 ，是圆内或圆上一动点，圆 与以线段 为直径的圆 内切.
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)设 的轨迹为曲线 ，若直线 与曲线 相切，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，证明： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）圆 的圆心为 ，半径为 ，
依题意圆 的半径 ，又两圆相内切，所以圆心距 ，
所以 ，
根据椭圆的定义可知动点 是以 ， 为焦点的椭圆，
且 ， ，则 ，
所以动点 的轨迹方程为 .
（2）当直线 的斜率存在且不为零时，设直线方程为 ，
联立直线 和椭圆 的方程得 ，消去 并整理得 ，
因为直线 与曲线 相切，所以 ，整理得 ，因为 与直线 垂直，所以 的方程为 ，
由 ，解得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
当直线 的斜率为 时，则直线 的方程为 ，过点 作直线 的垂线，
则垂线方程为 ，此时 或 ，则 ，
当直线 的斜率不存在时，则直线 的方程为 ，过点 作直线 的垂线，
则垂线方程为 ，此时 或 ，则 ，综上可得 为定值.
12．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知P为圆C： 上一动点，点
，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)点M在圆 上，且M在第一象限，过点M作圆 的切线交Q点轨迹于A，B两点，问
的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2) 的周长为定值
【解析】（1）由题意得：圆 ，则圆心 ，半径 ，
设 中点为 ，则 为线段 的垂直平分线，则 ，
所以 ，
所以 点轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
即 ， ，则 ，
所以 点轨迹方程为： ；（2）设 ，由题意可得 ，
则 ，故 ，
故 ，
同理可得 ，
因为 ，
所以 ，
同理可得 ，
所以 ，
即 的周长为定值 .13．（2023·北京密云·统考三模）椭圆C： 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆C的方程和长轴长；
(2)点M，N在C上，且 .证明：直线MN过定点.
【答案】(1)椭圆 的方程为： ，长轴长为
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意得： ，解得： ，
椭圆 的方程为： ，长轴长为 ；
（2）设点 ， ，
， ，
整理可得： ①，
当直线 斜率 存在时，设 ，
联立 得： ，
由 得： ，
则 ， ，
， ，
代入①式化简可得： ，
即 ， 或 ，则直线方程为 或 ，
直线过定点 或 ，又 和 点重合，故舍去，
当直线 斜率 不存在时，则 ，
此时 ，即 ，
又 ，解得 或 （舍去），
此时直线 的方程为 ，过点 ，
综上所述，直线 过定点 .
14．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知椭圆 与直线
相交于 两点，椭圆上一动点 ，满足 （其中 表示两点连线的斜率），且 为椭圆
的左、右焦点， 面积的最大值为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 两点，求 的内切圆面积的最大值．
【答案】(1)
(2)【解析】（1）设 ， ，则 ，所以 ，
依题意可知， 两点关于原点对称，设 ，则 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）易得 ，设直线 ，
代入 ，得 ，
则 ，
设 ， ，则 ， ，
所以，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
设 的内切圆半径为 ，则 ，
所以 ，所以 的内切圆面积 .
所以 的内切圆面积的最大值为 .
15．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知椭圆 过点 ，点 与 关于原点
对称，椭圆 上的点 满足直线 与直线 的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 相交于 两点，已知点 ，点 与 关于原点对称，讨论：直线
的斜率与直线 的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，0
【解析】（1）因为椭圆 过点 ，所以 ，设 满足 ，则 ，
又 ，
则 ，
所以椭圆 的方程 .
（2）直线 ，代入椭圆 ，可得 ，
由于直线 交椭圆 于 两点，所以 ，整理得 .
设 ，由于点 与 关于原点对称，所以 ，
于是有 ，
，
又 ，
于是有
故直线 的斜率与直线 的斜率之和为0.16．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知曲线 上的动点 满足 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 、 两点，过 、 分别做 的切线，两切线交于点 .在以下两个条件①②中选
择一个条件，证明另外一个条件成立.
①直线 经过定点 ；
②点 在定直线 上.
【答案】(1) ( )
(2)答案见解析
【解析】（1）因为 ，
所以曲线 是以 、 为焦点，以 为实轴长的双曲线的右支,
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，得 ，
所以曲线 的方程为 ( ).
（2）若选择①证明②成立.
依题意， 在双曲线右支上，此时直线 的斜率必不为 ，
设直线方程为 ， ，不妨设 在第一象限， 在第四象限.
因为 ，所以 ，且 ，求导得 ，
所以过点 的直线方程为 ，
化简为 ①，同理 ②，联立方程①②得,交点 的横坐标为 ，
因为 、 点在直线 上，所以 ，
所以 ，
所以 的横坐标 .
即点 在定直线 上.
若选择②证明①成立.
不妨设 在第一象限， 在第四象限.设 ，
因为 ，所以 ，且 ，
求导得 ，所以过点 的直线方程为 ，
化简为 ①，同理 ②
联立方程①②得交点 的横坐标为 ，
由题意， ，
即 ③.
因为 ，
所以过直线 的方程为 ，
化简 ，
整理得由③式可得 ,
易知 ，即直线 过定点 .
17．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知点 在双曲线 上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交 的两条渐近线于 两点，其中O为坐标原点，求证： 的面积 是
定值；
(2)已知点 ，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同的两点 ､ ，在线段 上取异于点 ､
的点 ，满足 ，证明：点 恒在一条定直线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）将 代入双曲线中， ，
解得 ，故双曲线方程为 ，
下面证明 上一点 的切线方程为 ，
理由如下：当切线方程的斜率存在时，设过点 的切线方程为 ，与 联立得，
，
由
化简得 ，
因为 ，代入上式得 ，
整理得 ，
同除以 得， ，
即 ，
因为 ， ，
所以 ，
联立 ，两式相乘得， ，
从而 ，
故 ，
即 ，
令 ，则 ，即 ，解得 ，即 ，
当切线斜率不存在时，此时切点为 ，切线方程为 ，满足 ，
综上： 上一点 的切线方程为 ，
设 ，则 过点 的切线方程为 ，
故 为 过点 的切线方程，
双曲线的两条渐近线方程为 ，
联立 与 ，解得 ,
联立 与 ，解得 ,
直线 方程为 ，即 ，
故点 到直线 的距离为 ，
且 ，
故 的面积为
，为定值；（2）若直线 斜率不存在，此时直线 与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件，
故直线 斜率存在，设直线 方程 ，
与 联立得 ，
由 ，
因为 恒成立，所以 ，
故 ，
解得 ,
设 ，则 ，
设点 的坐标为 ，
则由 得， ，
变形得到 ，将 代入，解得 ，
将 代入 中，解得 ，
则 ，
故点 恒在一条定直线 上.
18（2023·山西阳泉·统考二模）已知双曲线 经过点 ，直线 、 分别是双
曲线 的渐近线，过 分别作 和 的平行线 和 ，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，且
（ 是坐标原点）
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 、 分别是双曲线 的左、右顶点，过右焦点 的直线交双曲线 于 、 两个不同点，直线
与 相交于点 ，证明：点 在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：由题意得 ， ，
不妨设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 可得 ，即点 ，同理可得 ，
，由 可得 ，因此，双曲线 的方程为 .
（2）证明：由（1）得 、 、 ，
若直线 与 轴重合，则 、 为双曲线的顶点，不合乎题意，
设 、 ，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
所以， ，解得 ，
， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与 的方程，可得 ，
所以，
，因为 ，解得 ，
因此，点 在定直线 上.
19．（2023·四川成都·校联考二模）已知 和 是椭圆 的左、右顶点，
直线 与椭圆 相交于M，N两点，直线 不经过坐标原点 ，且不与坐标轴平行，直线 与直线 的
斜率之积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线OM与椭圆 的另外一个交点为 ，直线 与直线 相交于点 ，直线PO与直线 相交于点
，证明：点 在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定直线为
【解析】（1）设 ， ，
所以 ，即 ，
由题意知 ，所以 ，
所以 ，
则椭圆 的标准方程为 ．
（2）证明：设直线 的方程为： ，联立椭圆 的方程，得 ，
所以 ，
则 ，
由根与系数的关系，得 ， ，
设 ，
由P，S， 三点共线，得 ，
由P，N， 三点共线，得 ，
则
．
所以直线OP的斜率为 ，
则直线OP的方程为 ，
联立直线OP与直线 的方程，可得 ，解得 ，
所以点 在一条定直线上，该定直线的方程为 ．
20．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知双曲线C： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，
P为双曲线右支上的一点， 为 的内心，且 .(1)求C的离心率；
(2)设点 为双曲线C右支上异于其顶点的动点，直线 与双曲线左支交于点S.双曲线的右顶点为
，直线 ， 分别与圆O： 相交，交点分别为异于点D的点M，N，判断直线 是
否过定点，求出定点，如果不过定点，请说明理由.
【答案】(1)2
(2)过定点
【解析】（1）如图所示，
延长IP到A且 ，延长 到B且 ，
由 ，得 ，
∴I是 的重心， ，同理 ， ，
即 ，
又 ， ， ，
，又I是 的内心，则 ，
由 ，得 ，又 ，则 ，即 ；
（2）弦MN过定点 ,由已知右顶点 ，结合（1）得 ， ， ，
所以双曲线方程为 .
则 ， ，
设点 ，直线ST的方程为： ，
联立 ，得 ，
则 ， ， ， ，
则
，
即 ，也就是 ，
∴MN为圆O的直径，故弦MN恒过圆心 .
21．（2023·全国·统考高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设 ，
由 可得， ，所以 ，
所以 ，
即 ，因为 ，解得： ．
（2）因为 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ： ， ，
由 可得， ，所以， ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
亦即 ，
将 代入得，
， ，
所以 ，且 ，解得 或 ．设点 到直线 的距离为 ，所以 ，
，
所以 的面积 ，
而 或 ，所以，
当 时， 的面积 ．
22．（2023·天津·统考高考真题）设椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知
．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形
面积的二倍，求直线 的方程．
【答案】(1)椭圆的方程为 ，离心率为 .
(2) .
【解析】（1）如图，由题意得 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 ，离心率为 .
（2）由题意得，直线 斜率存在，由椭圆的方程为 可得 ，
设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 整理得： ，
由韦达定理得 ，所以 ，
所以 ， .
所以 , , ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以直线 的方程为 .23．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】（1）设双曲线方程为 ，由焦点坐标可知 ，
则由 可得 ， ，
双曲线方程为 .
（2）由(1)可得 ，设 ，
显然直线的斜率不为0，所以设直线 的方程为 ，且 ，
与 联立可得 ，且 ，
则 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与直线 的方程可得：
，
由 可得 ，即 ，
据此可得点 在定直线 上运动.
24（2022·天津·统考高考真题）椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足
．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解： ，
离心率为 .（2）解：由（1）可知椭圆的方程为 ，
易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 得 ，
由 ，①
， ，
由 可得 ，②
由 可得 ，③
联立①②③可得 ， ， ，故椭圆的标准方程为 ．
25．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析【解析】（1）右焦点为 ，∴ ,∵渐近线方程为 ，∴ ，∴ ，∴
，∴ ，∴ ．
∴C的方程为： ；
（2）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴
上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ,
联立消去y并化简整理得：
设 ,线段中点为 ,则 ,
设 ,
则条件③ 等价于 ,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即 ,即 ；
由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 ,
∴由 ,
∴ ,
所以直线 的斜率 ,
直线 ,即 ,
代入双曲线的方程 ,即 中，
得： ,
解得 的横坐标： ,
同理： ，
∴
∴ ,
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；条件③ 等价于 ；
选①②推③:
由①②解得： ,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
26．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于
M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，所以 ，
若要使 最大，则 ，设 ，则
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .
[方法二]：直线方程点斜式由题可知，直线MN的斜率存在.
设 ,直线
由 得： ， ,同理， .
直线MD: ,代入抛物线方程可得： ，同理， .
代入抛物线方程可得: ,所以 ，同理可得 ，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，所以直线
.
[方法三]：三点共线
设 ，
设 ,若 P、M、N三点共线，由所以 ，化简得 ，
反之，若 ,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得 ，
由M、D、A三点共线，得 ，
由N、D、B三点共线，得 ，
则 ，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，所以直线 .
27．（2022·全国·统考高考真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两
点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．【解析】（1）因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，即双曲
线 ．
易知直线l的斜率存在，设 ， ，
联立 可得， ，
所以， ， 且 ．
所以由 可得， ，
即 ，
即 ，
所以 ，
化简得， ，即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，
故 ．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，由（1）知，
，
当 均在双曲线左支时， ，所以 ，即 ，解得 （负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当 均在双曲线右支时，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 （负值舍去），
于是，直线 ，直线 ，
联立 可得， ，
因为方程有一个根为 ，所以 ， ，
同理可得， ， ．
所以 ， ，点 到直线 的距离 ，
故 的面积为 ．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为 ， ，由 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
联立 ，及 得 ， ，
同理， ， ，故 ，
而 ， ，
由 ，得 ，故
